3.3 抛物线及其性质
考点一、抛物线的定义及应用
1、若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
答案：D
解析：（1）由，得，∴，则，所以焦点，由抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小，得的最小值为.
故选：D．
2、已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．3
答案：B
解析：由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则，
所以动点到的距离等于，所以动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，所以其最小值是，故选：B.
3、已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
答案：C
解析：易知抛物线的焦点为，准线方程为.连接，延长交准线于点，如图所示.根据抛物线的定义，知.
所以，当且仅当，，三点共线时，等号成立，所以的最小值为9.
故选：C.
4、定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，则M到y轴距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
答案：C
解析：抛物线的焦点为F，则抛物线的准线，
设在准线上的垂足分别为,连接,如图所示.
所求的距离
因为抛物线的通径为,
所以定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动时可以经过焦点,
此时三点共线，，，
则点M到y轴的最短距离为2，
故选：.
5、过抛物线C：（p＞0）的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，且满足，则直线l的倾斜角为（ ）
A．45° B．60°和120° C．30°和150° D．45°和135°
答案：B
解析：
当点在轴上方时，
设抛物线准线交x轴于F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A'，B'，
直线l交准线于C，如图所示：
则|AA'|＝|AF|，|BB'|＝|BF|，|AF|＝3|BF|，
所以|AN|＝2|BF|，|AB|＝4|BF|，cos∠NAB＝，∠NAB＝，
此时则直线l的斜率为，倾斜角为，
当点在轴下方时，由对称性可得直线l的斜率为，倾斜角为，
故选：B
6、抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
答案：D
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.
由，得x2－5x＋4＝0，
∴x1＋x2＝5，
∴ |FA|＋|FB|＝7，
故选：D.
7、为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：因为抛物线，所以 ，
由抛物线的定义得：，
解得，则，
所以的面积为，
故选：A
8、已知抛物线的焦点为是C上一点，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
答案：B
解析：由抛物线可得，
准线方程，
，是上一点，，．
，
解得．
故选：B．
9、若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点的横坐标和的值分别为（ ）
A．9，2 B．1，18 C．9，2或1，18 D．9，18或1，2
答案：C
解析：因为点到对称轴的距离为6，
所以不妨设．
因为点到准线的距离为10，
所以，
解得或，
故选：C．
10、已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，过作抛物线的准线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），的周长为12，则（ ）
A．4 B． C． D．5
答案：A
解析：因为，
所以.
又是抛物线上一点，
所以，则是等边三角形.
又的周长为12，
所以，
故选：A
11、过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
答案：C
解析：方法一：如图，分别过点，作准线的垂线，，垂足分别为，，过点作于点，交轴于点．由已知条件及抛物线的定义，得，，所以．在中，因为，，所以，所以，所以焦点到准线的距离为，即．
方法二：依题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，将其代入抛物线的方程，得．设，，则．因为，所以，即，，所以，解得．
故选：C.
考点二、抛物线的标准方程
1、以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
答案：C
解析：依题意设抛物线方程为．因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或．故选：C．
2、已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
答案：D
解析：抛物线的准线方程是，而点到准线的距离为6
点的横坐标是，于是
代入，得，
解得或，故该抛物线的标准方程为或．故答案选：D
3、在正方体中，为侧面所在平面上的一个动点，且点到平面的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
答案：D
解析：正方体中平面，∴等于点直线的距离.
∵平面平面，∴点到平面的距离等于点到直线的距离.
∵点到平面的距离与到直线的距离相等，∴MB等于点到直线的距离.
根据抛物线的定义，可知动点的轨迹为抛物线.
故选：D.
4、已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝12y
答案：A
解析：设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等.
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
故选：A.
5、已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：设，，，
抛物线的方程为，，
由可得，
所以
所以，，
所以，，，，
所以，， ，，
所以，
因为，所以，所以，
所以抛物线的方程为．
故选：A.
6、设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则抛物线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
答案：C
解析：抛物线：的焦点，设，
由抛物线的定义，知，得，则以为直径的圆的圆心横坐标为，而圆的半径为，于是得该圆与轴相切于点，得圆心的纵坐标为2，则点的纵坐标为4，即，
从而有，整理得，解得或，
所以抛物线的方程为或.
故选：C
7、已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝12x D．y2＝－12x
答案：A
解析：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等.
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
8、抛物线上一点到焦点F的距离为3，则p值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：D
解析：由抛物线的定义可知，，
，
，所以，
故选：．
9、（多选）经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为（ ）
A．y2＝x B．y2＝8x C．y2＝－8x D．x2＝－8y
答案：AD
解析：当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.
故选：AD
10、若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为______.
答案：或
解析：当时，准线的方程为，故，所以，此时抛物线的方程为；
当时，准线的方程为，故，所以，此时抛物线的方程为.
所以所求抛物线的方程为或.
故答案为：或.
11、已知抛物线上一点 到其焦点的距离为 5，则该抛物线的准线方程为____________．
答案：
解析：因为抛物线上一点 到其焦点的距离为 5，
所以，
解得，
所以该抛物线的准线方程为，
故答案为：
12、已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，，则抛物线的方程为________________________.
答案：
解析：
设准线与轴的交点为，准线为，焦点为，
由抛物线的定义知，又，所以为等边三角形，且，所以,则，又因为，因此，故抛物线的方程为；
故答案为：.
考点三、直线与抛物线的位置关系
1、过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案：C
解析：当直线的斜率不存在时，直线符合题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得．
当时，符合题意；当时，由，可得，
即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有3条．
故选：C
2、已知抛物线y2＝4x，直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．1
答案：D
解析：（1）当直线的斜率不存在时，直线符合题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得．
当时，符合题意；当时，由，可得，
即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有3条．
故选：C
（2）设直线l的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线l与抛物线方程，化简可得，y2﹣4my﹣4n＝0，
由韦达定理可得，y1+y2＝4m，
∵，
∴4m＝4，即m＝1，
∴直线l的方程为y＝x﹣n，
∴k＝1．
故选：D
3、已知直线及抛物线，则（ ）
A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点
答案：C
解析：直线，直线过定点．
当时，直线与抛物线有一个公共点，即顶点；
当时，点在抛物线的内部，所以直线与抛物线有两个公共点，
综上所述，直线与抛物线有一个或两个公共点.
故选：.
4、“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，
“直线与抛物线只有一个公共点”时，直线可能与对称轴平行，此时不相切，
故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件.
故选：A
5、（多选）与直线仅有一个公共点的曲线是
A． B．
C． D．
答案：AC
解析：A．圆心到直线的距离，所以直线和圆相切，所以仅有一个公共点，符合；
B．因为，所以，所以，所以直线与椭圆有两个交点，不符；
C．因为的渐近线方程为，所以平行于渐近线且不与渐近线重合，
所以与双曲线仅有一个公共点，符合；
D．因为，所以，所以，所以直线与抛物线有两个交点，不符.
故选：AC.
6、（多选）若原点到直线的距离不大于1，则直线与下列曲线一定有公共点的是（ ）
A． B． C． D．
答案：AC
解析：原点到直线的距离小于或等于1，故直线一定经过圆面 内的点，如图所示：故与直线一定有公共点的曲线的是，
故选：．
...
7、若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为（ ）
A． B．0
C．或0 D．8或0
答案：C
解析：由得ky2－y＋2＝0，
若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，则y＝2；
若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，所以k＝.
综上可知k＝0或.
故选：C．
8、已知F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E分别交于点B，C.
（1）若ABC为直角三角形，求半径R的值；
（2）判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明.
答案：（1）R＝p；（2）直线AB与抛物线E相切，证明见解析.
解析：（1）由抛物线和圆的对称性可得B，C关于x轴对称，
再由ABC为直角三角形可得BC为圆的直径，B，C，F三点共线，xB，
代入抛物线的方程可得yB＝p，
所以圆的半径R＝p；
（2）直线AB与抛物线E相切.
由（1）知A（，0），|AF|＝p，B（，p），C（，﹣p），
则直线AB：y＝x，联立，整理得x2﹣py0，
∴＝p2﹣p2＝0，
∴直线AB与抛物线相切.
9、已知抛物线C:，焦点为，点在抛物上，设，其中．
（I）求焦点的坐标；
（Ⅱ）试判断直线与抛物线的位置关系，并加以证明．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）相切，证明见解析.
解析：（Ⅰ）由抛物线C：，可得：，，
可得焦点的坐标为；
（Ⅱ）直线与抛物线C相切，证明如下：
由点及点，可得，
又，可得，可得，
同时由抛物线C：，，，
所以过的切线的斜率为：，
所以直线与抛物线C相切.
考点四、弦长
1、已知直线与抛物线相交于、两点，则的长为（ ）
A．12 B．16 C．7 D．8
答案：B
解析：由抛物线，可得其焦点坐标为，准线方程为，
又由直线，可得直线过抛物线的焦点，
设，根据抛物线的定义可得
所以，
又由，整理得，则，
所以．
故选：B．
2、已知抛物线，直线过其焦点且与轴垂直，交于两点，若为的准线上一点，则的面积为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．50
答案：B
解析：抛物线的焦点为
直线过其焦点且与轴垂直，交于两点，则
由，可得，故
由 即
所以抛物线，其准线方程为：
为的准线上一点，所以到直线的距离为：
则故选；B
3、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且|FA|＝4，则|AB|＝__.
答案：
解析：设过F（1，0）的直线方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与抛物线方程，可得y2﹣4my﹣4＝0，
由韦达定理，可得y1y2＝﹣4，则，
∵由抛物线的定理，可得|FA|＝x1+1＝4，
∴x1＝3，，
∴，.
故答案为：.
4、过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则等于____________．
答案：；
解析：由抛物线可得：，抛物线的准线方程为：，
因为过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，
由抛物线的定义可得：
，，
所以弦长，
故答案为：.
5、已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于、两点，则弦长______.
答案：8
解析：因为抛物线的准线方程为，所以，解得，
所以抛物线方程为，所以抛物线的焦点坐标为，所以直线过焦点，
联立 ，消去y得 ，则 ，所以，故答案为：8
6、过点的直线与抛物线交于两点，，则△ABC面积的最小值为_______________.
答案：
解析：设直线的方程为：，，，，，
联立方程，消去得：，
，，
，
当时，的值取到最小值，最小值为，
故答案为：．
7、已知动点到点的距离，与点到直线的距离相等.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点且斜率为的直线与动点的轨迹交于，两点，求线段的长度.
答案：（1）；（2）16．
解析：（1）由题意点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，，，
所以轨迹方程是；
（2）由已知直线方程是，设，
由得，所以，
．
8、已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点P（m，2）到其焦点F的距离为4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积．
答案：（1）x2＝8y；（2）.
解析：（1）由已知及抛物线定义可得，∴p＝4，∴抛物线C的方程为x2＝8y．
（2）由（1）可得F（0，2），∴l：y＝x+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），
将l方程代入C方程整理得y2﹣12y+4＝0，∴y1+y2＝12，∴|AB|＝y1+y2+p＝16，
原点O到直线l的距离为，
∴OAB的面积．
9、已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离等于它到x=-1的距离.
（1）求曲线的方程；
（2）求直线被曲线截得线段长.
答案：（1）；（2）8
解析：（1）一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离等于它到x=-1的距离，
所以该曲线是以点为焦点，以x=-1为准线的抛物线，
设其方程为，
所以；
（2）设直线与曲线交于，
联立方程，整理得，，
.
所以直线被曲线截得线段长为8.
10、已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于 两点，与圆交于点，点是线段的中点.
（1）求抛物线的准线方程；
（2）求的面积.
答案：（1）；（2）.
解析：（1）因为抛物线，
所以准线方程为；
（2）设直线，，
联立直线与抛物线得，
由韦达定理可得，
故，∴，
将点坐标代入圆方程得，解得(0舍去).
根据抛物线的对称性，
不妨设，联立，消去得，所以
所以，
坐标原点到直线的距离，
所以
考点五、综合运用
1、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且（为坐标原点）的外接圆圆心到准线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于另一点，证明：为定值；
（3）过点作圆的两条切线，与轴分别交于，两点，求面积取得最小值时对应的的值．
答案：（1）；（2）证明见解析 ；（3） ．
解析：（1）抛物线的焦点，
准线．
由的外接圆圆心在的垂直平分线上，得圆心的横坐标为．
由的外接圆圆心到准线的距离为，得，解得．
抛物线的方程为．
（2）由（1）得，，
设，直线，
联立，可得，
，．
又，则．
上式通分后得分子为，
故，为定值．
（3）如图，记两个切点分别为，．连接，，，．
由题意，得．
由切线长定理，知，，，
，
又，
，
，
，
解得，
，
当且仅当，即时，取等号．
此时．
故当面积取得最小值时，．
2、已知抛物线C：y2＝4x，A，B，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N.
（1）当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；
（2）若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.
答案：（1）证明见解析；（2）m＝6.
解析：（1）证明：由题意，l：x＝5，代入y2＝4x中，解得，
不妨取M(5,)，N(5,－)，则，
∴，
∴AM⊥AN，即△AMN为直角三角形，得证．
（2）由题意，四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2，
设直线l：y＝2(x－m)，，联立，得y2－2y－4m＝0，
由题意，判别式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，
∵AM⊥AN，则，又，
∴，化简得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，
∴，解得m＝6，故m＝6时，有AM⊥AN.
3、过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于，，
（1）若横坐标为的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；
（2）若为抛物线的顶点，，试证明：过、两点的直线必过定点；
（3）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数.
答案：（1）；（2）证明见解析；（3），证明见解析.
解析：（1）因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为；
又横坐标为的点到焦点的距离为1，
所以，即，
故抛物线方程为；
（2）若为抛物线的顶点，则；
因为，为抛物线上的点，所以直线斜率不为零；
可设直线的方程为，
由得，
则，，
所以，
又，则；
所以，即，所以，
即直线的方程为，
因此，过、两点的直线必过定点；
（3）因为，，都是抛物线上的点，且与的斜率存在，则，；
由可得，所以；
由可得，所以；
又因为与的倾斜角互补，所以，即，
整理得，
要求的值，显然；所以，
要证明直线的斜率是非零常数，显然直线的斜率存在；
由可得，
所以，
因为，，所以是非零常数，
即直线的斜率是非零常数.
4、已知抛物线C：x2＝8y，点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，点M的坐标为（2，﹣2）．
（1）分别过A，B两点作抛物线C的切线，两切线的交点为M，求直线l的斜率；
（2）若直线l过抛物线的焦点F，试判断是否存在定值λ，使得＝
答案：（1）；（2）存在λ＝2.
解析：（1），，，，
抛物线方程，
求导可得，
过点的切线方程为，过点的切线方程为，
点为两切线的交点，
，，
过，的直线方程为，化简可得，，
．
（2）由题意可知，，过点的直线为，
设直线与抛物线交于，，，，
联立直线与抛物线方程，，
由韦达定理可得，，，
，同理可得，，
，
，
存在，使得．
5、已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为2，且|PF|＝2，A，B是抛物线E上异于O的两点．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若直线OA，OB的斜率之积为﹣，求证：直线AB恒过定点．
答案：（1）x2＝4y；（2）证明见解析.
解析：（1）由题意得，F（0，），设P（2，y0），，
由点P是E上一点，得4＝2p（2﹣），∴p2﹣4p+4＝0，解得p＝2，
∴抛物线E的方程为x2＝4y；
（2）设A（），B（），
由题意可知，，
得x1x2＝﹣8，可知直线AB的斜率存在．
设AB：y＝kx+m，
联立，得x2﹣4kx﹣4m＝0，
可得x1x2＝﹣4m＝﹣8，即m＝2．
∴直线AB恒过定点（0，2）．
6、已知拋物线：（）的焦点为，为坐标原点，为拋物线上一点，且．
（1）求拋物线的方程；
（2）设直线：交轴于点，直线过点且与直线平行，动直线过点与拋物线相交于，两点，直线，分别交直线于点，，证明：．
答案：（1）；（2）证明见解析.
解析：（1）拋物线的方程为，设，
因为，由拋物线定义，即．所以，
又由，得，解得（舍去），
所以抛物线的方程为．
（2）证明：直线：，令，得，所以点．
因为直线平行于直线：且过点，所以直线：．
设点，，直线：，
联立消去得，
则．由根与系数关系得，，
易得直线：，直线：．
联立解得，
同理可得，
所以
．
因为，所以，即A是的中点，所以．
7、已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线交于，两点，且．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）在轴上是否存在一点，使为正三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）；（2）不存在，理由见解析.
解析：（1）由题意，设所求抛物线的标准方程为．
由，消去，得．
设，，则，．
由，
得，解得或（舍去），
∴抛物线的标准方程为．
（2）设的中点为点，则．
假设在轴上存在满足条件的点，连接．
∵为正三角形，
∴，即，
解得，∴，
∴．
又，
∴在轴上不存在一点，使为正三角形．
8、已知抛物线的焦点为，点在上，且（为坐标原点）．
（1）求的方程；
（2）若是上的两个动点，且两点的横坐标之和为．
（ⅰ）设线段的中垂线为，证明：恒过定点．
（ⅱ）设（ⅰ）中定点为，当取最大值时，且，位于直线两侧时，求四边形的面积．
答案：（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.
解析：（1）由抛物线的性质得，
所以根据抛物线的定义得：，解得，
所以的标准方程为．
（2）设，且．
（ⅰ）证明：设中点为，则，，
当时，；
当时，，
则，，
令，得，故直线过定点
综上，恒过定点．
（ⅱ）由（ⅰ）知直线，即，
所以直线与抛物线联立方程消去，整理得，
由，得，，
，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为10，
此时直线的方程为．
对于直线，，
所以点在同侧，不合题意，
对于直线，满足，位于直线两侧，
所以直线，
点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以．
9、已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，Q在抛物线C上，且|QF|=.
（1）求抛物线C的方程及t的值；
（2）若过点M （0，t）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，N为AB的中点，O是坐标原点，且，求直线l的方程.
答案：（1）y2=4x，2；（2）或.
解析：（1）因抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，则其准线为：，又Q在抛物线C上，
由抛物线定义知：，解得p=2，即抛物线C的方程为y2=4x，
将Q的坐标代入y2=4x，得t=2，
所以抛物线C的方程为y2=4x，t的值是2；
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，由(1)知M(0，2)，
显然直线l的斜率存在，设直线l：y=kx+2(k≠0)，
由消去y得k2x2-4(1-k)x+4=0，显然，k≠0，，解得，且，
于是得，
而，且点A，B，M，N都在直线l上，从而得，
则有，又N是AB的中点，即x0=，
从而得，即，整理得，
因此有，解得或，均满足题意，
所以直线l的方程为或.3.3 抛物线及其性质
考点一、抛物线的定义及应用
1、若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
2、已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．3
3、已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4、定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，则M到y轴距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
5、过抛物线C：（p＞0）的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，且满足，则直线l的倾斜角为（ ）
A．45° B．60°和120° C．30°和150° D．45°和135°
6、抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
7、为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8、已知抛物线的焦点为是C上一点，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
9、若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点的横坐标和的值分别为（ ）
A．9，2 B．1，18 C．9，2或1，18 D．9，18或1，2
10、已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，过作抛物线的准线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），的周长为12，则（ ）
A．4 B． C． D．5
11、过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
考点二、抛物线的标准方程
1、以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
2、已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
3、在正方体中，为侧面所在平面上的一个动点，且点到平面的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
4、已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝12y
5、已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6、设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则抛物线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7、已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝12x D．y2＝－12x
8、抛物线上一点到焦点F的距离为3，则p值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9、（多选）经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为（ ）
A．y2＝x B．y2＝8x C．y2＝－8x D．x2＝－8y
10、若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为______.
11、已知抛物线上一点 到其焦点的距离为 5，则该抛物线的准线方程为____________．
12、已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，，则抛物线的方程为________________________.
考点三、直线与抛物线的位置关系
1、过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2、已知抛物线y2＝4x，直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．1
3、已知直线及抛物线，则（ ）
A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点
4、“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5、（多选）与直线仅有一个公共点的曲线是
A． B．
C． D．
6、（多选）若原点到直线的距离不大于1，则直线与下列曲线一定有公共点的是（ ）
A． B． C． D．
7、若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为（ ）
A． B．0
C．或0 D．8或0
8、已知F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E分别交于点B，C.
（1）若ABC为直角三角形，求半径R的值；
（2）判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明.
9、已知抛物线C:，焦点为，点在抛物上，设，其中．
（I）求焦点的坐标；
（Ⅱ）试判断直线与抛物线的位置关系，并加以证明．
考点四、弦长
1、已知直线与抛物线相交于、两点，则的长为（ ）
A．12 B．16 C．7 D．8
2、已知抛物线，直线过其焦点且与轴垂直，交于两点，若为的准线上一点，则的面积为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．50
3、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且|FA|＝4，则|AB|＝__.
4、过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则等于____________．
5、已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于、两点，则弦长______.
6、过点的直线与抛物线交于两点，，则△ABC面积的最小值为_______________.
7、已知动点到点的距离，与点到直线的距离相等.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点且斜率为的直线与动点的轨迹交于，两点，求线段的长度.
8、已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点P（m，2）到其焦点F的距离为4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积．
9、已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离等于它到x=-1的距离.
（1）求曲线的方程；
（2）求直线被曲线截得线段长.
10、已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于 两点，与圆交于点，点是线段的中点.
（1）求抛物线的准线方程；
（2）求的面积.
考点五、综合运用
1、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且（为坐标原点）的外接圆圆心到准线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于另一点，证明：为定值；
（3）过点作圆的两条切线，与轴分别交于，两点，求面积取得最小值时对应的的值．
2、已知抛物线C：y2＝4x，A，B，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N.
（1）当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；
（2）若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.
3、过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于，，
（1）若横坐标为的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；
（2）若为抛物线的顶点，，试证明：过、两点的直线必过定点；
（3）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数.
4、已知抛物线C：x2＝8y，点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，点M的坐标为（2，﹣2）．
（1）分别过A，B两点作抛物线C的切线，两切线的交点为M，求直线l的斜率；
（2）若直线l过抛物线的焦点F，试判断是否存在定值λ，使得＝
5、已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为2，且|PF|＝2，A，B是抛物线E上异于O的两点．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若直线OA，OB的斜率之积为﹣，求证：直线AB恒过定点．
6、已知拋物线：（）的焦点为，为坐标原点，为拋物线上一点，且．
（1）求拋物线的方程；
（2）设直线：交轴于点，直线过点且与直线平行，动直线过点与拋物线相交于，两点，直线，分别交直线于点，，证明：．
7、已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线交于，两点，且．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）在轴上是否存在一点，使为正三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8、已知抛物线的焦点为，点在上，且（为坐标原点）．
（1）求的方程；
（2）若是上的两个动点，且两点的横坐标之和为．
（ⅰ）设线段的中垂线为，证明：恒过定点．
（ⅱ）设（ⅰ）中定点为，当取最大值时，且，位于直线两侧时，求四边形的面积．
9、已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，Q在抛物线C上，且|QF|=.
（1）求抛物线C的方程及t的值；
（2）若过点M （0，t）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，N为AB的中点，O是坐标原点，且，求直线l的方程.
