(共22张PPT)
第4课时 相似三角形的判定定理3
3.4.1 相似三角形的判定
1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理.
2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进
行相关计算. (重点、难点)
学习目标
2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有其缺点和局限性？
A
B
C
D
E
复习引入
3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
一、三边成比例的两个三角形相似
动脑筋
任意画两个三角形 △ABC 和 △A′B′C′ ，使三件 △ABC 的边长是 △A′B′C′ 的边长的 k 倍 .
分别度量 ∠A 和 ∠A′，∠B 和∠B′，∠C 和 ∠C′ 的大小，它们分别相等吗？由此你有什么发现？
我发现这两个三角形是相似的.
A′
B′
C′
C
B
A
通过测量不难发现∠A =∠A′，∠B =∠B′，∠C =∠C′，
又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′.
下面我们用前面所学得定理证明该结论.
C
B
A
B′
C′
A′
D
E
下面我们来证明：
在△A′B′C′的边 A′B′上截取点 D，使 A′D = AB .
过点 D 作 DE//B′C′，交 A′C′ 边于点 E .
∵ DE∥B′C′ ，
∴ △A′DE ∽ △A′B′C′.
∴ A′E = AC，DE = BC.
∴ △A′B′C′ ∽△ABC.
∴△A′DE ≌ △ABC ，
归纳总结
由此得到相似三角形的判定定理3：
三边成比例的两个三角形相似．
符号语言：
∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
例1 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C′ = 90°，且
求证：Rt△A′B′C′∽Rt△ABC.
典例精析
分析 已知两边成比例，只要得到三边成比例，即可完成证明 .
证明：设 则 A′B′ = k AB， A′C′= k AC，
∴ Rt△ ABC ∽Rt△ A′B′C′ (三边成比例的两个三角形相似).
例8 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中，DE > EF > FD.
∴ △ABC ∽ △DEF.
∵ ， ， ，
∴ .
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角
形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对
应.
归纳总结
∴∠BAC =∠DAE，∠BAC －∠DAC = ∠DAE －∠DAC，
即 ∠BAD =∠CAE.
∵∠BAD = 20°，
∴∠CAE = 20°.
∴ △ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似).
如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD = 20°，求∠CAE的度数.
A
B
C
D
E
解：∵
练一练
解：在 △ABC 和 △ADE 中，
∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC =∠DAE，∠B =∠D，∠C =∠E.
∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，
∴∠BAD =∠CAE.
故图中相等的角有
∠BAC =∠DAE，∠B =∠D，∠C =∠E，∠BAD =∠CAE.
如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.
A
B
C
D
E
变式
练 习
1.如图，已知点 D，E，F 分别是 △ABC 三边的中点，求证：△EDF∽△ACB.
∴ △EDF∽△ACB.
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴
∴
2.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
3. 如图，若 △ABC∽△ DEF，则 x 的值为 ( )
A
B
C
D
E
F
A. 20 B. 27 C. 36 D. 45
C
4. 如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD，下列结论正确的是 ( )
A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA
C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
A
C
B
P
D
C
∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA，故选C.
5. 根据下列条件，判断 △ABC 与 △A′B′C′ 是否相似：
AB = 4cm ，BC = 6cm ，AC = 8cm，
A′B′ = 12cm ，B′C′ = 18cm ，A′C′ = 21cm.
答案：不相似.
6. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由.
A
C
B
D
28
14
21
42
31.5
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
∴ △ABD∽△BDC，
∴∠ABD =∠BDC，
∴ AB∥DC.
课堂小结
本课结束(共24张PPT)
第1课时 相似三角形对应高、中线、角平分线的性质
3.4.2 相似三角形的性质
1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.
（重点）
2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点）
学习目标
问题：两个三角形相似，除了它们的对应角相等，对应边成比例等性质外，相似三角还有哪些性质？
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
动脑经
一、相似三角形对应高的比等于相似比
如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AH，A′H′分别为对应边BC，B′C′上的高，那么 吗？
A
B
C
H
A′
B′
C′
H′
A
B
C
H
A′
B′
C′
H′
解：∵ △ABC∽△A′B′C′，
∴ ∠B =∠B′，
又∠AHB=∠A′H′B′，
∴ △ABH∽△A′B′H′，
由此得到：
相似三角形对应高的比等于相似比．
归纳总结
类似地，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比.
ΔABC∽ ΔA1B1C1 ，BD和B1D1是它们的中线，已知 ，B1D1 = 4cm，则 BD = cm.
6
2. ΔABC∽ ΔA1B1C1， AD和A1D1是对应角平分线，已知 AD = 8cm， A1D1 = 3cm ,则 ΔABC与ΔA1B1C1的对应高之比为 .
8：3
练一练
3.如图、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB = 2m，CD = 4m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是 m.
P
A
D
B
C
2
4
1.5
例9：如图，CD是RtΔABC斜边AB上的高，DE⊥AC，垂足为点E，已知 CD = 2，AB = 6 ，AC = 4，求DE的长.
C
E
D
B
A
解：在Rt△ABC与Rt△ACD中，
∵ ∠A =∠A，∠ACB=∠ADC=90°，
∴ △ABC∽△ACD.
又 CD，DE分别为它们斜边上的高，
∴
又CD = 2，AB = 6 ，AC = 4，
∴ DE = .
典例精析
如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC = 60cm，AD = 40cm，四边形PQRS是正方形.
(1)AE是Δ ASR的高吗？为什么？
(2) ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
(3)求正方形PQRS的边长.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
练一练
（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？
解： AE是ΔASR的高.
理由：
∵AD是ΔABC的高
∴ ∠ADC = 90°
∵四边形PQRS是正方形
∴SR∥BC
∴∠AER =∠ADC = 90°
∴ AE是ΔASR的高.
BC = 60cm ，AD = 40cm，四边形PQRS是正方形.
BC = 60cm，AD = 40cm，四边形PQRS是正方形.
（2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
解： ΔASR与ΔABC相似. 理由:
∵ SR∥BC
∴ ∠ASR = ∠B， ∠ARS = ∠C
∴ ΔASR与ΔABC相似.
（3）求正方形PQRS的边长.
解：∵ ΔASR ∽ ΔABC
AE、AD分别是ΔASR 和ΔABC对应边上的高
∴
设正方形PQRS的边长为 x cm,
则SR = DE = x cm，AE = (40-x)cm
∴
解得：x = 24
∴正方形PQRS的边长为24cm.
问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？
图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
A
B
C
D
E
A'
B'
D'
C'
E'
二、相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比
由此得到：
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
归纳总结
类似地，我们可以得到另外两组对应角平分线的比也等于相似比.
两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为xcm，
则由相似性质有 .
解得 x = 18.
较长的角平分线长为24cm.
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
练一练
三、相似三角形对应边上的中线的比都等于相似比
议一议
已知△ABC∽△A′B′C′，若AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的中线，则 成立吗？由此你能得出什么结论？
相似三角形对应边上的中线的比都等于相似比
练 习
1、已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条中线，且AM = 6cm，AB = 8cm，DE = 4cm，求DN的长.
解：∵△ABC∽△DEF
∴
∵ AM = 6cm，AB = 8cm，DE = 4cm
∴
∴ DN = 3
2、如图，△ABC∽△A′B′C′ ，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD = 4，A′D′ = 3，BE = 6，求B′E′的长.
A
B
D
C
E
A′
B′
D′
C′
E′
解：∵△ABC∽△A′B′C′
∴
∵ AD = 4，A′D′ = 3，BE = 6
∴
∴ B′E′ = 4.5
（3）两个相似三角形对应中线的比为 ，则对应高的比为 .
（1）两个相似三角形的相似比为 ，则对应高的比为_________, 则对应中线的比为_________.
（2）相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角平分线的比为______.
2∶ 3
3、填空：
∴△ASR∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似).
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
4.如图，AD是△ABC的高，AD=h, 点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当 时，求DE的长.如果 呢？
B
A
E
R
C
D
S
∴SR∥BC.
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
(相似三角形对应高的比等于相似比)，
当 时，得 解得
当 时，得 解得
课堂小结
本课结束(共13张PPT)
习 题
3.4 相似三角形的
判定与性质
1. 如图，已知△ABC和△DBE，且BE = 2BC，DE = 2EF.试指出图中有几对相似三角形，并说明理由.
D
A
B
C
E
F
理由如下：①∵ BD = 2BA， BE = 2BC，
∴
∵ ，∠ABC =∠DBE，
∴△ABC∽△DBE.
解：图中有3对相似三角形，分别为①△ABC∽△DBE，
②△DAF∽△DBE 和 ③△DAF∽△ABC.
③∵ △ABC∽△DBE，△DAF∽△DBE.
∴ ∠BCA =∠E，∠BAC =∠D，∠AFD =∠E.
∴∠BCA =∠AFD.
∵∠BAC =∠D，∠BCA =∠AFD，
∴ △DAF∽△ABC
② ∵ BD = 2BA， DE = 2EF，
∴
∴
∵ ，
∠ADF =∠BDE，
∴△DAF∽△DBE.
D
A
B
C
E
F
2.证明：有一个底角相等的两个等腰三角形相似 .
A
B
C
A′
B′
C′
证明：根据题意画出示意图，
如图所示：△ABC和 △A'B'C'是等腰三角形.
∵ AB = AC，A′B′ = A′C′
∴ ∠B =∠C，∠B′ =∠C′.
又∵ ∠B = ∠B′，
∴∠C = ∠C′.
∵∠B = ∠B′，∠C =∠C′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
即有一个底角相等的两个等腰三角形相似.
3.如图，∠1 = ∠2，AB·AD = AC·AE. 求证：△ABC∽△AED.
A
B
E
C
D
1
2
证明：∵ ∠1 =∠2，
∠1 +∠EAC =∠BAC，
∠2 +∠EAC = ∠EAD，
∴ ∠BAC =∠EAD.
∵ AB·AD = AC·AE，
即 ，
∴ △ABC∽△AED.
4.如图，已知点O是△ABC内任一点，连接OA，OB，OC，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点 . 求证： △ABC∽△DEF
A
B
C
O
D
E
F
证明：∵ D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，
∴ DE = AB，
EF = BC，
DF = AC ，
即
∴△ABC∽△DEF.
5. 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，且AD ， BE是△ABC的高， A′D′ ， B′E′是△A′B′C′的高 . 求证：AD·B′E′ = A′D′·BE .
A
B
C
D
E
A′
B′
D′
C′
E′
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′.
∴ ∠ABD =∠A′B′D′
∵ AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高
∴ ∠ADB =∠A′D′B′
∴ △ABD∽△A′B′D′
∴
同理可得
∴
∴ AD·B′E′ = A′D′·BE
6.两个相似三角形的一组对应边的长分别为 10 cm 和 20 cm .
（1）若它们的周长之差是 60 cm，则较大的三角形的周长是多少？
解：∵ 两个相似三角形的一组对应边的长分别为10cm和20cm，
∴ 这两个三角形的相似比为 10∶20 = 1∶2，
∴ 它们的周长比为1：2.
∵它们的周长之差为60cm，
设较小的三角形的周长为 x cm，则较大的三角形的周长为 2x cm，
∴ 2x – x = 60，
解得 x = 60，
∴ 2x = 120，∴较大的三角形的周长为120cm.
两个相似三角形的一组对应边的长分别为 10 cm 和 20 cm .
（2）若它们的面积之和是 260 cm2，则较小的三角形的周长是多少？
解：∵这两个三角形的相似比为1：2，
∴它们的面积比为1：4
∵它们的面积之和为260cm，
设较小的三角形的面积为 a cm2，则较大的三角形的面积为 4a cm2，
∴ a + 4a = 260，
解得 a = 52，
∴ 较小的三角形的面积为52cm2.
7.如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，BD平分∠ABC交AC于点D . 若 AC = 2，求AD的长 .
A
B
C
D
解：设 AD = x，
∵ 在△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，
∴∠ABC =∠C = 72°，
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠CDB = 36°，
∴ ∠A =∠ABD，
∠BDC = ∠A + ∠ABD = 72°= ∠C
∴ AD = BD = BC = x，
∵ AC = 2，
∴ AB = 2，CD = AC – AD = 2 – x ，
8.如图，点O是△ABC外一点，分别在射线OA，OB，OC上取点A′，B′，C′，使得 ，连接A′B′ ，B′C′ ，A′C′ . 问所得的△A′B′C′ 是否与△ABC相似？请说明你的理由 .
′
O
A
C
B
A′
B′
C′
解：△A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知
∠AOC =∠A′O′C′
∴△AOC∽△A′O′C′，
∴ ，
同理
∴
∴ △A′B′C′∽△ABC.
9.如图，在△ABC为锐角三角形，AD是边BC上的高，正方形EFGH的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上 . 已知BC = 30cm，AD = 20cm，求这个正方形的边长.
A
B
C
E
F
H
G
D
K
解：∵ 四边形EFGH为正方形，
∴HG∥BC，
∴
设正方形的边长为 x，则 AK = 20 - x，HG = x，
∴
解得 x = 12，即正方形EFGH的边长为12.
本课结束(共22张PPT)
第3课时 相似三角形的判定定理2
3.4.1 相似三角形的判定
学习目标
1.掌握相似三角形的判定定理2；（重点）
2.能熟练运用相似三角形的判定定理2．（难点）
问题1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗
3
3
5
5
不相似
问题2. 类比三角形全等的判定方法（SAS，SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
3
3
5
5
相似
观察与思考
一、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
动脑筋
我发现这两个三角形是相似的.
下面我们来证明：
在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D ，使 A′D = AB . 过点 D 作 DE//B′C′，交 A′C′ 于点 E .
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
归纳总结
由此得到相似三角形的判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
符号语言：
∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
A
B
C
思考：
A′
B′
B″
C′
对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′∶AB = A′C′∶AC . ∠B = ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
结论：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不
是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，
相等的角一定要是两条对应边的夹角.
例5 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F = 70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.
求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明： ∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，
∴ △DEF ∽△ABC.
∴
典例精析
1、如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，
∴ AD =AE，AB = AC，
∴
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
A
B
C
D
E
练一练
解：∵ AE = 1.5，AC = 2，
2、如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE =1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长.
A
C
B
E
D
∴
又∵∠EAD=∠CAB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∴
∴
提示：解题时要找准对应边.
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB = 90°.
∴△ADC ∽△CDB，
∴ ∠ACD =∠B，
例6 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ACB = 90°．
A
B
C
D
∵
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD
=∠B +∠BCD = 90°.
练 习
1.如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = 7.5，求AD的长．
解：∵AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = 7.5 ，
∴
又∵∠B =∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ ，
∴
2.如图，点 B，C 分别在 △ADE 的边 AD，AE 上，且 AC = 6，AB = 5，EC = 4，DB = 7.求证：△ABC∽△AED.
又∵∠BAC =∠EAD
∴ △ABC ∽ △AED
3. 判断
(1) 两个等边三角形相似 ( )
(2) 两个直角三角形相似 ( )
(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )
(4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 ( )
×
√
√
×
4. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 △ABC ∽ △DBA 的条件是 ( )
A. AC : BC = AD : BD
B. AC : BC = AB : AD
C. AB2 = CD · BC
D. AB2 = BD · BC
D
A
B
C
D
5. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相似”) .
54
30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
相似
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP∶AB = AD∶AC ，
∴ AP∶12 = 6∶8 ，
解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，
AD∶AB = AP∶AC ，
∴ 6∶12 = AP∶8 ，
解得 AP = 4.
6. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
A
B
C
D
4 或 9
P
P
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，
△ADP 和 △ABC 相似．
7. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，求证 △ABC ∽△AED.
A
B
C
D
E
证明：∵ AB · AD = AE·AC，
∴
又∵ ∠DAB =∠CAE，
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC，
∴ △ABC ∽△AED.
课堂小结
本课结束(共25张PPT)
第1课时 利用平行判定三角形相似
3.4.1 相似三角形的判定
1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；
（重点）
2.会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
(难点)
学习目标
问题1 相似多边形的主要特征是什么？
问题2 相似比的定义是什么？
回顾与思考
我们就说△ABC与△A′B′C′______，记作__________________，△ABC与△A′B′C′相似比是k，则△A′B′C′与△ABC的相似比是____.
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′ ， ∠C=∠C′ ，
△ABC∽△A′B′C′
相似
一、相似三角形的性质及有关概念
反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A =_____，∠B =_____，∠C =____，
且
∠A′
∠B′
∠C′
相似比为 1 时，相似的两个图形有什么关系？
当相似比等于1时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似.
1、△ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由．
解：∵ ∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝50°.
∵ ∠F＝60°，∠E＝50°，
∴∠D＝70°.
∴ ∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E.
练一练
∴ △ABC∽△DFE.
判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上．
方法总结
2、如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝58cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，求：
(1) ∠AED和∠ADE的度数；
(2) DE的长．
解：(1)∵ △ABC∽△ADE，
∴ ∠AED＝∠ACB＝40°.
在△ADE中，
∠ADE = 180°- 40°- 45°= 95°；
(2) ∵△ABC∽△DFE.
∴DE＝36.25(cm).
当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段．
方法总结
二、平行线与相似三角形
动 脑 筋
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E .
（1）△ADE与△ABC的三角形分别相等吗？
（2）分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例 .
（3）△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
A
B
C
D
E
我发现只要DE∥BC，那么△ADE与△ABC是相似的.
证明：
A
B
C
D
E
F
（1）在△ADE与△ABC中，∠A = ∠A.
∵DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
（2）过点D作DF∥AC，交BC于点F，如图.
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴
∵ 四边形DFCE为平行四边形，
∴ DE = FC
∴
∴ △ADE∽△ABC.
由此得到如下结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似 .
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.
“A”型
“X”型
（图3）
D
E
O
B
C
A
B
C
D
E
（图1）
“A”型
A
D
E
B
C
（图2）
归纳总结
例1 如图，在△ABC中，已知点D、E分别是AB，AC边的中点.
求证：△ADE∽△ABC．
证明：∵ 点D、E分别是AB，AC边的中点，
∴ AE∥CE，
∴ △ADE∽△ABC
A
E
C
B
D
典例精析
例2 如图，点D作为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F，使DE=EF.
求证：△CEF∽△ABC．
解：∵ DE∥BC，点D为△ABC的边AB的中点，
∴ AE = CE.
又DE = EF，∠AED =∠CEF，
∴△ADE≌△CEF.
∵ DE∥BC，
∴ △ADE∽△ABC.
∴ △CEF∽△ABC.
A
E
D
B
C
F
已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N与窗户的距离NC.
解：∵ AM∥BN，
∴ △NBC∽△MAC，
练一练
A
B
C
D
E
相似具有传递性
△ADE∽△ABC
M
N
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？
△AMN∽△ADE
△AMN∽△ABC
共有三对相似三角形
已知DE∥BC
交流讨论
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD = 1，DB = 3，那么DG：BC = .
A
B
C
D
E
F
G
H
I
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1：4
练一练
练 习
1、如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°. 正方形EFCD的三个顶点 E，F，D分别在AB，BC，AC上. 已知 AC = 7.5，BC = 5，求正方形的边长.
A
D
E
B
F
C
解：设正方形EFCD的边长为x，
∵ 四边形EFDC是正方形
∴ ED∥BC
解得 x = 3 .
故正方形的边长为3.
2、如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥CB，OF∥CD . 试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由 .
A
B
C
D
E
F
O
解：四边形AEOF与四边形ABCD相似，
理由：∵ OE∥CB，
∴ △AOE∽△ACB，
∠AFO = ∠ADC ，∠AOF = ∠ACD，
∠AEO = ∠ABC ，∠EOF = ∠BCD，
∠AFO = ∠ADC ，∠EAF = ∠BAD，
∴ 四边形AEOF∽四边形ABCD
3、 （1）如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_____.
（2）若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为 AB = 3 cm，
A′B′= 4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是____ .
（3）若△ABC的三条边长分别为3cm、5cm、6cm,与其相似的另
一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△ A′B′C′的最大边长是_____.
全等
4︰3
24cm
（4）已知△ABC的三条边长3cm，4cm，5cm，△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的形状是__________，又知△A1B1C1的最大边长为25cm，那么△A1B1C1的面积为________.
直角三角形
150cm2
4.若△ABC与△A′B′C′相似，∠A = 55°,∠B = 100°，那么∠ C′的度数是（ ）
A.55° B.100° C.25° D.不能确定
C
2.当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似；
3.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似.
1.相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似 比等于对应边的比；
课堂小结
本课结束(共21张PPT)
第2课时 相似三角形对应周长和面积的性质
3.4.2 相似三角形的性质
1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面
积的比等于相似比的平方.（重点）
2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.
（难点）
学习目标
问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？
A
B
C
A1
B1
C1
问题引入
(1)与(2)的相似比=______,
(1)与(2)的面积比=______
(1)与(3)的相似比=______,
(1)与(3)的面积比=______
1
2
3
1∶ 2
（1）
（2）
（3）
1∶ 4
1∶ 3
1∶ 9
问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,回答以下问题：
结论：相似三角形的面积比等于 ．
相似比的平方
一、相似三角形的面积比等于相似比的平方
动脑经
如图，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，则S△ABC∶S△A′B′C′ 的值是多少呢？
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
证明：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,
如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.
由此得到：
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
例11 如图，在△ABC中，EF∥BC， ，S四边形BCEF = 8，求 S△ABC.
∴ △AEF∽△ABC.
∵ S四边形BCEF = 8，∴S△AEF = 1
∴S△ABC = 9.
B
C
A
F
E
解：∵ EF∥BC，
例12 已知△ABC与△A‘B’C‘的相似比为 ，且S△ABC + S△A’B’C = 91，求△A'B'C'的面积.
又∵S△ABC+S△A‘B’C = 91,
解：∵△ABC与△A'B'C'的相似比为
∴ S△A'B'C’ = 63
1、如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点，
∴ △ADE ∽ △ABC ，
相似比为 1 : 2，
面积比为 1 : 4.
∴
练一练
∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2，
面积比为 1 : 4.
设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1，
S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，
∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 =
又∵ EF∥AB，
2、将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分的面积是△ABC的面积的一半.已知 BC = 2，求△ABC平移的距离.
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC
即，△ABC平移的距离为
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB = 2DE，AC = 2DF，
又 ∵∠D =∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
A
B
C
D
E
F
∴
3、如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，
面积为
4、如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积.
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，
∴ 面积比为 9 : 25.
B
C
A
D
E
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2).
练 习
1、证明：相似三角形的周长比等于相似比 .
解：设△ABC∽△A'B'C'，相似比为k.
∵△ABC ∽△A'B'C'
∴ AB = kA′B′，BC = kB′C′，AC = kA′C′ .
故相似三角形的周长比等于相似比
∴△ABC与△A'B'C'的周长比等于相似比
2、已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB = 15 cm，B′C′ = 24 cm，求 BC，AC，A′B′，A′C′ 的长.
利用相似三角形的周长比和对应边的比都等于相似比列方程求出线段长.
解：∵ △ABC∽△A'B'C′，
∴
即
解得 A′B′ = 18，BC = 20，
∴ AC = 60 – 15 – 20 = 25，
A′C′ = 72 – 24 – 18 = 30.
3、有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长和面积分别是多少？
3
4
5
7
x
y
解：设另一个三角形的另一条边为x，斜边为y .
根据题意两个三角形相似对应边成比例得
∴ 另一个三角形的周长为：
5. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积 比等于_____.
1 : 2
1 : 4
4. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF， ∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ的值为 ( )
A．2 B．4 C．1 D.
C
6. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.
14
7. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点A) 发出的光线照 射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米， 则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位 小数)？
A
D
E
F
C
B
H
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，
桌面的直径为 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，
DF = 1.2÷2 = 0.6 (米).
∵DF∥CH，
∴△ADF ∽△ACH，
∴ 即
解得 CH = 0.9米.
∴ 阴影部分的面积为：
(平方米).
答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米.
8. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC=2:3，
则 AE : AC =2 : 5，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
9. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于点 D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC.
解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则
∴
又∵ DE∥BC，
∴ △ADE ∽△ABC.
A
B
C
D
E
∴
即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.
课堂小结
本课结束(共25张PPT)
第2课时 相似三角形的判定定理1
3.4.1 相似三角形的判定
1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件.
2.掌握相似三角形的判定定理1.（重点）
3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点）
学习目标
问题1：这两个三角形有什么关系？
全等三角形
观察与思考
那这样变化一下呢？
相似三角形
相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
对应角……？
对应边……？
问题2 根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？
全等是一种特殊的相似
定义 判定方法
全等三角形
相似三角形
三角、三边对应相等的两个三角形全等
三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似
角边角
A
S
A
角角边
A
A
S
边边边
S
S
S
边角边
S
A
S
斜边
直角边
H
L
问题 三角形全等的性质和判定方法有哪些？
需要三个等量条件
思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？
一、两角分别相等的两个三角形相似
动脑筋
任意画 △ABC 和 △A′B′C′，使∠A = ∠A′，∠B = ∠B′.
(1) ∠C = ∠C′ 吗？
(2) 分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？
(3) 把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现？
我发现这两个三角形是相似的.
下面我们来证明：△A′B′C′ ∽ △ABC.
B′
A′
D
E
C′
B
A
C
如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知 ∠A = ∠A′，∠B = ∠B′.
在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，使 A′D = AB . 过点 D 作
DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E .
在 △A′DE 与 △ABC 中，
∵ ∠A′ = ∠A，A′D = AB，
∠A′DE = ∠B′ = ∠B，
∴ △A′DE∽△ABC.
又 ∵ DE//B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
∴ △ABC∽△A′B′C′.
归纳总结
由此得到相似三角形的判定定理1：
两角分别相等的两个三角形相似 .
符号语言：
∵ ∠A =∠A′，∠B =∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 上的点，DE∥BC， AB = 7，AD = 5，DE =10，求 BC 的长.
B
A
D
E
C
变式训练1
如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ ∠AED ＝∠C，
∠A ＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
变式训练2
证明：∵ ∠BAC = ∠1 + ∠DAC，
∠DAE = ∠3 + ∠DAC，∠1 = ∠3，
∴ ∠BAC =∠DAE.
∵ ∠C = 180°－∠2－∠DOC ，
∠E = 180°－∠3－∠AOE，
∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C = ∠E.
∴ △ABC ∽ △ADE.
如图，∠1 =∠2 = ∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
A
B
C
D
E
1
3
2
O
变式训练3
证明：∵∠C = 90°，
∴ AC⊥BC .
∵ DF⊥BC，
∴ DF∥AC.
∴ ∠BHF = ∠A ，而 ∠BHF = ∠DHE，
∴∠DHE =∠A，
又 ∵ DE⊥AB，
∴∠DEH = 90°=∠C，
D
A
C
H
F
B
E
例3 如图，在△ABC 中，∠C = 90°. 从点 D 分别做边 AB、BC 的垂线，垂足分别为点 E、F，DF 与 AB 交于点 H .
求证：△DEH ∽△BCA．
∴ △DEH∽△BCA.
(两角分别相等的两个三角形相似)
例4 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，∠C =9 0°，∠F = 90°. 若∠A =∠D，AB = 5，BC = 4，DE = 3，求 EF 的长．
B
A
C
D
F
E
归纳总结
练 习
1.如图，点 E 为 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连接 AE，交 CD 于点 F . 请指出图中有几对相似三角形，并说明理由 .
解：三对 .
① △ADF∽△ECF .
理由：∵ 四边形ABCD 为平行四边形，
∴ AD // BE .
∴ ∠D =∠FCE，∠DAF =∠FEC .
∴ △ADF∽△ECF .
② △ADF∽△EBA .
理由：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ ∠D =∠B，AD//BE，
∴ ∠DAF =∠FEC .
∴ △ADF∽△EBA .
③ △ECF∽△EBA .
理由：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
CD//AB，
∴ ∠ECF =∠B .
又∵∠CEF =∠BEA，
∴ △ECF∽△EBA .
2.如图，AB⊥BD，ED⊥BD，点 C 是线段 BD 的中点，且 AC⊥CE . 已知 ED = 1，BD = 4，求 AB 的长．
解：∵ AB⊥BD
∴ ∠ABC = ∠A + ∠ACB = 90°
∵ ED⊥BD
∴ ∠EDC = ∠ECD + ∠CED = 90°
∵ AC⊥CE
∴∠ACE = ∠ACB + ∠ECD = 90°
∵ ∠A +∠ACB = 90°
∠ACB +∠ECD = 90°
∴ ∠A =∠ECD
3. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有 ( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
C
4. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C =∠E，AD : DE = 3 : 5，AE = 8，BD = 4，则 DC 的长等于 ( )
A.
B.
C.
D.
A
A
B
D
C
5. 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或
∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC；
ACD
ACB
B
ADB
证明：∵ 在 △ABC 中，∠A = 40 ° ，
∠B = 80 ° ，
∴ ∠C = 180 °－∠A－∠B = 60 °.
∵ 在 △DEF 中，∠E = 80 °，
∠F = 60 °.
∴ ∠B = ∠E，∠C = ∠F.
∴ △ABC ∽△DEF.
6. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A = 40°，∠B = 80°，∠E = 80 °，∠F = 60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
A
C
B
F
E
D
证明： ∵ △ABC 的高 AD、BE 交于点 F ，
∴ ∠FEA =∠FDB = 90°，
∠AFE =∠BFD (对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △FDB，
∴
7. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F．
求证：
D
C
A
B
E
F
课堂小结
本课结束
