(共24张PPT)
2.5 一元二次方程的应用
第1课时 增长率问题与经济问题
学习目标
1.会用一元二次方程解决有关的实际问题；（重点、难点）
2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生应用数学的意识．
动 脑 筋
某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率.若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变）.
问题中涉及的等量关系是？
由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：
今年的使用率×(1+年平均增长率)2 = 后年的使用率．
设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列出方程：
40%(1 + )2 = 90%
因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%.
填空：
1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.
7%
4324.5
下降率 =
下降前的量-下降后的量
下降前的量
一、增长率问题
探究归纳
2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x，则去年生产1吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.
下降率 x
5000(1-x)
第一次降低后的量
5000
5000(1 - x)(1 - x)
5000(1 - x)2
5000(1 - x)
5000(1 - x)2
下降率 x
典例精析
例1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．求平均每次降价的百分率．
分析 问题中涉及的等量关系是：
原价×(1 - 平均每次降价的百分率)2 = 现行售价．
解 设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系得
100(1 - x)2 = 81.
整理，得 (1 - x)2 = 0.81.
解得 x1 = 0.1=10% ，x2 = 1.9(不合题意，舍去）．
答：平均每次降价的百分率为10%.
为什么x=1.9不合题意
练习 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得
答：这个增长率为50%.
200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950
整理方程，得
4x2 + 12x – 7 = 0，
解这个方程得
x1 = -3.5（舍去），x2 = 0.5.
注意 增长率不可为负，但可以超过1.
例2 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品．若每件商品的售价为x元，则可卖出（350-10x)件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%.若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？
分析 本问题中涉及的等量关系是：
（售价－进价）×销售量＝利润.
二、利用一元二次方程解决营销问题
解 ：根据等量关系得 (x - 21)(350 - 10x) = 400.
整理，得 x2 - 56x + 775 = 0.
解得 x1 = 25，x2 = 31.
又∵21×120% = 25.2，即售价不能超过25.2元，
∴x = 31不合题意，应当舍去．
故 x = 25，从而卖出350 - 10x = 350 - 10×25 = 100(件）．
答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价是25元．
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
议一议
实际问题
建立一元二次方程模型
解一元二次方程
一元二次方程的根
实际问题的解
分析数量关系
设未知数
检 验
1、百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
分析：设商品单价为（50 + x）元，则每个商品得利润 [(50 + x) - 40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少10x 个，故销售量为(500－10x)个，根据每件商品的利润×件数 = 8000，则(500－10x)· [(50+x)－40]=8000.
针对练习
解：设每个商品涨价 x 元，则销售价为(50 + x)元，销售量为(500 - 10x) 个，则
(500－10x)· [(50+x)－40]=8000，
整理得 x2 - 40x + 300 = 0，
解得 x1 = 10，x2 = 30 都符合题意.
当 x = 10时，50 + x = 60，500 -10x = 400；
当 x = 30时，50 + x = 80， 500 -10x = 200.
答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量应为200个.
2、某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株
思考:这个问题设什么为 x 有几种设法
如果直接设每盆植 x 株,怎样表示问题中相关的量
如果设每盆花苗增加的株数为 x 株呢？
整理，得 x2 - 3x + 2 = 0.
解这个方程，得 x1=1， x2=2.
经检验，x1=1 ， x2 = 2 都符合题意.
答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.
解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有(x + 3)株，
平均单株盈利为(3 - 0.5x)元.
根据题意,得 (x + 3)(3 - 0.5x) = 10.
（3）总利润 = × 销量.
（1）利润 = 售价 - ；
进 价
单个利润
总结归纳
利润问题常见关系式
基本关系：
练 习
1.某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，问平均每年藏书增长的百分率是多少？
解：设平均每年增长的百分率为 x ；
依题意，可列方程：
5(1 + x) = 7.2.
解得：x = 0.2 = 20% 或 x = -2.2(舍去).
答：平均增长率为 20%.
2.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价多少元？
解：设每件衬衫应降价x元，则销售为(20 + 5x)件，
每件利润为(44 - x)元
由题意得：(20 + 5x)(44 - x) = 1600
880 - 20x + 220x - 5x2 = 1600
5x2 - 200x + 720 = 0
x - 40x + 144 = 0
(x - 36)(x - 4) = 0
解得：x = 36 或 x = 4.
故答案为：每件衬衫应降价36元或4元
3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为 x ,
根据题意，得 7200(1 + x)2 = 8712
系数化为1得， (1 + x)2 = 1.21
直接开平方得， 1 + x = 1.1，1 + x = -1.1
则 x1 = 0.1，x2 = -2.1
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
4.新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销价每降低50元时，平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元
分析：本题的主要等量关系是：
每台的销售利润×平均每天销售的数量 = 5000元.
∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750.
答：每台冰箱的定价应为2750元.
解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得：
(40 - x)(20 + 2x) = 1200
整理得，x2 - 30x + 200 = 0
解方程得，x1 = 10，x2 = 20
因为要尽快减少库存，所以 x = 10舍去.
答：每件衬衫应降价20元.
5.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
能力提升:菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率；
解：设平均每次下调的百分率为 x ，
由题意，得
5(1 – x )2 = 3.2，
解得 x1 = 20%，x2 = 1.8 （舍去）
∴平均每次下调的百分率为20%；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：
方案一所需费用为：3.2×0.9×5000 = 14400(元)；
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5 = 15000(元)，
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
本课结束(共13张PPT)
2.5 一元二次方程的应用
习 题
1.某市政府为落实保障性住房政策，去年已投入3亿元资金，并规划投入资金逐年增加，明年将投入12亿元资金用于保障性住房建设．求这两年中投入资金的年平均增长率。
解：设这两年中投入资金的平均年增长率是 x，
由题意得：3(1 + x)2 = 12，
解得：x1 = 1，x2 = -3 (不合题意舍去).
答：这两年中投入资金的平均年增长率约是100%.
2.某店只销售某种进价为40元/kg的特产，已知该店按60元/kg出售时，平均每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10kg.若该店销售这种特产计划平均每天获利2240元.
(1)每千克该种特产应降价多少元？
解：(1) 设每千克该特产应降价x元，
根据题意，得：(60-x-40)(100+10x) = 2240，
解得：x1 = 4，x2 = 6，
答：每千克山药应降价4元或6元；
(2)为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售？
3.某单位准备将院内一块长30m、宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草，如图所示．要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等.)
解：设小道进出口的宽度为 x 米，
根据题意可得 (30 - 2x)(20 - x) = 532，
整理，得 x - 35x + 34 = 0，
解得 x1 = 1，x2 = 34，
因为 34 > 30（不合题意，舍去），所以 x = 1.
答：小道进出口的宽度为1米.
4.如图是某年8月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22).若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，求这9个数的中的最大数．
解：根据图象可以得出，圈出的 9 个数，最大数与最小数的差为16，
设最小数为 x ，则最大数为(x + 16)，
根据题意可得 x(x + 16) = 192，
解得 x1 = 8，x2 = -24(不合题意，舍去)，
所以 x + 16 = 24.
答：这 9 个数中的最大数为 24 .
5.某旅行社在某地组织旅游团到北京旅游参观，每人的交通费、住宿费、门票费等费用共需3200元，如果把每人收费标准定为4600元，那么只有20人参加旅游团；高于4600元时，没有人参加；从4600元每降低100元，参加人数就增加10人．每人收费标准定为多少时，该旅行社从这个旅游团可获取利润64000元？
6.（古代数学问题）直田积入百六十四步，
只云长阔共六十步，
问长多阔几何.
—— 摘自古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》
意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，
问它的长比宽多多少步？
解：设长为c步，则宽为(60 - x)步，
依题意，得：x(60 - x) = 864，
解得：x1 = 36，x2 = 24，
∵ x ＞ 60 - x，
∴ x > 30，
∴ x = 36，
∴ x - (60 - x) = 36 - (60 - 36) = 12
故答案为：12.
7.如图，在矩形ABCD中，BC = 24cm，P，Q，M，N分别从点A，B，C，D同时出发，分别沿边AD，BC，CB，DA移动，且当有一个点先到达所在边的另一个端点时，其他各点也随之停止移动. 已知移动一段时间后，若BQ = x cm(x ≠ 0)，则AP = 2x cm，CM = 3x cm，DN = x2cm.
(1)当x为何值时，P，N两点重合？（如图）
解：（1）当点 P 与点 N 重合时，由 x2 +2x = 24，
得x1 = 4、x2 = -6(舍去)
∴ x = 4 时点 P 与点 N 重合.
(2)问Q，M两点能重合吗？若Q，M两点能重合，则求出相应的 x 的值；若Q，M两点不能重合，请说明理由。
解：（2）当点 Q 与点 M 重合时，由x + 3x = 24，
得 x = 6
此时 DN = x2 = 36 > 24，不符合题意.
故点 Q 与点 M 不能重合.
(3)当 x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？
① 如图1，当点 P 在点 N 的左侧时，由 24 - (x + 3x) = 24 - (2x + x2)，
解得 x1 = 0 (舍去)，x2 = 2；
当 x = 2 时四边形 PQMN 是平行四边形；
图1
图2
本课结束(共22张PPT)
2.5 一元二次方程的应用
第2课时 图形面积问题
学习目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
动 脑 筋
如图在一长为40cm、宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖
的长方体形盒子. 若已知长方体
形盒子的底面积为364 cm2，求
截去的四个小正方形的边长.
将铁皮截去四个小正方形后，可以得到图，这个长方体形盒子的底面就是图中的阴影部分，因此本问题涉及的等量关系是：
盒子的底面积 ＝ 盒子的底面长×盒子的底面宽 .
解：设截去的小正方形的边长为 x cm，
则无盖长方体形盒子的底面长与宽分别为 (40 - 2x) cm，(28 - 2x) cm.
根据等量关系，可以列出方程
(40 - 2x)(28 - 2x) = 364.
整理，得x2 - 34x + 189 = 0.
解得 x1 = 27，x2 = 7.
x cm
x cm
x cm
x cm
如果截去的小正方形的边长为 27 cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为 54 cm，这超过了矩形铁皮的长度(40cm).因此 x1 = 27 不合题意，应当舍去.
因此，截去的小正方形的边长为 7 cm.
典例精析
例3 如图，一长为 32m、宽为 20m的矩形地面上修建有同样宽的道路 (图中阴影部分)，余下部分进行了绿化．若已知绿化面积为 540 m2，求道路的宽 .
32 m
20 m
32 m
20 m
分析 虽然“整个矩形的面积－道路所占面积＝绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算！若把道路平移，则可得到图②，此时绿化部分就成了一个新的矩形了，再由本问题涉及的等量关系：
矩形的面积＝矩形的长×矩形的宽，就可建立一个一元二次方程 .
②
32 m
20 m
解 ：设道路宽为 x m，则新矩形的长为 (32 - x) m，宽为(20 - x)m.
根据等量关系得
(32 - x)(20 - x) = 540.
整理，得
x2 - 52x + 100 = 0.
解得 x1 = 2，x2 = 50 (不合题意，舍去）．
答：道路宽为 2 m.
为什么x=50不合题意？
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x 米
1、如图，在一块宽为20m， 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540㎡，求道路的宽为多少？
练一练
还有其他解法吗？
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x 米
20-x
32-x
(32 - x)(20 - x) = 540
整理，得 x2 - 52x + 100 = 0
解得 x1 = 2，x2 = 50
当 x = 50 时，32 - x = -18，不合题意，舍去.
∴取 x = 2
答：道路的宽为 2 米.
方法二：
20
32
x
x
x
20 - x
在宽为20m， 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求这种种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米
(32 - 2x)(20 - x) = 540
可列方程为
32 - 2x
变式一
在宽为20m， 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求这种种方案下的道路的宽为多少？
20
32
x
x
x
解：设道路的宽为 x 米
(32 - 2x)(20 - 2x) = 540
可列方程为
32 - 2x
变式二
x
20 - 2x
在宽为20m， 长为32m的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，求道路的宽为多少？
变式三
小路所占面积是矩形面积的四分之一
剩余面积是矩形面积的四分之三
解：设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x，
于是可列方程
20㎝
30㎝
3x
2x
30-4x
20-6x
(30 - 4x)(20 - 6x) = —×20×30
4
3
3x
2x
6x
4x
30-4x
20-6x
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
方法点拨
例4 如图所示，在ΔABC中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向Q终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点P，Q出发几秒后，可使ΔPCQ的面积为 9 cm2？
解得 x1= x2 = 3.
答：点P，Q同时出发3s后可使ΔPCQ的面积为9c㎡.
解：设AB长是 x m.
(100 - 4x)x = 400
x2 - 25x + 100 = 0
x1 = 5，x2 = 20
x = 20，100 - 4x = 20 < 25
x=5，100 - 4x = 80 > 25 x = 5(舍去)
答：羊圈的边长AB和BC的长各是 20m，20m.
如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
D
C
B
A
25米
练一练
如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
住房墙
1m
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，
由题意得 x(25 - 2x + 1) = 80
化简，得 x2 - 13x + 40 = 0
解得 x1 = 5 ， x2 = 8
当 x = 5 时，26 - 2x = 16 > 12 (舍去）
当 x = 8 时，26 - 2x = 10 < 12
故所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m.
则平行于住房墙的一边长 (25 - 2x + 1) m.
变式
主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
方法点拨
练 习
1.如图，在长为 100m、宽为 80m的矩形地面上要修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化．若要使绿化面积为 7644 m2，则道路的宽应为多少米？
100 m
80 m
解：设道路的宽应为 x 米，
由题意有 (100 - x)(80 - x) = 7644，
解得 x1 = 178(舍去)，x2 = 2.
答：道路的宽应为2米.
2.如图，在 RtΔABC 中，∠C = 90°，AC = 8cm，BC = 6cm.点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点，Q出发几秒后可使 ΔPCQ 的面积为 RtΔABC 面积的一半？
x2 - 14x + 24 = 0
(x - 2)(x-12) = 0
x1 = 12(舍去)，x2 = 2
即点P，Q出发2秒后可使△PCQ的面积为Rt△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
3.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形， 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm
5(2x - 10)(x - 10) = 3000
x2 - 15x – 250 = 0
解得 x1 = 25 x2 = -10 (舍去)
所以 2x = 50
答：铁板的长50cm，宽为25cm.
4.如图，要设计一个宽20cm，长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向彩条的宽度2xcm ，竖彩条的宽度3xcm
(20 - 6x)(30 - 4x) = 400
6x2 - 65x + 50 = 0
本课结束
