14.3.2 十字相乘法 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
14.3.2 公式法
十字相乘法
人教版八年级上册
知识回顾
因式分解的一般步骤：
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了.
教学目标
1.了解掌握并熟练运用x2+(p+q)x+pq型式子进行因式分解的方法.
2.能熟练运用适当方法对ax2+bx+c进行分解因式，及相关计算.
新知导入
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块边长为x m的正方形绿地，向两邻边分别加宽p m和q m，扩大后的绿地面积是多少？
S=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq
x
x
p
q
x2
px
pq
qx
新知探究
x2+(p+q)x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？
绿地的面积还可以怎样表示？
x
x
p
q
x2
px
pq
qx
S=x2+(p+q)x+pq
S=(x+p)(x+q)
x2+(p+q)x+pq =(x+p)(x+q)
这样就把x2+(p+q)x+pq分解成两个因式乘积的形式.
新知探究
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可以得出：
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
利用上式，可以将某些二次三项式进行因式分解.
新知探究
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
十字相乘法分解因式的步骤：
(1)分解二次项，将二次项x2写成两个数的乘积形式（x2=x×x），分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
x
p
x
q
(2)分解常数项(pq=p×q)，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
(3)交叉相乘，求代数和，检验结果是否等于一次项，px+qx=(p+q)x.
(4)将十字交叉线上端两数相加、下端两数也相加，分别作为因式分解结果的一个因式相乘，得到分解因式的结果。
(x+p)
(x+q)
新知典例
例1 分解因式：
(1) x2-3x+2；
分析：(1)①
x
-1
x
-2
②检验：x×(-2)+x×(-1)=-3x
解：(1) x2-3x+2= ；
③得出因式
（x-1）
（x-2）
(x-1)(x-2)
当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项的符号相同；
新知典例
(2) x2+3x-10.
分析：(2)①
x
5
x
-2
②检验：x×(-2)+x×5=3x
解：(2) x2+3x-10= ；
③得出因式
（x+5）
（x-2）
(x+5)(x-2)
当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项的符号相同；
新知练习
1.（1）x2﹣2x﹣15
（1）原式＝（x﹣5）（x+3）
x
-5
x
3
分析：
（2）x2﹣6x+8
（2）原式＝（x﹣2）（x﹣4）
x
-2
x
-4
分析：
新知探究
对于形如关于x的二次三项式ax2+bx+c，如何使用十字相乘法进行分解因式呢？
（1）二次项系数a分解成a1与a2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
（2）常数项c分解成c1与c2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角
（3）把a1，a2，c1，c2按如图所示方式排列，当且仅当a1c2x+a2c1x＝bx（一次项系数）时，ax2+bx+c可分解因式．
即ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
a1x
c1
a2x
c2
(a1x+c1)
(a2x+c2)
新知典例
例2. 分解因式
（1）2x2﹣x﹣6
分析：(1)①
2x
3
x
-2
②检验：2x×(-2)+x×3=-x
解：(1) 2x2﹣x﹣6= ；
（2x+3）
（x-2）
(2x+3)(x﹣2)
③得出因式
新知典例
（2）10x2+x﹣21
分析：(1)①
2x
3
5x
-7
解：(1) 10x2+x﹣21= ；
（2x+3）
（5x-7）
(2x+3)(5x﹣7)
新知练习
2.分解因式
（1）3x2﹣19x﹣14； （2）6a2﹣13ab+6b2
（1）原式＝（3x+2）（x﹣7）
3x
2
x
-7
分析：
（2）原式＝（2a﹣3b）（3a﹣2b）
2a
-3b
3a
-2b
分析：
新知探究
能不能用十字相乘法分解多项式a2+2ab+b2 ？
a
b
a
b
①
②检验：a×b+a×b=2ab
（a+b）
（a+b）
③得出因式
经过3个步骤我们可以得出a2+2ab+b2分解的结果为(a+b)(a+b)=(a+b)2，所以可以看出完全平方公式也是一种十字相乘法的运用，平方差公式是不是也是用的十字相乘法呢？
新知探究
例3 十字相乘分解因式a2-b2
分析：中间项为0，a2可以分解为a×a，b2可以分解为-b×b
a
-b
a
b
①
②检验：a×b-a×b=0
（a-b）
（a+b）
③得出因式
∴a2-b2=(a+b)(a-b)
∴平方差公式也是可以使用十字相乘法进行分解因式的。
由此可以看出“十字相乘法”是一种非常强大的分解因式方法。
课堂总结
十字相乘法因式分解
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
十字相乘法
x
p
x
q
qx+px=(q+p)x
ax2+bx+c型式子的因式分解
十字相乘法
a1c2x+a2c1x＝bx
a1x
c1
a2x
c2
反思：其实完全平方公式也是十字相乘法
课堂练习
1.分解因式：
（2）（x﹣y）2+（x﹣y）﹣6
（2）原式＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣2）
（1）x2﹣3x+2
（1）原式＝（x﹣1）（x﹣2）
课堂练习
2.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
x(x+2)(x+3)
1
2
1
3
1×3+1×2=5
分析：x3+5x2+6x
=x(x2+5x+6)
=x(x+2)(x+3).
课堂练习
3.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
1
-2
1
-1
1×(-1)+1×(-2)=5
分析：2x2-6x+4
=2(x2-3x+2)
=2(x-1)(x-2)．
课堂练习
（1）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab
4.因式分解：
（2）a3﹣5a2﹣6a
解：（1）原式＝﹣2ab（2a2b2﹣3ab+1）
＝﹣2ab（2ab﹣1）（ab﹣1）
（2）原式＝a（a2﹣5a﹣6）
＝a（a﹣6）（a+1）
谢谢
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