(共7张PPT)
2.3 一元二次方程根的辨别式
习 题
1.一元二次方程 3x2 - 2x – 1 = 0 的根的情况为（ ）
(A)有两个相等的实数根
(B)有两个不相等的实数根
(C)只有一个实数根
(D)没有实数根
解：因为 △ = b2 - 4ac
= (-2)2 - 4×3×(-1)
= 16 > 0 ，
所以，方程有两个不相等的实数根；故选B
B
2.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2 - 4x + 1 = 0； (2) 3x2 - 6x + 1 = 0；
解：(1) 因为 △ = b2 - 4ac
= (-4)2 - 4×3×1
= 4 > 0 ，
所以，方程（1）有两个不相等的实数根；
(2) 因为 △ = b2 - 4ac
= (-6)2 - 4×3×1
= 24 > 0 ，
所以，方程（2）有两个不相等的实数根；
(4) 将方程化为一般式，得
x2 - 3x - 11 = 0，
因为 △ = b2 - 4ac = (-3)2 -4×1×(-11) = 53 > 0，
所以，方程（4）有两个不相等的实数根.
解：(3) 将方程化为一般式，得x2 + 8x - 16 = 0，
因为 △ = b2 - 4ac
= 82 - 4×1×(-16)
= 128 > 0 ，
所以，方程（3）有两个不相等的实数根；
(3) x(x + 8) = 16； (4) (x + 2)(x - 5) = 1.
3.不解方程，利用判别式判断方程
的根的情况.
4.先阅读下面的材料：
对于一元二次方程 ax + bx + c = 0(a ≠ 0)，如果方程有两个不相等的实数根，那么Δ > 0；如果方程有两个相等的实数根，那么Δ = 0；如果方程没有实数根，那么Δ < 0.
再解答下面的题目：
当t取什么值时，关于x的一元二次方程 x2 + x + t = 2t-1，
(1)有实数根；
(2)没有实数根．
解：整理得 x2 + x – t + 1 = 0，
本课结束(共21张PPT)
2.2 一元二次方程根的辨别式
学习目标
1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念；
2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况；
3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围.（重点、难点）
议 一 议
一、一元二次方程根的判别式
我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)时，总是要求b2 - 4ac ≥ 0.这是为什么？
将方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)配方后得到
由于a ≠ 0，所以 4a2 > 0，因此我们不难发现：
由于正数有两个平方根，所以原方程的根为
此时，原方程有两个不相等的实数根.
由于0的平方根为0，所以原方程的根为
此时，原方程有两个相等的实数根.
由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程没有实数根.
因此，若方程要有实数根，则b2 - 4ac 必须为非负数．
我们把 b2 - 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的根的判别式，记作“Δ”，即Δ = b2 - 4ac.
综上可知，我们不难发现一元二次方ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的根的情况可由Δ = b2 - 4ac 来判断：
当Δ > 0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
当Δ = 0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
当Δ < 0时，原方程没有实数根．
要点归纳
按要求完成下列表格：
练一练
Δ 的值
根的情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
3.判别根的情况，得出结论.
1.化为一般式，确定a，b，c的值.
根的判别式使用方法
2.计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号.
要点归纳
例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
应用1：用根的判别式判断一元二次方程根的情况
二、根的判别式的应用
(1) 3x2 + 4x - 3 = 0； (2) 4x2 = 12x - 9； (3) 7y = 5(y + 1).
解：(1)因为 Δ = b2 - 4ac
= 42 - 4×3×(-3)
= 16 + 36 = 52 > 0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
(2) 将原方程化为一般形式，得
4x2 - 12x + 9 = 0.
因为Δ = b2 - 4ac = (-12)2 - 4×4×9
=144 – 144 = 0，
所以，原方程有两个相等的实数根.
(3) 7y = 5(y + 1).
(3) 将原方程化为一般形式，得
5y2 - 7y + 5 = 0.
因为 Δ = b2 - 4ac = (-7)2 - 4×5×5
= 49 – 100 = -51 < 0，
所以，原方程没有实数根.
练习 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为 x2 + x -1 = 0.∵b2 - 4ac = 1 - 4×1×(-1) = 5＞0，
∴ 该方程有两个不相等的实数根，故选B.
B
应用2：根据方程根的情况确定字母的取值范围
若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x – 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )
A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0
C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2 - 4ac > 0，同时要求二次项系数不为0，即 (-2)2 - 4k > 0 ，k ≠ 0.解得k > -1且k ≠ 0，故选B.
B
练 习
1.一元二次方程 x2 – x + 1 = 0 的根的情况为（ ）
(A)有两个相等的实数根
(B) 有两个不相等的实数根
(C)只有一个实数根
(D) 没有实数根
D
2.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) x2 + 3x - 1 = 0； (2) x2 - 6x + 9 = 0；
解：(1) 因为 △ = b2 - 4ac
= 32 - 4×1×(-1)
= 13 > 0 ，
所以，方程（1）有两个不相等的实数根；
(2) 因为 △ = b2 - 4ac
= (-6)2 - 4×1×9
= 0 ，
所以，方程（2）有两个相等的实数根；
解：(3) 因为 △ = b2 - 4ac
= (-3)2 - 4×2×4
= -23 < 0 ，
所以，方程（3）没有实数根；
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
∴ m ≤ 1
所以方程有两个实数根．
能力提升：
在等腰△ABC 中，三边分别为a，b，c，其中a = 5，若关于x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：关于x的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0有两个相等的实数根，
所以Δ= b2－4ac = (b - 2)2 - 4(6 - b) = b2 + 8b – 20 = 0.
所以b = -10（舍去）或 b = 2.
所以△ABC 的三边长为2，5，5 (2，2，5不符合三边关系，舍去)，
其周长为2+5+5=12.
课堂小结
本课结束
