(共35张PPT)
新安中学 张勇
观察下列图片,找出你所熟悉的几何图形
A
B
C
在这个图形中，AB=AC，是一个等腰三角形。
A
B
C
A
C
B
等腰三角形的概念
腰
腰
底边
底角
底角
顶角
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
见右图：AB=AC, ⊿ABC就是等腰
三角形.
这节课我们来研究等腰三角形的性质！
用折纸的方法能否折出 一个等腰三角形？ 试试看。
动手做：把一张长方形纸片按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？
A
B
C
两腰
对折
重合的线段
重合的角
你折的三角形是轴对称图形吗？找出重合的线段和角。等腰三角形的高、中线、角平分线有什么联系吗？
两腰
对折
重合的线段
ＡＢ与ＡＣ
ＢＤ与ＣＤ
ＡＤ与ＡＤ
重合的角
∠B与∠C
∠BAD与∠CAD
∠ADB与∠ADC
你折的三角形是轴对称图形吗？找出重合的线段和角。等腰三角形的高、中线、角平分线有什么联系吗？
第一个发现：
折叠的两个部分是互相重合的．
等腰三角形是
一个轴对称图形．
它的对称轴就是折痕AD所在的直线．
A
B
C
等腰三角形的性质1:
等腰三角形的两个底角相等
简写为:等边对等角
A
B
C
第二个发现：
∠B=∠C
第三个发现：
AD所在直线是等腰三角形ABC的对称轴．
∠BAD=∠CAD,
AD为顶角的平分线；
BD=CD,
AD为底边上的中线。
∠ADB=∠ADC=90°,
AD又为底边上的高;
Ｃ
Ｂ
Ｄ
Ａ
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”
２.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．
１.等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）
现在和你同伴讨论一下如何证明等腰三角形的性质，有几种方法？
性质１的证明
性质２的证明
填空：在△ABC中
(1) ∵ AB=AC ，
∴∠＿＿＝∠＿＿
A
B
C
D
1
2
B
C
1
2
BD
CD
AD
BC
AD
BC
BD
CD
1
2
(2) ∵ AB=AC ,AD是角平分线,
∴ ⊥ ， ＝ ＿＿.
(3) ∵ AB=AC,AD是中线,
∴ ⊥ ,∠＿＝∠＿.
(4) ∵ AB=AC,AD 是高,
∴ ＿＿ ＝ ＿＿,
∠＿＿＝∠＿＿.
性质1及性质2的推理格式
A
B
C
D
已知：△ABC中，AB＝AC、BD平分∠ABC。
能否推出BD⊥AC、DA=DC吗？
（不能）
例题讲解
例1:如图,在△ABC中，AB=AC，,点D在AC上,且BD=BC=AD, 1)找出图中相等的角 2)求△ABC各角的度数.
Ａ
Ｂ
Ｃ
D
例2、已知：如图，房屋的顶角∠BAC=1000，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC。 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。
解：
在△ABC中，
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等边对等角）.
∴∠B=∠C=(1800-∠A)=400.
又∵AD⊥BC(已知),
∴∠BAD=∠CAD(三线合一).
∴∠BAD=∠CAD=500.
找出下面图形中相等的角：
（1）在△ABC中，AC=BC， ∠ACB=90°，CD⊥AB
∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°
∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°
巩固练习一
A
C
B
D
巩固练习二
根据下列条件求等腰三角形中其余角的度数
顶角为70°
(2)一个底角为45 °
(3)一个底角为60 °
(4)一个角是30 °
(5)一个外角是70 °
55 °和55 °
45 °和90 °
60 °和60 °
30 °和120 °或75 °和75 °
110 °、35 °、35 °
巩固练习
巩固练习
已知：在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，∠1=45°
求： ∠BCD的度数
∵DC⊥AB，∠1=45°
∴∠A= 45°
∵AB=AC （已知）
∴∠B= ∠ACB （等边对等角）
∵ ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形
内角和定理）
∴∠B= ∠ACB= 67.5°
∵ ∠BCD= ∠BCA － ∠1
∴ ∠BCD= 67.5°－ 45°= 22.5°
证明
Ａ
Ｂ
Ｃ
D
1
小结
等腰三角形性质
等腰三角形三线合一
等边对等角
已知：AD = DC=CB，∠A= 25° 求：∠DCB的度数。
考考你
Ａ
Ｂ
Ｃ
D
∵在△ADC中，AD=CD
∴∠DCA = ∠A = 25 °（等边对等角）
∴∠BDC= ∠DCA+∠A = 50 °（三角形的一
个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
在△BDC中，DC=CB
∴∠B= ∠BDC= 50° （等边对等角）
∴ ∠DCB= 180 °－∠B －∠BDC= 80 °
（三角形内角和定理）
∴ ∠ DCB = 80 °
证明：
猜猜看，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？你可以将等腰三角形沿对称轴AD折叠，观察DE与DF的关系。
B
C
D
F
E
A
如果DE、DF分别是AB、AC上的中线或∠ADB、∠ADC 的平分线，它们还相等吗？
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｅ
Ｆ
Ｄ
由等腰三角形是轴对称图形，还能得到等腰三角形中哪些线段相等 （只要在三角形中就行）
归纳小结
等腰三角形性质
等腰三角形三线合一
等边对等角
本节课你学到了什么知识？谈谈你的收获。
布置作业
课外作业:教科书:143页练习,做在书上
作顶角的角平分线
作底边上的高
作底边上的中线
D
Ｃ
Ｂ
Ａ
返回
简写成：等边对等角
性质1：等腰三角形的两个底角相等。
已知： ΔABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C
证明：作顶角的平分线AD
在ΔBAD和ΔCAD中
AB=AC（已知）
∠1=∠2（辅助线作法）
AD=AD（公共边）
∴ ΔBAD ≌ΔCAD（SAS）
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
性质1：等腰三角形的两个底角相等。
简写成：等边对等角
A
B
C
D
1
2
返回
根据这一题，我们还可以得到什么结论？
还可以得到AD⊥BC和BD=CD
已知： ΔABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C
证明：作底边上中线AD
在ΔBAD和ΔCAD中
AB=AC（已知）
ＢＤ＝ＣＤ（辅助线作法）
AD=AD（公共边）
∴ ΔBAD ≌ΔCAD（SＳS）
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
性质1：等腰三角形的两个底角相等。
简写成：等边对等角
A
B
C
D
1
2
返回
还可以得到∠BAD=∠CAD和AD⊥BC
根据这一题，我们可以得到什么结论？
已知： ΔABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C
证明：作底边上的高AD
在RtΔBAD和RtΔCAD中
AB=AC（已知）
AD=AD（公共边）
∴ Rt ΔBAD ≌ Rt ΔCAD（HL）
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
性质1：等腰三角形的两个底角相等。
简写成：等边对等角
A
B
C
D
返回
还可以得到∠BAD=∠CAD和BD=CD
根据这一题，我们还可以得什么结论？
性质２：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”
D
Ｃ
Ｂ
Ａ
方法：作ＢＣ边上的高ＡＤ，证明ＢＣ边上的中线和顶角的平分线和高是相互重合即可．
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