2013版【名师一号】高中数学（人教A版）选修2-1第一章 常用逻辑用语 测试题（含详解）

第一章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若命题“如果p，那么q”为真，则(　　)
A．q?p　　　　　　　 B．綈p?綈q
C．q?p D．綈q?p
解析　p?q?q?p.
答案　C
2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是(　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
解析　由数与向量的意义知，B正确．
答案　B
3．已知下列三个命题，其中真命题是(　　)
①方程x2－x＋2＝0的判别式小于或等于零；②矩形的对角线垂直且平分；③3≥2.
A．①② B．①③
C．②③ D．①
答案　B
4．下列说法正确的是(　　)
①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真．
A．①② B．②③
C．③④ D．②③④
答案　B
5．下列命题中，真命题是(　　)
A．?x∈R，x>0 B．如果x<2，那么x<1
C．?x∈R，x2≤－1 D．?x∈R，x2＋1≠0
答案　D
6．四个条件：b>0>a；0>a>b；a>0>b；a>b>0.能使<成立的充分条件的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
7．命题“?数列{an}，{bn}既是等差数列，又是等比数列”(　　)
A．是特称命题并且是假命题
B．是全称命题并且是假命题
C．是特称命题并且是真命题
D．是全称命题并且是真命题
答案　C
8．(2013·海南模拟)若函数f(x)，g(x)的定义域和值域都是R，则“f(x)A．存在x0∈R，使得f(x0)B．有无数多个实数x，使得f(x)C．对任意x∈R，都有f(x)＋D．不存在实数x，使得f(x)≥g(x)
答案　D
9．(2012·云南师大附中模拟)已知命题p：?x∈R，sinx≥0，则下列说法正确的是(　　)
A．綈p是特称命题，且是真命题
B．綈p是全称命题，且是假命题
C．綈p是全称命题，且是真命题
D．綈p是特称命题，且是假命题
解析　命题p：?x∈R，sinx≥0是全称命题，且是假命题．所
以綈p应为特称命题，且是真命题，故选A.
答案　A
10．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
11．(2012·佛山模拟)下列有关命题的说法错误的是(　　)
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：若x≠1，则x2－3x＋2≠0
B．x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．对于命题p：?x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：?x∈R，
均有x2＋x＋1≥0
答案　C
12．给出命题p：若“·>0，则△ABC为锐角三角形”；命题q：“实数a，b，c满足b2＝ac，则a，b，c成等比数列”．那么下列结论正确的是(　　)
A．p且q与p或q都为真
B．p且q为真而p或q为假
C．p且q为假且p或q为假
D．p且q为假且p或q为真
解析　∵·>0?∠B为钝角，
∴△ABC为钝角三角形，∴命题p为假．
∵b2＝acDa，b，c为等比数列(如a＝0，b＝0，c＝1)
∴命题q为假．
故p∧q且p∨q均为假．
答案　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)
13．设α表示平面，a，b表示直线，给定下面四个命题：
①a∥α，a⊥b?b⊥α； ②a∥b，a⊥α?b⊥α；
③a⊥α，a⊥b?b∥α； ④a⊥α，b⊥α?a∥b.
其中正确命题的个数有________个．
解析　①中b可能平行于α；②正确．③中b可能在α内；④正确．
答案　2
14．a＝3是直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合的________条件．
解析　当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，显然l1∥l2.
当l1∥l2时，＝≠，∴a＝3.
∴a＝3是l1∥l2的充要条件．
答案　充要
15．“若(x－1)(y＋2)≠0，则x≠1且y≠－2”的否命题是____________，逆否命题是____________．
答案　若(x－1)(y＋2)＝0，则x＝1，或y＝－2
若x＝1，或y＝－2，则(x－1)(y＋2)＝0
16．对任意实数x，(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0都成立，则a的取值范围是________．
解析　当a2－1＝0时，易知a＝1适合．
当a2－1≠0时，应有
解得－综上可知－答案　－三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)某人投篮，设命题p：第一次投中；q：第二次投中．试用p，q及逻辑联结词“且”“或”“非”表示下列命题：
(1)两次都投中；
(2)两次都没有投中；
(3)恰有一次投中；
(4)至少有一次投中．
解　(1)两次都投中：“p∧q”．
(2)两次都没投中：“綈p∧綈q”．
(3)恰有一次投中：“p且綈q或綈p且q”．
(4)至少有一次投中：“p∨q”．
18．(12分)写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题，并判断其真假．
解　逆命题为：“已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集”．
由a2≥4b知，Δ＝a2－4b≥0.这说明抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴有交点，那么x2＋ax＋b≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．
19．(12分)设集合M＝{x|y＝log2(x－2)}，P＝{x|y＝}，则“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？
解　由题设知，M＝{x|x>2}，P＝{x|x≤3}．
∴M∩P＝(2,3]，　M∪P＝R.
当x∈M，或x∈P时，
x∈(M∪P)＝Rx∈(2,3]＝M∩P.
而x∈(M∩P)?x∈R.
∴x∈(M∩P)?x∈M，或x∈P.故“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．
20．(12分)?x∈R，不等式4mx2－2mx－1<0恒成立，求m的取值范围．
解　当m＝0时，不等式4mx2－2mx－1<0，对x∈R恒成立．
当m≠0时，不等式4mx2－2mx－1<0恒成立??－4故?x∈R，不等式4mx2－2mx－1<0恒成立，
－421．(12分)已知命题p：对于m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立；命题q：不等式x2＋ax＋2<0有解，若p∨q为真，且p∧q为假，求a的取值范围．
解　∵m∈[－1,1]，∴∈[2，3]．
∵对m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立，可得a2－5a－3≥3，
∴a≥6，或a≤－1.
故命题p为真时，a≥6，或a≤－1.
命题p为假时，－1＜a＜6.
又命题q：x2＋ax＋2<0有解，
∴Δ＝a2－8>0.
∴a>2，或a<－2.
从而命题q为真时a>2，或a<－2，
q为假时－2≤a≤2.
依题意p∨q为真，p∧q为假，
∴p与q必有一真一假．
当p真q假时，a的取值范围是－2≤a≤－1；
当p假q真时，a的取值范围是2综上，a的取值范围是[－2，－1]∪[2，6)．
22．(12分)下图是函数y＝()x和y＝3x2图像的一部分，其中x＝x1，x2(－1(1)给出如下两个命题：
①当x②当x>x2时，()x<3x2，试判定命题①②的真假并说明理由．
(2)求证：x2∈(0,1)．
解　(1)命题①是假命题，可以举反例：取x＝－10，则x命题②是真命题，∵函数y＝()x在[x2，＋∞)上是减函数，函数y＝3x2在[x2，＋∞)上是增函数，
∴当x>x2时，()x<()x2＝3x<3x2.
(2)证明：构造函数f(x)＝3x2－()x，则f(0)＝－1<0，f(1)＝3－＝>0，
∴f(x)在区间(0,1)内有零点．
又∵f(x)＝3x2－()x在区间(0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)在区间(0,1)内的零点唯一．
∴x2∈(0,1)．