(共27张PPT)
4.1 正弦和余弦
第1课时 正 弦
学习目标
1. 理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角
固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变). (
重点)
2. 能根据正弦概念正确进行计算. (重点、难点)
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
30°
情境引入
A
B
C
做一做
画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度和斜边长度，计算
与同桌和邻桌的同学交流，看看计算出的比值是否相等(精确到0.01).
一、正弦的概念
如图，(1)和(2)分别是小明、小亮画的直角三角形，其中∠A = ∠A′ = 65°，∠C = ∠C′ = 90°.
A
C
B
65°
B′
A′
C′
65°
小明量出 ∠A 的对边 BC = 3cm，斜边AB = 3.3cm，算出：
B′
A′
C′
65°
小明量出 ∠A′ 的对边 B′C′ = 3cm，斜边A′B′ = 3.3cm，算出：
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 .
这个猜测是真的吗？若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？
探 究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A =∠D = α，∠C=∠F=90°，
则 成立吗？为什么？
α
A
B
C
α
D
F
E
解：∵∠A = ∠D = α，∠C = ∠F = 90°，
∴ Rt△ABC∽Rt△DEF.
∴
即 BC·DE = AB·EF，
这说明，在有一个锐角等于α 的所有直角三角形中，角α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
如图，在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦(sine)，记作sinα，即
α
斜边
对边
根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，容易得到
从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
35m
合作探究
A
B
C
30°
35m
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求AB.
解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”. 即
∴ AB = 2BC = 70 (m).
也就是说，需要准备 70 m 长的水管.
如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多
长的水管？
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 3，AC = 5.
（1）求 sinA 的值；
（2）求 sinB 的值.
A
B
C
5
3
解：(1) ∠A 的对边 BC = 3，斜边 AB = 5，于是
因此
于是 AC = 4.
(2) ∠B的对边是AC，根据勾股定理，得
AC2 = AB2 – BC2 = 52 – 32 = 16
典例精析
sinA = ( )
sinA = ( )
1. 判断对错
A
10m
6m
B
C
√
×
sinB = ( )
×
sinA = 0.6 m ( )
×
sinB = 0.8 m ( )
√
练一练
2. 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100
倍，sinA 的值 ( )
A. 扩大100倍 B. 缩小
C. 不变 D. 不能确定
C
3、如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( )
O
x
y
P (a，b)
α
A. B.
C. D.
D
方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
A
B
C
提示：已知 sin A 及∠A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后再利用勾股定理，求出 BC 的长度，进而求出 sin B 及 Rt△ABC 的面积.
二、正弦的简单应用
解：∵ ∴
∴ AB = 3BC =3×3=9.
∴
∴
∴
A
B
C
3
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = k，sin B = h，AB = c，则
BC = ck，
AC = ch.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，BC = a，则
AB =
AC =
归纳总结
1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，sinA = ，BC = 6，则 AB 的长为 ( )
D
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
2. 在△ABC中，∠C = 90°，如果 sinA = ，AB = 6， 那么BC = .
2
练一练
3. 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24cm，sinA = ，求这个三角形的周长．
解：设BC = 7x，则AB = 25x，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
所以 △ABC 的周长为
AB + BC + AC = 7 + 24 + 25 = 56 (cm).
方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题.
练 习
1.如图，在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB = 13，BC = 5.求 sinA，sinB 的值 .
B
C
A
解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA .
A (0，3)
在△APO中，由勾股定理得
因此
α
2.如图，在平面直角坐标系内有一点 P(3，4)，连接 OP，求 OP 与 x轴正方向所夹锐角 a 的正弦值.
B
（1）在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值 ( )
A. 扩大 2 倍 B.不变
C. 缩小 D. 无法确定
（2）如图， sinA的值为 ( )
7
A
C
B
3
30°
C
A. B.
C. D.
3. 选择题
（1）在 Rt△ABC 中，∠C = 90 ° ，若 sinA = ，则∠A= ， ∠B= .
45°
45°
（2）如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 .
4. 填空
D
5
5
C
B
A
5. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求△ABC 的面积.
解：作BD⊥AC于点D，
∵ sinA = ，
∴
又∵ △ABC 为等腰△，BD⊥AC，
∴ AC = 2AD = 6，
∴S△ABC = AC×BD÷2 = 12.
6. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB.
(1) sinB 可以由哪两条线段之比表示
A
C
B
D
解：∵ ∠A =∠A，∠ADC =∠ACB = 90°，
∴△ACD ∽△ABC，∴∠ACD = ∠B，
∴
(2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值.
解：
由题 (1)知
∠A的对边
斜边
sin A =
课堂小结
本课结束(共29张PPT)
4.1 正弦和余弦
第3课时 余 弦
1.理解并掌握锐角余弦的定义并能进行相关运算；
(重点)
2.学会用计算器求锐角的余弦值或根据余弦值求锐角．
学习目标
A
B
C
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，当锐角 A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定.
此时，其他边之间的比是否也确定了呢？
问题引入
如图所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D = α，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？
一、余弦
探 究
A
B
C
α
D
E
F
α
A
B
C
α
D
E
F
α
我们来试着证明前面的问题：
∵
∠A =∠D = α，∠C =∠F = 90°，
∴
∠B =∠E，
从而 sinB = sinE，
因此
由此可得，在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关 .
如图，在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角 α 的余弦(cosine)，记作 cos α，即
α
斜边
邻边
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 12，则 cos A = .
练一练
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，如图，已知 AC = 3，AB = 6，求 sin A和 cos B.
┌
B
C
A
3
6
想一想: 我们发现 sin A = cos B，其中有没有什么内有的关系
解：在 Rt△ABC 中，AB = 6，AC = 3，
求：AB，sin B.
10
┐
A
B
C
变式：如图：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，
思考：我们再次发现 sin A = cos B，其中的内在联系你可否掌握
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α ，有
cos α = sin (90° － α)，
从而有 sin α = cos (90° － α) .
归纳总结
如图：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，
sin A = cos B
例3 求 cos30°，cos45°，cos60°的值．
解：cos30°= sin (90°－30°) = sin60° = ；
cos60°= sin (90°－60°) = sin30°=
cos45°= sin (90°－45°) = sin45°=
典例精析
30°、45°、60°角的正弦值和余弦值如下表：
锐角a 三角函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
归纳总结
解：过点 P 作 PH⊥x 轴，垂足为点 H，如图．
在Rt△OPH中，PH = b，OH = a，
如图，已知点P的坐标是(a，b)，则 cos α 等于( )
C
解析：图中无直角三角形，需构造直角三角形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解．
∴
如图：在Rt △ABC中，∠C = 90°，
知识拓展
1. sin A、cos A 是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).
2. sin A、 cos A 是一个比值（数值）.
3. sin A、 cos A 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
注意
对于一般锐角 α（30°，45°，60°除外）的余弦值，我们可用计算器来求.
例如，求50°角的余弦值，可在计算器上依次按键 ，显示结果为0.6427…
二、用计算器求锐角余弦值或根据余弦值求锐角
如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.
例如，已知 cos α = 0.8661，依次按键
，显示结果为29.9914…，表示角 α 约等于30°.
（3）若 cos α = 0.965 9，则 α ≈ (精确到0.1°)；
（4）若 cos α = 0.258 8，则 α ≈ (精确到0.1°).
做一做
（1）cos 15°≈ (精确到0.0001 )；
0.965 9
15.0°
（2）cos 50°48′ ≈ (精确到0.0001 )；
利用计算器计算：
75.0°
0.642 8
练 习
1.如图，在 RtΔABC 中，∠C = 90°，AC = 5，AB = 7.求 cos A，cos B 的值．
A
C
B
解：∵ AB = 7，AC = 5，∠C = 90°.
∴ 由勾股定理得
2.用计算器求下列锐角的余弦值(精确到0.0001)：
(1) 35°； (2) 68°12′； (3) 9°42′.
解：（1）cos 35°≈ 0.819 2；
（2）cos 68°12′ ≈ 0.371 4；
（3）cos 9°42′ ≈ 0.985 7 .
3.已知下列余弦值，用计算器求对应的锐角 α (精确到0.1°).
(1) cos α = 0.108 7 ； (2) cos α = 0.708 1.
解：由 cos α = 0.108 7 ，得∠α ≈ 83.8°；
由 cos α = 0.708 1 ，得∠α ≈ 44.9°；
4. 计算：
(1) cos260°－sin245°； (2) 1－2cos30°cos 45°.
5. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，∠A = 35°，则直角边 BC 的长是 ( )
A.
B.
C.
D.
A
A
B
C
6. 随着锐角 α 的增大，cosα 的值 ( )
A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 不确定
B
当 0°＜α＜90°时，cosα 的值随着角度的增大 (或减小)
而减小 (或增大)
7. 如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大100倍，sin A 的值（ ）
A. 扩大100倍 B. 缩小100倍
C. 不变 D. 不能确定
8. 已知∠A，∠B为锐角
(1)若∠A =∠B，则 sin A sin B；
(2)若 sin A = sin B，则∠A ∠B.
A
B
C
┌
C
=
=
(1)求点B的坐标；
(2)求cos∠BAO的值．
9．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO = 5，sin∠BOA =
A
B
H
解：(1)如图所示，作BH⊥OA， 垂足为H．
在Rt△OHB中，
∵BO = 5，sin∠BOA = ,
∴BH = 3，OH = 4，
∴点B的坐标为(4，3)．
(2)求cos∠BAO的值．
解：∵ OA =10，OH = 4，
∴ AH = 6．
∵在Rt△AHB中，BH = 3，
课堂小结
本课结束(共13张PPT)
习 题
4.1 正弦和余弦
1.计算：
（1）构造一个直角三角形，求 sin 30°，cos 30°，cos 60°的值；
A
B
C
60°
（2）构造一个直角三角形，求 cos 45°的值．
B
C
A
45°
2.计算：
（1）sin230°+ sin245°； （2）1 + 2sin 60°sin 45°.
3.用计算器求下列锐角的正弦值(精确到0.000 1):
(1) 15°； (2) 68°24′； (3) 88°36′.
解：（1）sin 15°≈ 0.258 8 ；
（2）sin 68°24′ ≈ 0.929 8 ；
（3）sin 88°36′ ≈ 0.999 8 .
4.已知正弦值，求相应的锐角 α (精确到0.1°)：
(1) sin α = 0.315 2； (2) sin α = 0.996 2.
解：（1）sin α = 0.315 2 ，∠α ≈ 18.4°
（2）sin α = 0.516 8 ， ∠α ≈ 85.0°
5.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 7cm，AB = 8cm，求 cos A，cos B 的值．
A
C
B
7cm
8cm
6. 用计算器求下列锐角的余弦值(精确到0.0001):
(1) 8°； (2) 26°12′； (3) 83°24′ .
解：（1）cos 8°≈ 0.990 3
（2）cos 26°12′ ≈ 0.897 2
（3）cos 83°24′ ≈ 0.114 9
7.已知余弦值，求相应的锐角 α (精确到0.1°)：
(1) cos α = 0.315 2； (2) cos α = 0.516 8.
解：（1）cos α = 0.315 2 ，∠α ≈ 71.6°
（2）cos α = 0.516 8 ， ∠α ≈ 58.9°
8. 求下列各式的值．
(1) sin245°+ cos245°； (2) cos 30°cos 45°cos 60°；
(3) 2cos260°－ 1； (4) cos 45°cos 30° － sin 45°sin 30°.
9. 设 α 是任一锐角，求证：sin2 α + cos2 α = 1.
证明：在Rt△ABC中，BC2 + AC2 = AB2
∴ sin2 α + cos2 α
A
C
B
α
10. 如图，在平行四边形ABCD中，AB = 60，AD = 45，∠A = 60°，求四边形ABCD的面积．
A
B
C
D
60°
E
解：过点 D 作 DE⊥AB 于 E，如图，
本课结束(共21张PPT)
4.1 正弦和余弦
第2课时 特殊角的正弦、用计算器求锐角的正弦
1.学习并掌握一些特殊锐角的正弦值；（重点）
2.学会利用计算器求锐角的正弦值或根据正弦值求锐角．
(重点)
学习目标
猜谜语
一对双胞胎，一个高，一个胖，
3个头,尖尖角,我们学习少不了
思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？
情境引入
思考：你能用所写的知识，算出图中表示角度的三角函数值吗？
45°
45°
90°
30°
90°
60°
如何求sin 45°的值？
如图所示，构造一个 Rt△ABC，使∠C = 90°，∠A = 45°.
于是∠B = 45°.
从而 AC = BC．
根据勾股定理，得
AB2 = AC2 + BC2 = BC2 + BC2 = 2BC2.
因此
一、特殊角的正弦值
动脑筋
动脑筋
如何求sin 60°的值？
如图所示，构造一个Rt△ABC ，使∠B=60°，则
∠A=30°，从而 .
根据勾股定理得
AC2 = AB2 -BC2 = AB2 -
于是
因此
30°、45°、60°角的正弦值如下表：
锐角a 三角 函数 30° 45° 60°
sin a
归纳总结
典例精析
通常我们把 (sin30°)2简记为sin230°
例如：求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键
，显示结果为0.7660…
至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）的正弦值，而对于一般锐角α的正弦值，我们可以利用计算器来求.
二、利用计算器求正弦值
求sin18°．
第一步：按计算器 键，
sin
第二步：输入角度值18，
屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994
（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）.
操作演示
用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：
(1) sin47°； (2) sin12°30′；
解：根据题意用计算器求出：
(1) sin47°≈ 0.7314；
(2) sin12°30′ ≈ 0.2164；
练一练
如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角 .
例如，已知 sin α = 0.7071，依次按键
，
显示结果为 44.999···，表示角 α 约等于 45°.
2nd F
sin
0
.
7
0
7
1
已知 sin A = 0.501 8，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：
第一步：按计算器 键，
2nd F
sin
第二步：然后输入函数值0. 501 8
屏幕显示答案： 30.119 158 67°
还以以利用 键，进一步得到
∠A = 30°07'08.97 "
°＇″
2nd F
操作演示
已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：
sin A = 0.7， sin B = 0.01；
解：由 sin A = 0.7，得∠A ≈ 44.4°；
由 sin B = 0.01，得∠B ≈ 0.6°；
练一练
（3）若 sin α = 0.5225，则 α ≈ (精确到0.1°)；
（4）若 sin α = 0.8090，则 α ≈ (精确到0.1°).
动脑筋
（1）sin 40°≈ (精确到0.0001 )；
0.6428
0.2672
31.5°
利用计算器计算：
（2） sin 15°30′ ≈ (精确到0.0001 )；
54.0°
练 习
1.用计算器求下列锐角的正弦值(精确到0.0001)：
(1) 35°； (2) 65°36′； (3) 80°54′ .
解：（1）sin 35°≈ 0.5736 ；
（2）sin 65°36′ ≈ 0.9107；
（3）sin 80°54′ ≈ 0.9874 .
2.已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角 (精确到0.1°)：
(1) sin α = 0.8071；
(2) sin α = 0.8660.
解：由 sin α = 0.8071，得∠α ≈ 53.8°；
由 sin α = 0.8660，得∠α ≈ 60.0°；
3.计算：
(1) sin260°+ sin245°； (2) 1-2sin 30°sin 60°.
4.计算：
课堂小结
本课结束
