技能演练
基 础 强 化
1．下列命题中正确的有( )
(1)分别在两个平面内的两个向量不能转化为共面向量．
(2)空间中，首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.
(3)因为向量由长度和方向两个属性构成，一般地说，向量不能比较大小．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 在空间任何两个向量都是共面的，所以(1)不正确．在(2)中它们的和应为0，而不是0，所以(2)不正确，(3)是正确的．
答案 B
2．两个非零向量的模相等是两个向量相等的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
3．如图在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A.＝
B.＋＝
C.＋＝0
D.－＝
答案 D
4．化简－＋所得的结果是( )
A. B.
C．0 D.
答案 C
5．如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，在下列选项中，与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
答案 C
6．已知向量a，b是两个非零向量，a0，b0是与a，b同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是( )
A．a0＝b0 B．a0＝b0，或a0＝－b0
C．a0＝1 D．|a0|＝|b0|
答案 D
7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的是( )
①(－)－；②(＋)－；③(－)－2；④(－)＋.
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析 如右图①(－)－＝＋＋
＝＋＝.
②(＋)－＝(＋)＋
＝＋＝.
答案 A
8．在空间四边形中，＋＋＋＝__________________ ______________________________________________________.
答案 0
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9．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．
(1)＋；
(2)＋；
(3)＋＋；
(4)＋＋＋＋；
(5)＋＋－－；
(6)＋－－.
解 (1)＋＝.
(2)＋＝(＋)
＝＝.
(3)AA1＋＋＝＋＝.
(4)＋＋＋＋＝0.
(5)＋＋－－
＝＋＋＋
＝＋＋
＝.
(6)＋－－
＝＋＋＋
＝＋
＝＋
＝.
10．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以8个顶点中的任意两个为始点和终点的向量中，
(1)单位向量共有多少个？
(2)写出与向量相等的向量．
解 (1)由于正方体的棱长为1，所以正方体中每条棱所表示的向量都是单位向量，如，等，共24个．
(2)与向量相等的向量有，，，共3个．
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11．设P是△ABC所在的平面内的一点，＋＝2，则( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
解析 ∵＋＝2，
∴－＋－＝0
即＋＝0.
答案 C
12．(2010·四川)设点M是BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
解析 由|＋|＝|－|＝||＝||＝4，又M为BC的中点，所以||＝|＋|＝2.
答案 C
技能演练
基 础 强 化
1．满足下列条件，能说明空间不重合的三点A，B，C共线的是( )
A.＋＝ B.－＝
C.＝ D．||＝||
答案 C
2．下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
解析 当b＝0时，a与c不一定共线，所以A错．由共面向量的定义知，B错．当a与b是非零向量时，D正确．但命题中没有非零向量这个条件，所以D错．
答案 C
3．下列条件中使点M与点A，B，C一定共面的是( )
A.＝2－－
B.＝＋＋
C.＋＋＝0
D.＋＋＋＝0
答案 C
4．下列结论中，正确的个数是( )
①若a，b，c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc
②若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc
③若a，b，c共面，b，c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc
④若a＝xb＋yc，则a，b，c共面
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ②③④正确，①错误．
答案 D
5．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析 ∵＝－
＝＋
＝＋＋
＝(7a－2b)＋(a＋2b)＋(－5a＋6b)
＝3a＋6b
＝3
∴A，B，D三点共线．
答案 A
6．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E为矩形ABCD的对角线的交点，则＝＋x＋y中的x，y值应为x＝__________，y＝__________.
解析 ＝＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋＋(＋)
＝＋－＋－
＝＋＋
＝＋＋
∴x＝，y＝.
答案
7．向量a与b不共线，存在唯一一对非零实数m，n，使c＝ma＋nb，则a，b，c__________共面向量．(填“是”或“不是”)
答案 是
8．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x·＋3y·＋4z·，则2x＋3y＋4z＝__________.
解析 ＝2x·＋3y·＋4z·
＝－2x·－3y·－4z·
由四点共面的充要条件知－2x－3y－4z＝1，
即2x＋3y＋4z＝－1.
答案 －1
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9．已知A，B，C，D四点共面，求证：对于空间任一点O，存在不全为零的实数k1，k2，k3，k4，使k1＋k2＋k3＋k4＝0.
证明 由A，B，C，D四点共面，知，，共面，由平面向量基本定理知，存在实数对(x，y)，使＝x＋y，即－＝x(－)＋y(－)
∴(1－x－y)－＋x＋y＝0，
令k1＝1－x－y，k2＝－1，k3＝x，k4＝y，
即得k1＋k2＋k3＋k4＝0.
10．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
证明 ＝＋＋＝＋＋
＝＋＋＋.
∵O是B1D1的中点，
∴＋＝0，∴＝＋.
∴、、共面，且B1C?平面OC1D.
∴B1C∥平面ODC1.
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11．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析 如图，
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
∴λ＝.
答案 A
12．在? ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，AC＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝____________.
解析 设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b，＝a＋b，
∴λ＋μ
＝λ(a＋b)＋μ(a＋b)
＝(λ＋μ)a＋(λ＋μ)b.
∴a＋b＝(λ＋μ)a＋(λ＋μ)b，
∴∴
∴λ＋μ＝.
答案
技能演练
基 础 强 化
1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( )
A．垂直 B．共线
C．不垂直 D．以上都有可能
解析 ∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
答案 A
2．下列命题中，正确的命题个数为( )
①＝|a|；
②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；
③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；
④(a＋b)＝a2＋2a·b＋b2.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 D
3．若O是△ABC所在平面内一点，且满足(＋)·(－)＝0，则△ABC一定是( )
A．等边三角形 B．斜三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析 ∵＋＝，－＝，
∴·＝0.
∴BC⊥AC.
∴△ABC一定是直角三角形．
答案 C
4．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A. B．97
C. D．61
解析 |2a－3b|2＝(2a－3b)2
＝4a2－12a·b＋9b2
＝4×22－12×2×3×＋9×32＝61.
∴|2a－3b|＝.
答案 C
5．已知向量a·b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析 ∵a⊥(2b－a)
∴a·(2b－a)＝2|a||b|cos〈a，b〉－a2
＝2×2×cos〈a，b〉－22＝0，
∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝45°.
答案 B
6．在△ABC中，各边长均为1，则·＝________.
解析 如图
·＝||·||·cos〈，〉＝1×1×cos120°＝－.
答案 －
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7．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝__________.
解析 ∵m⊥n，∴m·n＝0，
∴(a＋b)·(a＋λb)
＝a2＋a·b＋λ(a·b)＋λb2
＝(3)2＋3×4×(－)×(1＋λ)＋16λ
＝4λ＋6＝0.
∴λ＝－.
答案 －
8．等边△ABC中，P在线段AB上，且＝λ，若·＝·，则实数λ的值为________．
解析 P在线段AB上，且＝λ，∴0≤λ≤1.
不妨设等边△ ABC的边长为1，
∵·＝·，
∴(＋)·＝·(－)．
∴·＋λ2＝－λ2＋λ22.
∴－＋2λ＝λ2.
解得λ＝1－.
答案 1－
9．设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)2；
(3)(3a－2b)·(a＋2b)．
解 (1)a·b＝|a||b|cos120°
＝3×4×(－)＝－6.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝9＋2×(－6)＋16＝13.
(3)(3a－2b)·(a＋2b)
＝3a2－2a·b＋6a·b－4b2
＝3×9＋4×(－6)－4×16
＝－61.
10．已知空间四边形ABCD，求·＋·＋·的值．
解 ·＋·＋·
＝·(－)＋(－)－(－)
＝·－·＋·－·－·＋·
＝0.
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11．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·b＋a·a＝________.
解析 a·b＋a·a
＝|a|·|b|cos120°＋|a|2＝1×1×(－)＋1＝.
答案
12．已知向量|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A．[0，] B．[，π]
C．[，π] D．[，π]
解析 ∵关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，
∴Δ＝|a|2－4a·b≥0，即|a2|≥4a·b.
又∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴|a2|≥4|a||b|cos〈a，b〉．
∵|a|＝2|b|≠0，
∴cos〈a，b〉≤＝＝，
而〈a，b〉∈[0，π]，
∴≤〈a，b〉≤π.
答案 B
技能演练
基 础 强 化
1．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法中正确的是( )
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量的坐标与向量的坐标相同
D．向量的坐标与－的坐标相同
解析 在空间直角坐标系中，从原点出发的向量的坐标等于终点的坐标，不从原点出发的向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，所以＝－.
答案 D
2．以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底
C. △ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
答案 B
3．下列说法不正确的是( )
A．只要空间的三个基本向量的模为1，那么它们就是空间的一个单位正交基底
B．竖坐标为0的向量平行于x轴与y轴所确定的平面
C．纵坐标为0的向量都共面
D．横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直
答案 A
4．从空间一点出发的三个不共线的向量a，b，c确定的平面个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．1或3
解析 当三个向量共面时，可确定一个平面，当三个向量不共面时，可以确定三个平面．
答案 D
5．正方体ABCD－A′B′C′D′，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′，的中点，以{，，}的基底，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是( )
A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2
解析 ＝＋＝＋＋＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋
＝＋＋.
对比＝x＋y＋z，知x＝y＝z＝1.
答案 A
6．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－2e1＋4e2＋2e3，则向量a，b的坐标分别是________．
答案 a＝(3,2，－1)，b＝(－2,4,2)
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7．若{a，b，c}构成空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是__________．
解析 ∵{a，b，c}构成空间的一个基底，∴a，b，c都是非零向量．由0＝xa＋yb＋zc知，x＝y＝z＝0.
答案 x＝y＝z＝0
8．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝__________(用a，b，c表示)．
解析 ＝＋
＝＋
＝＋·(＋)
＝＋(－)＋(－)
＝＋OB＋OC
＝a＋b＋c.
答案 a＋b＋c
9．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，PM＝2MC，N为PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值．
解 如图所示，取PC的中点E，连接NE，则＝－.由题意易知
＝＝＝－，
＝－＝－＝，
连接AC，则＝＋＝＋－
∴＝－－
＝－－(＋－)
＝－－＋.
∴x＝－，y＝－，z＝.
10．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD、底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，N在C1C上，且C1N?NC＝1:3.
(1)若以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；
(2)若以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．
解 (1)正方形ABCD中，AB＝6，
∴AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3.
∴各点坐标分别为A(3，0,0)，B(0,3，0)，C(－3，0,0)，D(0，－3，0)，O(0,0,0)，O1(0,0,4)，A1(3，0,4)，B1(0,3，4)，G1(－3，0,4)，D1(0，－3，4)，M(0,3，2)，N(－3，0,3)．
(2)同理，A(6,0,0)，B(6,6,0)，C(0,6,0)，D(0,0,0)，A1(6,0,4)，B1(6,6,4)，C1(0,6,4)，D1(0,0,4)，O(3,3,0)，O1(3,3,4)，M(6,6,2)，N(0,6,3)．
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11．(2010·全国Ⅱ)△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析 如图，∵CD平分∠ACB，由角平分线定理，得＝＝.
∴BD＝BA.
∴＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋＝a＋b.
答案 B
12．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
解析 ＋＋＝＋＋＝0.
答案 A
技能演练
基 础 强 化
1．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
2．与向量a＝(1,2,3)，b＝(3,1,2)都垂直的向量为( )
A．(1,7,5) B．(1，－7,5)
C．(－1，－7,5) D．(1，－7，－5)
答案 C
3．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
解析 a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，
∵(a＋2b)∥(2a－b)，
∴＝＝.
∴x＝，y＝－4.
答案 B
4．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，＋λOB与OB(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为( )
A．± B.
C．－ D．±
解析 ＋λ＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1,1)，
∴|＋λ|＝，||＝，
(＋λ)·＝2λ.
∴2λ＝·cos120°，
即－4λ＝，∴λ＝－.
答案 C
5．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析 b－a＝(1＋t,2t－1,0)
∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＝5t2－2t＋2＝5(t－)2＋，
∴当t＝时，|b－a|有最小值.
答案 C
6．若a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是( )
A．x<－4 B．－4C．04
解析 依题意得cos〈a，b〉＝<0，
∴a·b<0，即3x＋2(2－x)<0，解得x<－4.
答案 A
能 力 提 升
7．已知a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为__________．
解析 a·b＝(2,3，－1)·(－2,1,3)＝－4＋3－3＝－4.
|a|＝，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝－.
∴sin〈a，b〉＝.
∴平行四边形的面积为
S?＝|a||b|sin〈a·b〉＝××＝6.
答案 6
8．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则||的取值范围是__________．
解析 ＝(2cosθ－3cosα，2sinθ－3sinα，0)
∴||＝
＝∈[1,5]．
答案 [1,5]
9．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，求x，y，z的值．
解 ∵⊥，∴1×3＋5×1－2z＝0，∴z＝4.
又⊥平面ABC，∴⊥，⊥.
即·＝0，·＝0，
∴解得
综上知：x＝，y＝－，z＝4.
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10.
在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是( )
A．EF与BB1垂直
B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面
D．EF与A1C1异面
解析
以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．如图所示，设底面边长为a，高为b，则B(0,0,0)，C1(a,0，b)，A(0，a,0)，B1(0,0，b)，A1(0，a，b)，C(a,0,0)，D(a，a,0)，E(0，，)，
F(，0，)．
∴·＝·(0,0，b)＝0.
∴EF⊥BB1，∴A正确．
·＝·
＝－＋0＝0，
∴EF⊥BD，∴B正确．
＝，＝(a1，－a,0)，
∴＝.
∴EF∥A1C1，∴D不正确．
答案 D
11．(2010·广东)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·(2b)＝2，则x＝________.
解析 c－a＝(1,1,1)－(1,1，x)＝(0,0,1－x)，
2b＝2(1,2,1)＝(2,4,2)．
由(c－a)·2b＝－2，
得2×0＋4×0＋2(1－x)＝－2，
∴x＝2.
答案 2
技能演练
基 础 强 化
1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是( )
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
答案 D
2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
答案 C
3．若平面α与平面β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，与b＝(1,0,2)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．无法判定
答案 B
4．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．以上均错
答案 A
5．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30° D．以上均错
解析 如图所示，易知直线l与平面α所成的角为30°.
答案 C
6．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A. B.
C. D.
解析 ∵＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，结合选项，验证知应选D.
答案 D
7．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面ACB1的一个法向量为__________．
解析 建立空间直角坐标系，如图所示，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，
∴＝(－1,1,0)，
＝(0,1,1)
设平面ACB1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由n⊥，n⊥，
得令x＝1，得n＝(1,1，－1)．
答案 (1,1，－1)
8．若两个平面α，β的法向量分别等于u＝(1,0,1)，v＝(－1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是__________．
解析 ∵a＝(1,0,1)，v＝(－1,1,0)，
∴|u|＝，|v|＝，u·v＝－1.
∴cos〈u·v〉＝－.
∴〈u，v〉＝120°，故两平面所成的锐二面角为60°.
答案 60°
能 力 提 升
9．若直线a和b是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)，和(2，－3，－2)，求直线a和b的公垂线的一个方向向量．
解 设直线a与b的公垂线的一个方向向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥(1,1,1)，n⊥(2，－3，－2)，
∴∴
令z＝－5，得x＝1，y＝4，
故直线a和b的公垂线的一个法向量为(1,4，－5)．
10．如右图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DC＝3，DD1＝4，E是A1A的中点，求证：A1C∥平面BED.
证明 以点A的坐标原点，以AB、AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，得A1(0,0,4)，C(3,3,0)，E(0,0,2)．取BD中点记为F，则F(，，0)，
∴＝(3,3，－4)，＝(，，－2)．
∴＝2.
∴∥，又A1C与EF无交点，A1C∥EF，EF?面BED，A1C?平面BED.
∴A1C∥平面BED.
品 味 高 考
11．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析 如图所示，以底面中心O为坐标原点，建立空间直角坐标，O－xyz.
设正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，S(0,0，)，D(－1，－1,0)，E，
∴＝，＝(－1，－1，－)，
∴cos〈，〉＝
＝＝＝－.
∴AE，SD所成角的余弦值为，故选C.
答案 C
技能演练
基 础 强 化
1．在空间直角坐标系中，平面xOz的一个法向量是( )
A．(1,0,0) B．(0,1,0)
C．(0,0,1) D．(0,1,1)
答案 B
2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的关系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．相交且垂直 D．无法判定
答案 C
3．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，则AC与平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不能确定
解析 如图所示，易知EF∥AC，
又AC?平面DEF，EF?平面DEF，
∴AC∥平面DEF.
答案 A
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
解析 如图，∵B1D1⊥CC1，B1D1⊥A1C1，
又CC1∩A1C1＝C1，
∴B1D1⊥平面AA1C1C，而CE?平面AA1C1C.
∴B1D1⊥CE，又B1D1∥BD.
∴CE⊥BD.
答案 B
5．平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2等于( )
A．2 B．0
C．1 D．无意义
解析 ＝(1,2,1)－(0,1,1)＝(1,1,0)
＝(－1,0，－1)－(0,1,1)＝(－1，－1，－2)
又a＝(－1，y，z)为平面ABC的法向量，
∴a⊥，a⊥.
∴a·＝0，a·＝0.
∴∴y＝1，y2＝1.
答案 C
6．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,8)，则直线l与平面α的位置关系是________．
解析 ∵a·n＝(－2)×4＋3×0＋8×1＝0，
∴a⊥n，∴l?α，或l∥α.
答案 l?α或l∥α
能 力 提 升
7．在正方体AC1中，O，M分别是DB1，D1C1的中点．
证明：OM∥BC1.
证明 如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.
设正方体的棱长为2，则O(1,1,1)，M(0,1,2)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，
＝(－1,0,1)，＝(－2,0,2)，
∴＝，∴∥.
又O?平面B1BCC1，
∴OM∥BC1.
8．在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
证明 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设AE＝BF＝x，
∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．
∴＝(－x，a，－a)，
＝(a，x－a，－a)．
∵·
＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0.
∴⊥，即A1F⊥C1E.
9．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB1C.
证明 设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋
＝b＋a，
而＝＋＝a＋b
∴＝2，故∥.
即EG∥AC.
又＝＋＝＋
＝b－c，
而＝＋＝b－c＝2
∴∥，即EF∥B1C.
又EG∩EF＝E，AC∩B1C＝C，
∴平面EFG∥平面AB1C.
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10．如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.
证明 因直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC2＋BC2＝AB2.所以AC⊥BC，
所以AC，BC，C1C两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，
B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(，2,0)．
设CB1与C1B的交点为E，连接DE则E(0,2,2)，因＝(－，0,2)，＝(－3,0,4)．
所以＝，所以∥，又DE与AC1不共线，所以DE∥AC1，因DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1.
所以AC1∥平面CDB1.
技能演练
基 础 强 化
1．已知空间四点A(0,1,0)，B(1,0，)，C(0,0,1)，D(1,1，)，则直线AC与BD的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析 ＝(0，－1,1)，＝(0,1,0)，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴AC与BD的夹角为.
答案 B
2．已知两异面直线a，b所夹的角为，直线c与a，b所夹的角都是θ，则θ的取值范围是( )
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
解析 由两直线的夹角在[0，]内知，选项C、D被排除．当将直线a，b平移在过点O的平面上时，直线c也平移在这个平面上，且当c平分a与b的夹角时，θ最小为.
答案：B
3．平面α与平面β交于l，自一点P分别向两个面引垂线，垂足分别为A、B，则∠APB与α，β夹角的大小关系是( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不能确定
解析 当点P在平面α，β夹角的内部时，∠APB与平面α，β夹角互补；当点P在平面α，β夹角的外部时，∠APB与平面α，β的夹角相等．
答案 C
4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A—BD—P的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析 建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示．由AB＝3，AD＝4，得B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0，)．
∴＝(3,0，－)，＝(－3,4,0)．
设平面PBD的法向量m＝(x，y，z)，则由m·＝0，m·＝0，得
令z＝5，则m＝(，，5)．
又n＝＝(0,0，)为平面ABCD的法向量，
∴cos〈m，n〉＝＝＝.
∴〈m，n〉＝30°，即二面角A—BD—P的大小为30°.
答案 A
5．已知△ABC的顶点坐标为A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，则△ABC的面积是( )
A. B.
C. D．4
解析 ＝(1,1,1)，＝(2,1,3)，cos〈，〉＝＝.
∴sinA＝.
∴S△ABC＝||||sinA
＝×××＝.
答案 C
6．△ABC的边BC在平面α内，顶点A?α，△ABC边BC上的高与平面α所夹的角为θ，△ABC的面积为S，则△ABC在平面α上的投影图形面积为________．
解析 △ABC在平面α内的投影三角形为A′BC，它的高A′D＝ADcosθ(AD为△ABC的高)，∴S△A′BC＝·BC·A′D＝BC·ADcosθ＝Scosθ.
答案 Scosθ
7．给出四个命题：
①若l1∥l2，则l1，l2与平面α所成的角相等；
②若l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2；
③l1与平面α所成的角为30°，l2⊥l1，则l2与平面α所成的角为60°；
④两条异面直线与同一平面所成的角不会相等．
以上命题正确的是________．
解析 ①正确．②不正确，l1与l2不一定平行．③不正确，l2与平面α所成角不确定．④不正确，有可能相等．
答案 ①
能 力 提 升
8．已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点．求直线AE与平面A1ED1所成的角的大小．
解 以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系．
由题意A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)．
＝(0,1，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0，－1，－1)．
设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)．
则?
令z＝1得y＝1，x＝0.
∴n＝(0,1,1)，cos〈n，〉＝＝＝－1.
∴〈n，〉＝180°.
∴直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
品 味 高 考
9．如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析 建立坐标系如图所示
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C1(0,2,1)，B1(2,2,1)，连接B1D1交A1C1于O，则是平面BB1D1D的一个法向量，由A1(2,0,1)，C1(0,2,1)知O(1,1,1)，
∴＝(－1,1,0)，＝(－2,0,1)．
∴cos〈，〉＝＝.
设BC1与平面BB1D1D成的角为θ，
则sinθ＝cos〈，〉＝.
答案 D
10．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.
(1)求异面直线BF与DE所成角的大小；
(2)证明平面AMD⊥平面CDE；
(3)求二面角A－CD－E的余弦值．
解 如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz.设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M(，1，)．
(1)＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，
于是cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线BF与DE所成角的大小为60°.
(2)由＝(，1，)，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0.
因此，CE⊥AM，CE⊥AD.
又AD∩AM＝A，故CE⊥平面AMD.
而CE?平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
(3)设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，则于是令x＝1，
可得u＝(1,1,1)．
又由题设，平面ACD的一个法向量为v＝(0,0,1)．
所以，cos〈u，v〉＝＝＝.
因为二面角A－CD－E为锐角，所以其余弦值为.
