北师大版七年级数学上册试题 第一章 《丰富的图形世界》单元测试卷（含答案）

第一章 《丰富的图形世界》单元测试卷
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（ ）
A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转
2．如图几何体的下部是一个三棱柱，下列各多边形与这个几何体的各面（包括底面）形状不相符的是（ ）
A． B．
C． D．
3．有三个正方体木块，每一块的各面都写上不同的数字，三块的写法完全相同，现把它们摆放成如图所示的位置请你判断数字4对面的数字是（　　）
A．6 B．3 C．2 D．1
4．如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开展成平面图形，这个平面图形是（ ）
A． B．C． D．
5．在一个有盖的正方体玻璃容器内装了一些水（约占一半），把容器按不同方式倾斜，容器内水面的形状不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．图中的几何体是由个完全相同的小正方体搭成的，则下列说法正确的是（　　）
A．主视图的面积最小 B．左视图的面积最小 C．俯视图的面积最小 D．三个视图的面积相等
7．用一个平面去截正方体，所得截面是三角形，留下较大的几何体一定有（ ）
A．7个面 B．15条棱 C．7个顶点 D．10个顶点
8．如图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格→第2格→第3格→第4格，这时小正方体朝上的一面的字（ ）
A．的 B．梦 C．我 D．中
9．一张桌子摆放着若干盘子，从三个方向上看，三种视图如下所示，则这张桌子上共有　　个盘子
A．10 B．11 C．12 D．13
10．一个三棱柱如图摆放，其底面三边长分别为5，12，13，则其展开图为（ ）
A． B．C．D．
11．一个画家有14个棱长为1的正方体，他在地面上把它们摆成如图所示的形状，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（ ）
A．19 B．21 C．33 D．34
12．如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②-⑥均由4个棱长为1的小正方体构成．现在从模块②-⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为的大正方体．下列四个方案中，符合上述要求的是（ ）
A．模块②，④，⑤ B．模块③，④，⑥ C．模块②，⑤，⑥ D．模块③，⑤，⑥
二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。
13．如图是一个正方体的平面展开图，那么3号面相对的面是______号面．
14．用一个平面分别截棱柱、圆锥，都能截出的一个图形是________.
15．如图，把一个长方体的礼品盒用丝带打上包装，打蝴蝶结部分需丝带48cm，那么打好整个包装所用丝带总长为________ cm．
16．如图，长方形的长为、宽为，分别以该长方形的一边所在直线为轴，将其旋转一周，形成圆柱，其体积为_____．（结果保留）
17．如图，将19个棱长为a的正方体按如图摆放，则这个几何体的表面积是_____．
18．如图是由一些棱长为1的小立方块所搭几何体的三种视图．若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个长方体，至少还需要______个小立方块．
三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）
19．欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把表格补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 　 　
棱数E 6 　 　 12 　 　
面数F 4 5 　 　 8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：　 　．
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
20．小明用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，请你帮助小明在①上补全．(作图要求：先用尺和铅笔画图，再用黑色的签字笔描一遍)
（3）小明说：已知这个长方形纸盒高为3cm，底面是一个正方形，并且这个长方形纸盒所有棱长的和是92cm，请计算，这个长方体纸盒的体积是___________cm3．
21．如图所示，在一张正方形纸片的四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子．请回答下列问题：
（1）剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为 ；
（2）如果设原来这张正方形纸片的边长为，所折成的无盖长方体盒子的高为，那么，这个无盖长方体盒子的容积可以表示为 ；
（3）如果原正方形纸片的边长为，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取时，计算折成 的无盖长方体盒子的容积得到下表，由此可以判断，当剪去的小正方形边长为 时，折成的无盖长方体盒子的容积最大.
剪去的小正方 形的边长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
折成的无盖长方体的容积 324 576 500 384 252 128 36 0
22．在水平的桌面上，由若干个完全相同棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示．
（1）请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图；
（2）若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的左视图和俯视图不变，在这个几何体上最多可以添加多少个小正方体？
（3）若给该几何体露在外面的面喷上红漆（不含几何体的底面），则需要喷漆的面积是多少cm2？
23．用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形的字母表示在该位置上小立方体的个数，请回答下列问题：
（1）a，b，c各表示的数字是几？
（2）这个几何体最多由几个小立方体搭成？最少呢？
（3）当，时，画出这个几何体从左面看得到的形状图.
24．问题提出：求n个相同的长方体（相邻面的面积不相同）摆放成一个大长方体的表面积．
问题探究：探究一：
为了研究这个问题，同学们建立了如下的空间直角坐标系：空间任意选定一点O，以点O为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、oz．这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为ox（水平向前）、oy（水平向右）、oz（竖直向上）方向．
将相邻三个面的面积记为S1、S2、S3，且S1＜S2＜S3的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S1所在的面与x轴垂直，S2所在的面与y轴垂直，S3所在的面与z轴垂直，如图1所示．
若将x轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标系内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作（1，2，6），如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作（2，3，4）．这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式．
问题一：如图4是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为______．
组成这个几何体的单位长方体的个数为______个．
探究二：
为了探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式S（x，y，z），同学们针对若干个单位长方体进行码
放，制作了下列表格
几何体 有序数组 单位长方体的个数 表面上面积为S1的个数 表面上面积为S2的个数 表面上面积为S3的个数 表面积
（1，1，1） 1 2 2 2 2S1+2S2+2S3
（1，2，1） 2 4 2 4 4S1+2S2+4S3
（3，1，1） 3 2 6 6 2S1+6S2+6S3
（2，1，2） 4 4 8 4 4S1+8S2+4S3
（1，5，1） 5 10 2 10 10S1+2S2+10S3
（1，2，3） 6
…… …… …… …… …… ……
问题二：请将上面表格补充完整：当单位长方体的个数是6时，表面上面积为S1的个数是______．
表面上面积为S2的个数是______；表面上面积为S3的个数是______；表面积为______．
问题三：根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式S（x，y，z）=______（用x、y、z、S1、S2、S3表示）
探究三：
同学们研究了当S1=2，S2=3，S3=4时，用3个单位长方体码放的几何体中，有三种码放的方法，有序数组分别为（1，1，3），（1，3，1），（3，1，1）．而S（1，1，3）=38，S（1，3，1）=42，S（3，1，1）=46．容易发现个数相同的长方体，由于码放的方法不同，组成的几何体的表面积就不同．
拓展应用：
要将由20个相同的长方体码放的几何体进行打包，其中每个长方体的长是8，宽是5，高是6．为了节约外包装材料，请直接写出使几何体表面积最小的有序数组，并写出这个最小面积（不需要写解答过程）．（缝隙不计）
答案
一、选择题。
A．A.B.D．D．B．A.B．C．D．C．C.
二、填空题。
13．6．
14．三角形.
15．146．
16．或
17．54a2．
18．26．
三、解答题
19．解：（1）三棱柱的棱数为9；正方体的面数为6；正八面体的顶点数为6，棱数为12；
故答案为：6，9，12，6；
（2）由题可得，V+F-E=2，
故答案为：V+F-E=2；
（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，
∴共有24×3÷2=36条棱，
∵24+F-36=2，
解得F=14，
∴x+y=14．
20．解：（1）小明共剪了8条棱
故答案为：8；
（2）如图，四种情况：
（3）该长方体底面正方形的边长为（92-3×4）÷8=10
则这个长方体纸盒的体积为：10×10×3=300立方厘米．
21．
解：（1）由折叠可知，
剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为相等，
故答案为：相等；
（2）这个无盖长方体盒子的容积=h（a-2h）（a-2h）=h（a-2h）2（cm3）；
故答案为：h（a-2h）2；
（3）当剪去的小正方形的边长取2时，m=2×（20-2×2）2=512，
当剪去的小正方形的边长取3时，n=3×（20-2×3）2=588，
当剪去的小正方形的边长的值逐渐增大时，所得到的无盖长方体纸盒的容积的值先增大后减小，
当剪去的小正方形的边长为3cm时，所得到的无盖长方体纸盒的容积最大．
故答案为：3．
22．解：（1）这个几何体的主视图和左视图如图：
（2）保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放2个小正方体，后面的几何体上放1个小正方体，故最多可再添加3个正方体，
故答案为：3；
（3）10[（6+6）+6+2]=3200cm2
答：需要喷漆的面积是3200cm2.
23．
（1），，；
（2）（个），（个）.
这个几何体最多由11个小立方体搭成；最少由9个小立方体搭成.
（3）如图所示.
24．解：（1）根据如图4中主视图知，摆放的长方体共有两列三层，由左视图知长方体共一排，根据题中所给的标示法，则这种码放方式的有序数组为（1，2，3）；
组成这个几何体的单位长方体的个数为1×2×3=6（个）
故答案 （1，2，3），6
（2）由题意知，当几何体有序数组（1，2，3）时，表示几何体码放了1排2列3层，单位长方体的个数为6个
∴表面上面积为S1的个数为12个，表面上面积为S2的个数6个，表面上面积为S3的个数4个，表面积为：12S1+6S2+4S3
故答案为：12，6，4，12S1+6S2+4S3；
（3）当有序数组（x，y，z）时，
表面上面积为S1的个数为2yz个，表面上面积为S2的个数2xz个，表面上面积为S3的个数2xy个，
∴该几何体表面积计算公式S（x，y，z）=2yzS1+2xzS2+2xyS3
故答案2yzS1+2xzS2+2xyS3
拓展应用：
当S1=2，S2=3，S3=4时，S（x，y，z）=2（yzS1+xzS2+xyS3）=2（2yz+3xz+4xy）
要使S（x，y，z）的值最小，不难看出x，y，z应满足x≤y≤z（x、y、z为正整数）
∵将相邻三个面的面积记为S1、S2、S3，且S1＜S2＜S3，其中每个长方体的长是8，宽是5，高是6
∴S1=30，S2=40，S3=48
∴满足要求的组合有（1，1，20），（1，2，10），（1，4，5），（2，2，5）
∵S（1，1，20）=2×30×20+2×40×20+2×48=2896
S（1，2，10）=2×30×2×10+2×40×10+2×48×2=2192
S（1，4，5）=2×30×4×5+2×40×5+2×48×4=1984
S（2，2，5）=2×30×2×5+2×40×2×5+2×48×4=1786
∴S（2，2，5）的值最小
∴几何体表面积最小的有序数组为（2，2，5），最小面积为S（2，2，5）=1786．