技能演练
基 础 强 化
1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下面命题中正确的是( )
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C．f(x，y)＝0是曲线的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上
解析 由题设知曲线C与方程f(x，y)＝0不是对应关系，所以答案B正确．
答案 B
2．下列各对方程中，表示相同曲线的一组是( )
A．y＝x与y＝
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0
C．y＝与xy＝1
D．y＝lgx2与y＝2lgx
解析 易知A、B、D中两方程不是同一曲线，C中两方程表示的是同一曲线，故应选C.
答案 C
3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是( )
A．两个点 B．四个点
C．两条直线 D．四条直线
解析 由方程?x2－4＝0且y2－4＝0，即x＝±2且y＝±2，因此方程表示四个点(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)．
答案 B
4．已知0≤α≤2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( )
A. B.
C.或 D.或
解析 依题意有(cosα－2)2＋sin2α＝3，化简得cosα＝，又0≤α≤2π，∴α＝或，故选C.
答案 C
5．直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点是( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(1,1)和(－1，－1) D．(0,0)
解析 ?或
∴直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点是(1,1)和(－1，－1)．
答案 C
6．方程y＝表示的曲线是( )
解析 y＝＝且y>0，还是偶函数，故应选D.
答案 D
能 力 提 升
7．若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)(a∈R)，则k的取值范围是________．
解析 依题意，知a2＝a(－a)＋2a＋k，
∴k＝2a2－2a＝2(a－)2－.
∵a∈R，∴k≥－.
答案：[－，＋∞)
8．如下图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且·＝4，则动点P的轨迹方程为________．
解析 依题意可知M(0，y)，N(x，－y)，
∴＝(x，y)，＝(x，－2y)．
由·＝4，得x2－2y2＝4，这就是点P的轨迹方程．
答案：x2－2y2＝4
9．已知定点A，B，且AB＝2a(a>0)，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2?1，求点P的轨迹方程．
解 以AB所在直线为x轴，以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(－a,0)，B(a,0)．
设点P的坐标为(x，y)，由题意得＝2，
即＝2.
化简整理得3x2－10ax＋3y2＋3a2＝0.
即(x－a)2＋y2＝a2(a>0)为所求的轨迹方程．
10．如图所示，从曲线x2－y2＝1上一点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．
解 设P点的坐标为(x，y)，曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，因为点P是线段QN的中点，所以N的坐标为(2x－x0,2y－y0)．
又点N在直线l上，
∴2x－x0＋2y－y0＝2
即x0＋y0＝2x＋2y－2. ①
又QN⊥l，∴kQN＝＝1
即x0－y0＝x－y. ②
由①②得
x0＝(3x＋y－2)
y0＝(x＋3y－2)．
又因为点Q在曲线上，
∴(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1
化简整理得
(x－)2－(y－)2＝.
故线段QN的中点P的轨迹方程为
(x－)2－(y－)2＝.
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11．直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则P点的轨迹方程为________．
解析 ∵·＝4，
∴(x，y)·(1,2)＝4.
∴x＋2y＝4.
答案 x＋2y－4＝0
12．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析 设P(x，y)，
由|PA|＝2|PB|，得
＝2，
化简整理，得
x2－4x＋y2＝0即(x－2)2＋y2＝4.
所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆．故S＝4π.
答案 B
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基 础 强 化
1．已知F1，F2是两定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
答案 D
2．椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A．(5,0)，(－5,0) B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0)
解析 由b2＝25，a2＝169，知c2＝a2－b2＝144，∴c＝12，又焦点在y轴上，∴选C.
答案 C
3．若椭圆＋＝1上一点P到其中一个焦点的距离为7，则点P到另一个焦点的距离是( )
A．2 B．3
C．5 D．7
解析 由|PF1|＋|PF2|＝10知，点P到另一个焦点的距离为3.
答案 B
4．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a>3 B．a<－2
C．a>3，或a<－2 D．a>3，或－6
解析 由??a>3或
－6答案 D
5．椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是( )
A．(5,0)或(－5,0)
B．(，)或(，－)
C．(0,3)或(0，－3)
D．(，)或(－，)
解析 记F1(－4,0)，F2(4,0)，|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立．
∴P应在椭圆短轴的端点，∴P(0,3)或(0，－3)．
答案 C
6．已知△ABC周长为18，|AB|＝8且A(－4,0)，B(4,0)，三边|CA|＜|AB|＜|CB|，则C点的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0)
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0，x＜0)
D.＋＝1(y≠0，x＜0)
解析 ∵|CA|＋|CB|＋|AB|＝18，|AB|＝8，
∴|CA|＋|CB|＝10>|AB|，
∴动点C的轨迹是椭圆，且2a＝10,2c＝8，∴a＝5，c＝4，b2＝a2－c2＝9，∴椭圆方程为＋＝1，又|CA|<|AB|<|CB|，∴x<0，且y≠0，故选C.
答案 C
7．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝________.
解析 把椭圆5x2＋ky2＝5化为标准形式得，x2＋＝1，又一个焦点为(0,2)，∴焦点在y轴上，且c＝2，∴?
∴k＝1.
答案 1
8．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝__________.
解析 如下图，由椭圆的定义知
|F1A|＋|F2A|＝2a＝10，
|F1B|＋|F2B|＝2a＝10，
∴|AB|＝20－|F2A|－|F2B|＝20－12＝8.
答案 8
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9．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和为4，求椭圆C的方程及焦点坐标．
解 椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.
又A(1，)在椭圆C上，
∴＋＝1，解得b2＝3.
∴c2＝a2－b2＝1，
∴椭圆C的方程为＋＝1，
焦点坐标为F(±1,0)．
10．已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足·＝
6||，求动点P的轨迹方程．
解 设动点P(x，y)，＝(x－4，y)，＝(－3,0)，＝(x－1，y)，由·＝6||，得－3(x－4)＝6，平方化简得3x2＋4y2＝12，即＋＝1.
∴点P的轨迹方程为＋＝1.
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11．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．
解析 依题意知a＝3，b＝，c＝.
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝6，
∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.
在△F1PF2中，|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝2.
由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.
答案 2 120°
12．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点．且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则，
∴2mn＝(m＋n)2－m2－n2
＝4a2－4c2＝4b2.
∴S△PF1F2＝m·n＝9＝b2.
∴b＝3.
答案 3
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基 础 强 化
1．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值为( )
A．5 B．8
C．5或3 D．8或5
解析 当焦点在x轴上时，m＝4＋1＝5；当焦点在y轴上时，4＝m＋1，∴m＝3，综上知，m＝5或3.
答案 C
2．椭圆＋＝1与＋＝1(0＜k＜9)的关系为( )
A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
解析 当0答案 D
3．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )
A. B.
C. D.
解析 依题意2a＝4b，即a＝2b，又a2＝b2＋c2，
∴a2＝a2＋c2，即a2＝c2，∴＝，
∴e＝＝.
答案 D
4．若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为( )
A. B.或18
C．18 D.或6
解析 当焦点在x轴上时，a2＝16，b2＝m，∴c2＝a2－b2＝16－m，∴e2＝＝＝2，∴m＝，当焦点在y轴上时，同理可求得m＝18.
综上知m的值为或18.
答案 B
5．直线y＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是________．
解析 把y＝x＋1代入x2＋2y2＝4得，x2＋2(x2＋2x＋1)＝4，即3x2＋4x－2＝0.设直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，y1＋y2＝(x1＋x2)＋2＝－＋2＝.
∴＝－，＝.
因此得弦AB中点的坐标为.
答案 (－，)
6．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1、r2，则卫星远行轨道的离心率是__________．
解析 由题意得
∴2a＝2R＋r1＋r2,2c＝r2－r1.
∴e＝＝.
答案
7．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c.以点O为圆心，a为半径作圆M，若过点P(，0)所作圆M的两条切线互相垂直．则该椭圆的离心率为________．
解析 如图，切线PA，PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP为等腰直角三角形．∴＝a
∴e＝＝.
答案：
8．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c＞0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程．
解 ∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，
∴a－c＝2－.
又e＝＝，
∴a＝2，c＝.
∴b2＝1.
∴椭圆的方程为＋x2＝1.
能 力 提 升
9．直线l过点M(1,1)，与椭圆＋＝1相交于A，B两点，若AB的中点为M，求直线l的方程．
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1， ①
＋＝1， ②
①－②得
＋＝0，
∴＝－·.
又M(1,1)为AB的中点，
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.
∴直线l的斜率为－.
∴直线l的方程为y－1＝－(x－1)，
即3x＋4y－7＝0.
10．椭圆过点(3,0)点，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
解 当椭圆焦点在x轴上时，则
a＝3，＝，∴c＝.
∴b2＝a2－c2＝3.
故椭圆的方程为＋＝1.
当椭圆的焦点在y轴上时，
则b＝3，又＝，
∴＝，∴a2＝27，
故椭圆的方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
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11．(2010·湖北)设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析 画出示意图知，两曲线有两个交点，∴A∩B含有2个元素，子集有4个．
答案 A
12．(2010·广东)若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析 依题意得2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝(a＋c)2.
∴5c2＋2ac－3a2＝0.
∴5e2＋2e－3＝0.
解得e＝，或e＝－1(舍去)．
答案 B
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基 础 强 化
1．双曲线－＝1的焦距是10，则实数m的值为
( )
A．－16 B．4
C．16 D．81
解析 2c＝10，∴c＝5，∴9＋m＝25，∴m＝16.
答案 C
2．已知双曲线－＝1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为( )
A．3 B．5
C．6 D．9
解析 由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝6，观察选项知D正确．
答案 D
3．若k∈R，则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析 当k>3时，k－3>0，k＋3>0，∴方程－＝1表示双曲线．反之，若该方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)>0，∴k>3，或k<－3.故k>3是方程－＝1表示双曲线的充分不必要条件．
答案 A
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( )
A．16 B．18
C．21 D．26
解析 如图所示，由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝8，(1)
|BF2|－|BF1|＝8，(2)
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝5，(3)
∴由(1)，(2)，(3)得|AF2|＋|BF2|＝21.
故△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝26.
答案 D
5．双曲线－＝1的焦距为( )
A．3 B．4
C．3 D．4
解析 由双曲线－＝1，知c2＝12，∴c＝2，
∴2c＝4.
答案 D
6．已知双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，＝，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝－1 D.－＝－1
解析 令x＝0，y＝10，∴双曲线的焦点坐标F1(0，－10)，F2(0,10)，∴c＝10，又＝，∴a＝6，∴b2＝c2－a2＝100－36＝64，故双曲线方程为－＝1，故选D.
答案 D
7．已知双曲线的焦点在y轴上，且a＋c＝9，b＝3，则它的标准方程是__________．
解析 由得a＝4，b＝3，又焦点在y轴上，∴所求双曲线方程为－＝1.
答案 －＝1
8．双曲线－＝1的焦点在y轴上，则m的取值范围是__________．
解析 依题意得?
?－2答案 (－2，－1)
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9．已知定点A(3,0)和定圆C：(x＋3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程．
解 设P的坐标为(x，y)．
∵圆P与圆C外切且过点A，
∴|PC|－|PA|＝4.
∵|AC|＝＝6＞4，
∴点P的轨迹是以C，A为焦点，实轴长为2a＝4的双曲线的右支，
∵a＝2，c＝3，
∴b2＝c2－a2＝5.
∴动圆圆心P的轨迹方程为－＝1(x≥2)．
10．求与双曲线－＝1有相同的焦点，且过点P(2,1)的双曲线的方程．
解 方法1：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知，c2＝4＋2＝6，又点P(2,1)在双曲线上，
∴ 解得
故所求的双曲线方程为－＝1.
方法2：∵所求的双曲线与－＝1有相同的焦点，
∴可设双曲线方程为－＝1(－2＜λ＜4)．
∵双曲线过点P(2,1)，
∴－＝1，
解得λ＝1，或λ＝－4(舍去)．
故所求的双曲线方程为－＝1.
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11．(2010·安徽)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A．(，0) B．(，0)
C．(，0) D．(，0)
解析 双曲线x2－2y2＝1化为标准形式，
得x2－＝1，
∴a2＝1，b2＝.
∴c2＝a2＋b2＝.
∴c＝.故右焦点坐标为(，0)．
答案 C
12．(2010·全国Ⅰ)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P点在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为( )
A. B.
C. D.
解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨设m>n，P(x，y)，|PF1|－|PF2|＝m－n＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得
(2)2＝m2＋n2－2mncos60°，
∴8＝(m－n)2＋mn.
∴mn＝4.
由△F1PF2的面积相等，得
×2×|y|＝mnsin60°，
即|y|＝×4×.
∴|y|＝.
即P到x轴的距离为.
答案 B
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基 础 强 化
1．双曲线C的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 依题意a＋b＝c，a＝2，又a2＋b2＝c2，解得b＝2，又焦点在y轴上，∴双曲线方程为－＝1.
答案 B
2．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )
A．2 B.
C. D.
解析 依题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴a＝b，∴c2＝2a2，∴＝2，∴e＝.
答案 C
3．已知双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析 记e1＝，e2＝，又e1·e2＝1，∴
＝1，化简得b2(m2－a2－b2)＝0，∵b2>0，∴m2－a2－b2＝0，即m2＝a2＋b2，
∴以a、b、m为边长的三角形一定是直角三角形．
答案 B
4．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝－x，则双曲线方程为( )
A．x2－y2＝96 B．y2－x2＝100
C．x2－y2＝80 D．y2－x2＝24
解析 由题意知，c＝＝4，a＝b，∴2a2＝c2＝48，∴a2＝24，故所求双曲线方程为y2－x2＝24.
答案 D
5．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是( )
A. B.
C. D．5
解析 由双曲线的定义及性质知，动点P的轨迹是双曲线的一支，且A、B为焦点，c＝2，a＝，∴|PA|的最小值为a＋c＝.
答案 C
6．已知双曲线－＝1的离心率为，则n＝________.
解析 依题意知a2＝n，b2＝12－n，又e＝，∴e2＝＝＝＝3，∴n＝4.
答案 4
7．过双曲线－＝1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|＝________.
解析 由双曲线的定义知|MF2|－|MF1|＝4，|NF2|－|NF1|＝4，∴|MF2|＋|NF2|－|MF1|－|NF1|＝|MF2|＋|NF2|－|MN|＝8.
答案 8
8．若双曲线＋＝1的离心率为2，则k的值为__________．
解析 依题意知k＋4<0，∴k<－4，又e＝＝2，
∴e2＝＝＝4，∴k＝－31.
答案 －31
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9．求与双曲线－＝1共渐近线且过点A(2，－3)的双曲线方程．
解 设与双曲线－＝1
共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴λ＝－＝－.
∴所求双曲线方程为－＝－即－＝1.
10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解 (1)∵e＝.
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，
∴λ＝16－10＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2.
∴F1(－2，0)，F2(2，0)．
∴＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．
∴·＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M在双曲线上，
∴9－m2＝6，∴－3＋m2＝0.
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝×4×＝6.
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11．(2010·海南)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析 依题可设渐近线的方程为y＝－x，
代入点(4，－2)，得a＝2b.
∴e2＝＝＝＝，
又∵e>1，∴e＝.
答案 D
12．(2010·北京)已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点为________；渐近线方程为________．
解析 由＋＝1知，c2＝25－9＝16，∴c＝4.
∴焦点坐标为(±4,0)．
又e＝＝2，∴a＝2.
∴b2＝c2－a2＝16－4＝12.
∴b＝2.
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.
答案 (±4,0) x±y＝0
技能演练
基 础 强 化
1．到定点(3,5)与定直线2x＋3y－21＝0的距离相等的点的轨迹是( )
A．圆 B．抛物线
C．线段 D．直线
解析 因为定点(3,5)在直线上，所以点的轨迹是直线．
答案 D
2．抛物线y2＝8x的准线方程是( )
A．x＝－2 B．x＝－4
C．y＝－2 D．y＝－4
解析 y2＝8x＝2·4x，∴p＝4，准线方程为x＝－＝－2.
答案 A
3．抛物线x2＝ay的准线方程是y＝2，则实数a的值为( )
A．8 B．－8
C. D．－
解析 x2＝ay的准线方程为y＝－＝2，∴a＝－8.
答案 B
4．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )
A．(1,0) B.
C. D.
解析 由y＝2x2得，x2＝y.
∴焦点坐标为.
答案 C
5．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是( )
A．x2＝－y，或y2＝x
B．y2＝－x，或x2＝y
C．x2＝y
D．y2＝－x
解析 ∵点(－2,3)在第二象限，
∴设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，或y2＝－2p1x(p1>0)，把(－2,3)代入，得(－2)2＝2p·3，或9＝－2p1(－2)，
∴2p＝，或－2p＝－，
故所求的抛物线方程为x2＝y，或y2＝－x.
答案 B
6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程为__________．
解析 设抛物线方程为y2＝ax，又抛物线过点P(2,4)，则16＝2a，∴a＝8，
∴y2＝8x.
答案 y2＝8x
7．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝__________.
解析 由y2＝4x得焦点F(1,0)，代入直线方程得a＋1＝0.∴a＝－1.
答案 －1
8．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
解析 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，
由方程组
得交点坐标为A(0,0)，B(a，a)，而点P(2,2)为AB的中点，从而a＝4.
故所求抛物线方程为y2＝4x.
答案 y2＝4x
能 力 提 升
9．已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值，抛物线标准方程和准线方程．
解 设所求的抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)．
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
∴解得
∴m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．
解 如下图在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程是y2＝2px(p＞0)．
由已知条件可得点A的坐标是(40,30)，代入方程，得302＝2p×40，即p＝，
所求的抛物线标准方程为y2＝x，焦点(，0)．
品 味 高 考
11．(2010·福建)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0
C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0
解析 ∵抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，
∴圆心坐标为(1,0)，半径r＝1.
∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，
即x2＋y2－2x＝0.
答案 D
12．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
解析 抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，准线l：x＝－2，AF的方程为y＝－(x－2)，与直线l的交点为(－2,4)．
设P(x，y)，∵PA⊥l，∴当y＝4时，
有(4)2＝8x，∴x＝6.
∴|PF|＝|PA|＝6－(－2)＝8.
答案 B
技能演练
基 础 强 化
1．方程y＝－2所表示曲线的形状是( )
解析 由y＝－2，知y≤0，x≥0，因此选D.
答案 D
2．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
解析 因为点M(3,2)在抛物线y2＝8x的内部，所以过点M平行x轴的直线y＝2，适合题意，因此只有一条．
答案 B
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则|AB|＝( )
A．8 B．10
C．6 D．4
解析 由题意知，|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案 A
4．抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )
A．(4，±2) B．(±4，2)
C．(±2,4) D．(2，±4)
解析 抛物线y2＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，
设P(x，y)适合题意，则有
??
∴适合题意的点为(2，±4)．
答案 D
5．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则·的值是( )
A．12 B．－12
C．3 D．－3
解析 特例法，∵y2＝4x的焦点F(1,0)，设过焦点F的直线为x＝1，∴可求得A(1，－2)，B(1,2)．∴·＝1×1＋(－2)×2＝－3.
答案 D
6．过抛物线y2＝4x的焦点F，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，则|AB|的长为________．
解析 由y2＝4x知F(1,0)，可得直线AB的方程为y＝(x－1)，与y2＝4x联立，可求得A，B(3,2)．
∴|AB|＝＝.
答案
7．抛物线y2＝2px(p＞0)上有一点纵坐标为－4，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程为__________．
解析 设点(x0，－4)，则(－4)2＝2px0，
∴x0＝＝.
又由抛物线的定义知x0＋＝6，
∴＋＝6，
即p2－12p＋32＝0，
解得p＝4，或p＝8.
∴抛物线方程为y2＝8x，或y2＝16x.
答案 y2＝8x，或y2＝16x
8．若抛物线y2＝mx与椭圆＋＝1有一个共同的焦点，则m＝__________.
解析 由＋＝1得焦点(－2,0)，(2,0)．
当焦点为(－2,0)时，抛物线开口向左，∴m＜0.
∴?m＝－8；
当焦点为(2,0)时，抛物线开口向右，∴m＞0.
∴?m＝8.
答案 8或－8
能 力 提 升
9．已知直线l过点A(－，p)，且与抛物线y2＝2px只有一个公共点，求直线l的方程．
解 当直线与抛物线只有一个公共点时，设直线方程为：y－p＝k(x＋)．将直线l的方程与y2＝2px联立，消去x得
ky2－2py＋(2＋3k)p2＝0
由Δ＝0得，k＝，或k＝－1.
∴直线l的方程为
2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0.
当直线l与x轴平行时，直线l与抛物线只有一个交点，此时，y＝p，
故满足条件的直线共有三条，其方程为：
2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0，或y＝p.
10．已知抛物线y2＝2x，
(1)设点A的坐标为(，0)，在抛物线上求一点P，使|PA|最小；
(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
解 (1)设P(x，y)，则|PA|2＝(x－)2＋y2
＝(x－)2＋2x
＝(x＋)2＋.
∵x≥0且在此区间上函数单调递增，故当x＝0时，|PA|有最小值，离A点最近的点P(0,0)．
(2)设点P(x0，y0)是抛物线y2＝2x上任一点，则P到直线x－y＋3＝0的距离为
d＝＝
＝，
∴当y0＝1，d有最小值.
∴点P的坐标为(，1)．
品 味 高 考
11．(2010·重庆)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
解析 由y2＝4x知，抛物线的焦点F(1,0)，当x＝1时，y＝±2.
∴A(1,2)，B(1，－2)．
此时AB⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.
答案 2
12．(2010·陕西)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析 由抛物线方程y2＝2px(p>0)知准线方程为x＝－，又圆(x－3)2＋y2＝16的圆心(3,0)，半径为4，∴3－(－)＝4，∴p＝2.
答案 C
