(共28张PPT)
3.5 相似三角形的应用
学习目标
1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的
高度和宽度. (重点)
2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三
角形的数学模型，提高分析问题、解决 问题的能力. (难点)
一、利用相似三角形测量宽度
动脑经
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A，B间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？
A
B
我们可以这样做：
如图，在池塘外取一点C，使它可以直
接看到A，B两点，连接并延长AC，BC，在
AC的延长线上取一点D，在BC的延长线上取
一点E，使 = h（k为正整数），
测量出DE的长度后，就可以由相似三角形的
有关知识求出A，B两点间的距离了.
A
B
C
D
E
做一做
如图，如果 ，且测得DE的长为50m，则A，B两点间的距离为多少？
∴ ΔABC∽ΔDEC.
∴
∵ DE = 50m，
解： ∠ABC = ∠DCE，
∴ AB = 2DE = 100m.
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得QS = 45 m，ST = 90 m，
QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.
P
R
Q
S
b
T
a
解得 PQ = 90.
因此，河宽大约为 90 m.
解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P，
∴△PQR∽△PST.
∴ ，
即 ，
PQ×90 = (PQ+45)×60.
45m
90m
60m
练一练
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD=120m，DC=60m，EC=50m，
求两岸间的大致距离 AB．
E
A
D
C
B
60m
50m
120m
解：∵ ∠ADB =∠EDC，
∠ABC =∠ECD = 90°，
∴ △ABD∽△ECD.
∴ ，即 ，
解得 AB = 100.
因此，两岸间的大致距离为 100 m.
变式
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
归纳总结
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
二、利用相似三角形测量高度
1、如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又 ∠AOB =∠DFE = 90°，
∴△ABO ∽△DEF.
∴ ，
∴
=134 (m).
因此金字塔的高度为134 m.
怎样测出OA的长？
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
归纳总结
2、如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.
分析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN.
A
E
C
D
F
B
N
解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，
因为人、标杆、树都垂直于地面，
∴∠ABF=∠EFD =∠CDF = 90°，
∴AB∥EF∥CD, ∴∠EMA=∠CNA.
∵∠EAM=∠CAN,
∴△AEM∽△ACN ,
∴ .
∵AB=1.6m ， EF=2m ，
BD=27m ， FD=24m，
A
E
C
D
F
B
N
∴ ， ∴CN=3.6（m），
∴CD=3.6+1.6=5.2（m）.
故树的高度为5.2m.
例：在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（O）、 准星（A）、靶心点（B）在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星A偏离到A‘，如图所示.已知OA=0.2m，OB=50m，AA'=0.0005m，求李明射击到的点B'偏离靶心点B的长度BB'（近似地认为AA'∥BB′）.
解：∵AA'∥BB′
∴△AEM ∽△ACN
∵OA=0.2m，OB=50m，AA'=0.0005m，
∴BB'=0.125m.
答：李明射击到的点B'偏离靶心点B的长度BB'为0.125m.
A
F
E
B
O
┐
┐
还可以有其他测量方法吗？
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB =
OA · EF
AF
平面镜
想一想：
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
归纳总结
如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了
三、利用相似解决有遮挡物问题
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.
视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了.
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与
两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK.
∴ ，
即
解得 EH=8.
解：由题意可知，栏杆短臂长为1m，即OA=OC=1m，
长臂长为6m，即OB=OD=6m，
短臂端点下降0.5m，即AM= 0.5m，
∵∠AMO =∠BNO= 90°，
∠AOM =∠BON，
∴ △AOM ∽△BON，
∴
练 习
1.如图，某路口栏杆的短臂长为1m，长臂长为6m.当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高多少米？
综上所述，当短臂端点下降0.5米时，
长臂端点升高3米.
∴ BN = 3m.
2.如图，小红同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边 DE = 80cm，EF = 40cm，测得 AC = 1.5m，CD = 8m，求树高AB.
解：由题意得△DEF∽△DCB
∴
∵ DE = 80cm = 0.8m，EF = 40cm = 0.4m，CD = 8m
∴ .
∴ AC =1.5m，
∴ AB = AC + BC = 5.5m
∴ 树高5.5米
3. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD = 5 m，AD =15m，ED = 3 m，则 A、B 两点间的距离为 m.
A
B
E
D
C
20
4. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 的长度为 .
12 cm
5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度.
A
B
C
D
G
E
F
A
B
C
D
G
E
F
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
∵DE = 0.5米，EF = 0.25米，DG = 1.5米，DC = 20米，
则
解得：AC = 10，
故 AB = AC + BC
= 10 + 1.5 = 11.5 (m).
答：旗杆的高度为 11.5 m.
∴
6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度．
A
B
C
D
解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E，
∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m，
∵ 在同一时刻物高与影长成正比例，
∴ EA : ED=1 : 1.2，
∴ AE = 8 m，
∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)，
∴ 学校旗杆的高度为 10 m.
课堂小结
本课结束(共8张PPT)
习 题
3.5 相似三角形的应用
1.如图，小杰在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为多高？（假设球沿直线飞行）
解：由题意得，AB//CD，AB = 0.8m，
PD = 10m，PB = 5m
∵AB//CD
∴
∴
解得 h = 1.6(m)
∴球拍击球的高度h应为1.6m
2.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成 .
把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度m的地方，此时
然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，这时CD与AB的长度有什么关系？位置有什么关系？为什么？
解： ，CD // AB.
理由如下：∵ ，∠COD =∠AOB，
∴ △AOB∽△COD.
∴ ，∠OAB =∠OCD.
∴ CD // AB.
3.如图，某宣传栏BC后面2m处植有与宣传栏平行的6棵树，即DE//BC，且相邻两棵树干之间的间隔均为2m . 一人站在宣传栏前面的点A处正好看到两端的树干，其余的4棵树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF=3m，求宣传栏BC的长（不计宣传栏的厚度）.
解：∵ 6棵树中，相邻两棵树干之间的间隔均为2m，
∴ ED = 2×(6 - 1) = 10 m.
结合已知可得点A到ED的距离为
3 + 2 = 5 m.
∵ DE // BC，
∴△ABC∽△ADE.
∴ ，即
∴ BC = 6 m.
故宣传栏BC的长为6m.
4.如图，一张梯子共有5级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1= 0.5m，最下面一级踏板的长度A5B5= 0.8m，求剩余几级踏板的长度（提示：过点A1作B1B5的平行线）．
D
解：过点A1作B1B5的平行线，使A1D∥ B1B5，
由等分关系：A5D = A5B5- A1B1 = 0.8 - 0.5 = 0.3(m)
则每级差为：0.3÷4 = 0.075(m)；
A2B2 = 0.5 + 0.075 = 0.575 (m)；
A3B3= A2B2 + 0.075 = 0.575 + 0.075 = 0.65(m)
A4B4 = A3B3 + 0.075 = 0.65 + 0.075 = 0.725(m)
故答案为：A2B2 = 0.575 (m)；A3B3 = 0.65(m)；A4B4 = 0.725(m)
5.在一次活动课上，王老师让同学们到操场上想办法测量旗杆的高度．
小芳同学的测量方法是：拿一根高3.5m的竹竿(EC)直立在离旗杆(AB)27m的C处，然后走到D处，这时目测到旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C，D两点间的距离为3m，小芳的目高（眼睛到地面的距离）DF为1.5m，这样便可知道旗杆AB的高度 .
你认为这种测量方法是否可行？如果可行，
请求出旗杆的高度；如果不行，请说明理由.
解：这种测量方法可行.
根据梯形DCEF和梯形DBAF相似，即可求出旗杆AB的高度
根据公式
又∵ DC = 3m、
DB = DC + CB = 3 + 27 = 30 m、
竹竿EC = 3.5m
将数据代入上式得：
解得AB = 35m
综上所述，旗杆高35m
本课结束
