(共28张PPT)
3.1.2 成比例线段
3.1 比例线段
1.理解线段的比与成比例线段的关系；
（重点、难点）
2.了解并掌握黄金分割问题．(重点、难点)
学习目标
做一做
如图，在方格纸上(设小方格边长为单位1)有△ABC和△A′B′C′，它们的顶点都在格点上.试求出线段AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长度，并计算AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的长度的比值.
A
B
C
A′
B′
C′
它们的比值都为0.5.
一、线段的比和成比例线段
一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB，A′B′的长度分别为m，n，那么把它们的长度比 叫作这两条线段AB与A′B′的比，记作
如果 的比值为k，那么上述式子也可写成
在图中，对于△ABC和△A′B′C′，有
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于
另外两条线段比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段.
例如，已知四条线段 a，b ， c ， d，若 ，则 a，b ， c ， d，是比例线段.
类似地，如果 ，那么称线段AB，BC，AC与线段A′B′，B′C′，A′C′对应成比例.
思考：两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？
有关
？
无关
？
求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一
在对长度单位进行统一时，无论采用哪一种单位，比值都相同.
注意：虽然两条线段的比要在单位统一的前提下进行，但比值却是一个不带单位的正数.
练一练
1.若线段 AB ＝ 6cm，CD ＝ 4cm，则 = .
2.若线段 AB ＝ 8cm，CD ＝ 2dm，则 = .
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫做比例外项，
b、c 叫做比例内项，
d 叫做 a、b、c的第四比例项.
如果
或 a：b=c：d，
特殊情况：若作为比例内项的两条线段相等，即
a:b=b:c，则b叫做a，c的比例中项.
相关概念
典例精析
例3 已知线段 a，b，c，d 的长度分别为0.8cm，2cm，1.2cm，3cm，问a，b，c，d 是比例线段吗？
解：∵
∴ ，即a，b，c，d 是比例线段
注意:
1.若 a∶b = k ， 说明a是b的 k 倍；
2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致；
3.两条线段的比值是一个没有单位的正数；
4.除了a = b外，a∶b ≠ b∶a， 与 互为倒数.
二、黄金分割的概念
古希腊数学家、天文学家欧多克索斯（Eudoxus，约前400—约前347）曾经提出一个问题：
能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段的比？
即，使得 ①
A
B
C
成立？如果这能做到的话，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割.
做一做
计算黄金比
运用一元二次方程的知识，可以求出黄金分割比的数值.
A
B
C
如图，设线段AB的长度为1个单位，点C为线段AB上一点，且AC的长度为 x 个单位，则CB的长度为 (1-x) 个单位.根据①式，列出方程：
由于 x ≠ 0，因此方程②两边同乘 x，得 1-x = x2，
即 x2 + x - 1 = 0.
练习 如图所示，已知线段AB按照如下方法作图:
1.经过点B作 BD⊥AB，使BD = AB
2.连接AD，在AD上截取 DE = DB.
3.在AB上截取 AC = AE.
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗
A
B
D
E
C
视觉生理学的研究成果表明，符合黄金分割的比例形式很容易使人产生视觉上的美感，许多世界著名古建筑物中都包含有“黄金分割比”，例如古希腊的巴台农神庙、印度泰姬陵、巴黎圣母院这些著名建筑的正面高度与底部宽度之比均约为黄金分割比.
巴台农神庙
巴台农神庙
（Parthenom Temple）
F
C
A
E
B
D
想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现 ， 点E是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？为什么
点E是AB的黄金分割点
（即 ）是黄金比
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
A
B
C
D
E
F
东方明珠塔，塔高468米.设计师在263米处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观.
在现代，许多建筑的设计中也采用了黄金分割，例如上海的东方明珠广播电视塔的上球体就处于整个塔身高度的黄金分割处.
在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美．
B
C
A
神奇的“黄金分割比”也出现在许多著名艺术作品中，如在意大利著名画家达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，人物的脸的宽度与高度的比就是一个黄金分割比.
在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得
，解得 x = 0.96.
设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则
解得 y ≈ 0.075，而 0.075m = 7.5cm.
故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.
练一练
练 习
1.已知 a，b，c，d 是比例线段.
（1）若 a = 0.8 cm，b = 1 cm，c = 1 cm，求 d ；
（2）若 a = 12 cm，c = 3 cm，d = 15 cm，求 b ；
（3）若 a = 5 cm，b = 4 cm，d = 8 cm，求 c ；
2.在比例尺 1∶1 000 000 的地图上，量得A，B两地的距离是25cm.求A，B两地之间的实际距离.
解：根据题意可得：
A，B两地的实际距离 = 25×1 000 000
= 2.5×107 (cm)
= 2.5×105 (m)
3.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP > BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形面积为S2，则S1与S2的关系是（ ）
A．S1 > S2 B．S1 < S2 C．S1 = S2 D．S1 ≥ S2
P
A
B
C
5.小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到书房（书房高3米），请你帮他设计一下，挂在多高能给人赏心悦目的感觉？
4.点C是线段AB的黄金分割点，如果 AB = 4，求线段 AC的长度．
AC = 4×0.618 = 2.472 或者 AC = 4×(1-0.618) = 1.518.
离地面的高度 h = 3×0.618 = 1.854 m
解：根据题意可知， ，
AB = 15 ， AC = 10，BD = 6.
则 AD = AB – BD = 15 – 6 = 9.
则
6.已知 ，AB =15，AC =10，BD = 6．求 AE．
A
B
C
D
E
1.一条线段的长度是另一条线段的5倍，则这两条线段的比等于 .
2.已知 a、b、c、d 是成比例线段，其中 a = 3cm，b = 2cm，c = 6cm，则线段 d = .
3.已知三个数2，4，6，添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数为 .
4cm
，3，12
5∶1
拓展练习
4.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点.
解: 设AB=1，那么在 Rt△BAE 中，
A
B
C
D
E
F
G
H
课堂小结
本课结束(共9张PPT)
习 题
3.1 比例线段
1.求下列各式中 x 的值.
（1）5∶7 = 15∶x ；
解：（1）根据比例的性质可得：
5x = 7×15
即 5x = 105
解得 x = 21
（2）144∶5 = x∶25 ；
（2）根据比例的性质可得：
5x = 144×25
即 5x = 3600
解得 x = 720
（3）52∶x = 26∶8 ；
（4）x∶13 = 65∶78 ；
解：（3）根据比例的性质可得：
26x = 52×8
即 26x = 416
解得 x = 16
（4）根据比例的性质可得：
78x = 13×65
即 78x = 845
解得 x =
2.已知 a，b ， c ， d 是比例线段.
（1）若 a = 2，b = 3，c = 4，求 d ；
（2）若 a = 1.5，c = 2.5，d = 4.5，求 b ；
（3）若 a = 1.1，b = 2.2，d = 4.4，求 c ；
解：根据已知可得 2∶3 = 4∶d，则 2d = 3×4，d = 6.
解：根据已知可得 1.5∶b = 2.5∶4.5，则 2.5b = 1.5×4.5，b = 6.
解：根据已知可得 1.1∶2.2 = c∶4.4，则 2.2c = 1.1×4.4，c = 2.2.
3.甲、乙两地的实际距离为 680 km，在某地图上量得这两地的距离为 17 cm，求该地图的比例尺.
解：680 km = 68000000 cm，
∴17∶68000000 = 1∶4000000，
故该地图的比例尺为1∶4000000.
4.如图，节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.若舞台AB长为20m，则主持人站在离A多远处最自然得体？（结果精确到0.1m）
解：根据黄金比得：20×(1-0.618) ≈ 7.6 m，
或 20×0.618 ≈ 12.4 m，
则主持人应走到离A点7.6m处，
或12.4m处 .
5.已知 ，求 的值.
解：∵ ，
∴ a = b，c = d，c = f，
∴ ，
6.如图，对于一条给定的线段AB，找出它的黄金分割点的作法如下：
（1）过点B作 AB的垂线，并在垂直线上取使BC = AB
（2）连接AC，在以C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E.
（3）以点A为圆心，AE为半弧，交AB于点P.
则点P为所求作的线段AB的黄金分割点.
按照上述方法，试找出一条线段的黄金分割点.
A
B
C
E
P
本课结束(共19张PPT)
3.1.1 比例的基本性质
3.1 比例线段
1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点）
2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题.（难点）
学习目标
如图的(1)和(2)都是故宫太和殿的照片，(2)是由(1)缩小得到的.
（1）
（2）
P
Q
P′
Q′
在照片(1)中任意取四个点P，Q，A ， B在照片(2)找出对应的两个点P′，Q′，A ′, B ′量出线段PQ，P′Q′，AB， A′B′的长度.计算它们的长度的比值.
A
A
B
B
观察与思考
我们就已经知道，如果两个数的比值与例外两个数的比值相等，就说这四个数成比例.
一、比例的基本性质
把这四个数理解为实数，写成式子就是，如果
则称 a，b，c，d 成比例，其中 b，c 称为比例内项，a，d 称为比例外项.
动 脑 筋
如果四个数 a，b，c，d 成比例，即
那么 ad = bc 吗？
在①式两边同乘 bd，得 ad = bc.
由此可得比例的基本性质
如果 ，那么 ad = bc.
说一说
如果 ad = bc，其中 a，b，c，d 为非零实数，那么 成立吗？
在等式中，四个数 a，b，c，d 可以为任意数，而在分式中，分母不能为0.
由此可得到比例的基本性质：
如果 ad = bc（ a，b，c，d 都不等于0），那么 .
典例精析
例1 已知四个数 a，b，c，d 成比例，即 .
下列各式成立吗？若成立，请说明理由.
解：由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，
因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立.
由①式得 ad = bc.
在上式两边同除以 cd ，得
在①式两边都加上1，得
由此得到
（1） 4a = 5b ；
例2 根据下列条件，求 a : b 的值：
解 （1）∵ 4a = 5b，∴ ；
（2）∵ ，∴ 8a = 7b，∴ .
变式训练
已知 ，求 的值.
解：解法1：由比例的基本性质，
得 2(a + 3b) = 7×2b .
∴ a = 4b，
解法2：由 ，得 .
，那么
、
各等于多少？
2．已知
1．已知：线段 a、b、c 满足关系式
且b = 4，那么 ac ＝______．
，
16
练一练
二、等比性质（拓展）
已知a ， b， c， d， e， f 六个数，如果
（b + d + f ≠ 0），那么 成立吗？为什么？
解：设 ,则
a = kb, c = kd , e= kf .
所以
由此可得到比例的又一性质：
1、在△ABC与△DEF中，已知 ，且△ABC的周长为18cm，求△DEF得周长.
练一练
又 △ABC的周长为18cm，
即 AB + BC + CA = 18cm.
∴ △DEF的周长为24cm.
∴ 4(AB + BC + CA) = 3(DE + EF + FD).
即 AB + BC + CA = (DE + EF + FD) ，
2、若a，b，c都是不等于零的数，且 ，
求k的值.
解：当 a ＋ b ＋ c ≠ 0 时，由 ，
得 ，
则k＝ ＝2；
当a＋b＋c＝0时，则有a＋b＝－c.
此时
综上所述，k的值是2或－1.
1.已知四个数 a，b，c，d 成比例.
（1）若a = -3，b = 9，c = 2，求d；
练 习
2.求下列各式中 x 的值.
（1）4∶15 = x∶9 ；
（2） ∶ = ∶x ；
解：（1）∵ 4∶15 = x∶9
∴ 15x = 4×9
解得：x =
（2）∵ ∶ = ∶x ；
课堂小结
本课结束
