(共41张PPT)
4.2 正 切
1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联
系；（重点）
2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单
计算； (重点)
学习目标
我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个锐角的对边（或邻边）与斜边的比值也就确定（是一个常数）. 那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？
A
B
C
探 究
如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角
形，其中∠A =∠D = α，∠C =∠F = 90°，
则 成立吗？为什么？
A
C
B
α
D
F
E
α
一、正切的定义
解：∵∠A = ∠D = α ，∠C = ∠F = 90°，
∴ Rt△ABC∽Rt△DEF.
∴
即 BC·DF = AC·EF,
∴
A
C
B
α
D
F
E
α
由此可得，在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关 .
如图，在直角三角形中，我们把锐角 α 的对边与邻边的比叫作角 α 的正切(tangent)，记作 tan α，即
α
对边
邻边
归纳总结
1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A 是一个锐角.
2. tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切 . 但 ∠BAC
的正切表示为：tan∠BAC . ∠1的正切表示为：tan∠1.
定义中的几个问题：
A
B
C
┌
锐角 A 的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？
对于锐角 A 的每一个确定的值，tan A 都有唯一的确定的值与它对应.
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；
也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.
议一议
1、下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡
β
6m
┐
乙
8m
α
5m
┌
甲
13m
∵ tan β > tan α ，
练一练
∴ 乙梯更陡.
提示:在生活中，常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
2、计算：tan45°+ tan230°+ tan230°tan260°
3、 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 7，BC = 5，则 tan A = ，
tan B = ．
互余两锐角的正切值互为倒数.
4、下图中∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D .指出 ∠A 和 ∠B 的对边、邻边.
(1) tan A =
=
AC
( )
CD
( )
(2) tan B =
=
BC
( )
CD
( )
BC
AD
BD
AC
A
B
C
D
6.如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大100倍，tan A 的值（ ）
A. 扩大100倍 B. 缩小100倍
C. 不变 D. 不能确定
A
B
C
┌
C
5、 已知 ∠A，∠B 为锐角，
(1) 若 ∠A =∠B，则 tan A tan B；
(2) 若 tan A = tan B，则∠A ∠B.
=
=
动脑筋
如何求 tan 30°，tan 60°的值呢？
A
B
C
30°
做一做
如何求 tan 45°的值呢？
tan 45°= 1
45°
B
C
A
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角 a 三角函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
1
归纳总结
对于一般锐角 α（30°，45°，60°除外）的正切值，我们也可用计算器来求.
例如求25°角的正切值，可以在计算器上依次按键 ，
显示结果为 0.4663…
二、计算器求锐角的正切值或根据正切值求角
如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.
例如，已知 tan α = 0.8391，依次按键 ，显示结果为 40.000… ，表示角 α 约等于40°.
（2） tan 89°27′ ≈ (精确到0.0001 )；
（3）若 tan α = 1.286 8，则 α ≈ (精确到0.1°)；
（4）若 tan α = 108.572 9，则 α ≈ (精确到0.1°).
动脑筋
（1）tan 21°15′ ≈ (精确到0.0001 )；
0.388 9
104.170 9
52.1°
利用计算器计算：
89.5°
从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个
锐角 α ，都有唯一确定的比值 sin α (或 cos α ，tan α )
与它对应，并且我们还知道，当锐角 α 变化时，它的
比值 sin α (或 cos α，tan α )也随之变化. 因此我们把锐
角 α 的正弦、余弦和正切统称为角 α 的锐角三角函数.
总结归纳
定义中应该注意的几个问题：
1. sin A，cos A，tan A 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).
2. sin A，cos A，tan A 是一个完整的符号，分别表示 ∠A 的正弦，余弦，正切 (习惯省去“∠”号).
3. sin A，cos A，tan A 是一个比值.注意比的顺序.且 sin A，cos A，tan A 均 > 0，无单位.
4. sin A，cos A，tan A 的大小只与 ∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5. 角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.
典例精析
例 计算：tan 45°+ tan 30°tan 60°.
练一练
解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，
得 x1 = 1，x2 = －3.
∵ tan α > 0，
∴ tan α = 1，
∴ α = 45°.
练 习
1.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 7，BC = 5，求 tan A，tan B
的值．
A
C
B
7
5
解：∵ BC 为∠A 的对边，AC 为∠A 的邻边，
∵ AC 为∠B 的对边，BC 为∠B 的邻边
2.用计算器求下列锐角的正切值(精确到0.0001):
(1) 35°； (2) 68°12′； (3) 9°42′.
解：（1）tan 35°≈ 0.700 2.
（2）tan 68°12′ ≈ 2.500 2 .
（3）tan 9°42′ ≈ 0.170 9 .
3.已知下列正切值，用计算器求对应的锐角 α (精确到0.1°).
(1) tan α = 0.108 7； (2) tan α = 89.708 1.
解：由 tan α = 0.108 7 ，得∠α ≈ 6.2 °；
由 tan α = 89.708 1 ，得∠α ≈ 89.4 °；
4.计算：
(1) 1 + tan260°； (2) tan 30°cos 30°.
(3) 在 Rt△ABC 中∠C = 90°，BC = 5，tan A = ，
AC = ( ).
B
C
A
(1) 在 Rt△ABC 中∠C = 90°，BC = 5，AC = 12，tanA = ( ).
(2) 在 Rt△ABC 中 ∠C = 90°，BC = 5，AB =13，tan A = ( )，tan B = ( ).
5.完成下列填空：
20
6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则 tan A = （ ）
A. B.
C. D.
D
这个图呢？
C
A
B
C
A
B
7. 如图，P 是 ∠α 的边 OA 上一点，点 P 的坐标为(12，5)，则 tan α = .
M
记得构造直角三角形哦！
O
P(12,5)
A
x
y
8. 在等腰△ABC中， AB = AC = 13，BC = 10，求 tan B .
提示：过点 A 作 AD 垂直于 BC 于点 D.
求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的.
A
C
B
┌
D
解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
∴在 Rt△ABD 中，
易知 BD = 5，AD = 12.
4k
┌
A
C
B
15
3k
∴ (3k)2 + (4k)2 = 152
∴ 25k2 = 225
∴ k = 3
∴ BC = 3k = 3×3 = 9，
AC = 4k = 4×3 = 12 .
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB =10，BC = 6，求 sin A、cos A、tan A 的值．
A
B
C
6
10
A
B
C
∴ 设 AC = 15k，则 AB = 17k
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cos A = ，
求 sin A、tan A 的值．
变式1
A
B
C
8
变式2
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，tan A = ，求 sin A、cos B 的值．
如图，在平面直角坐标系中，P(x，y) 是第一象限内直线 y = -x + 6 上的点， 点 A(5，0)，O是坐标原点，△PAO的面积为S.
（1）求 S 与 x 的函数关系式；
（2）当 S =10 时，求 tan∠PAO 的值.
M
能力提升
解：(1)过点 P 作 PM⊥OA 于点 M ，
y
x
A
O
P(x，y)
（2）当 S =10 时，求 tan∠PAO 的值.
又∵点 P 在直线 y = -x + 6 上，
∴ x = 2.
∴ AM = OA – OM = 5 – 2 = 3.
M
y
x
A
O
P(x，y)
∴ y = 4 .
课堂小结
本课结束(共8张PPT)
习 题
4.2 正 切
1.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 12cm，AB = 13cm，求 tan A，tan B 值．
解：根据勾股定理，得
BC2 = AB2 － AC2 = 132 －122 = 25
∴ BC = 5 cm.
A
B
C
2.如图，在平面直角坐标系内有一点 P (5，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正切值.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
y
x
O
P (5，4)
α
解：过点 P 作 x 轴得垂线交 x 轴于点 Q .
Q
∵ 点 P 坐标为 (5，4)
∴ PQ = 4，OQ = 5，
3. 求下列各式的值：
A
B
C
α
证明：如图所示，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = α ，
根据锐角三角函数的定义，得
5.用计算器求锐角 α 的三角函数值，并将结果(精确到0.001)填入下表：
锐角 α … 10° 20° 40° 50° 70° 80° …
sin α … …
cos α … …
tan α … …
由上表你可以猜测出锐角 α 在其度数不断增大的情况下，它的三角函数值是如何变化的吗？
0.1736
0.9848
0.1763
0.3420
0.9396
0.3640
0.6428
0.7660
0.8391
0.7660
0.6428
1.1918
0.9397
0.3420
2.7475
0.9848
0.1736
5.6713
随着锐角 α 的度数不断增大，sin α 逐渐变大，cos α 逐渐变小，tan α 逐渐变大
本课结束
