3.2.2 双曲线的简单几何性质
考点一、离心率与渐近线
1、若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：∵渐近线为，即，∴，∴.∴，∴.
故选：D
2、过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交另外一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：如图，因为直线经过右焦点且与渐近线垂直，
所以直线的方程为，
由可得，
由可得，
因为，所以，即
即，因为，
所以，解得，
故选：B.
3、已知双曲线的离心率是，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：因为双曲线的离心率是，所以，解得（舍去）.故选：D.
4、（多选）已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为
答案：BD
解析：∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确.故选：BD
5、设，分别是双曲线的左、右焦点，过点，且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：设，，则，
又，则，即．
所以=
又的面积为，所以，即，
故双曲线的离心率为．
故选:D．
6、（多选）下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）
A． B． C． D．
答案：AC
解析：对A，令，故A正确；
对B，令，故B错误；
对C，令，故C正确；
对D，令，故D错误；
故选：AC
7、（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则双曲线离心率的取值范围为
B．若，则双曲线离心率的取值范围为
C．若，则双曲线离心率的取值范围为
D．若，则双曲线离心率的取值范围为
答案：BC
解析：由题意，，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，
若，可得，
根据双曲线的定义可得，则，解得；
若，可得，
根据双曲线的定义可得，则，解得．
故选：BC．
8、（多选）若三个数1，，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
答案：AD
解析：因为三个数1，，9成等比数列，
所以，解得，
当时，曲线的离心率为：，
当时，曲线的离心率为：．
故选：AD．
9、设双曲线的半焦距为，直线过，两点．已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
答案：A
解析：因为直线过，两点．
所以直线的方程为，即，
所以原点到的距离①．
又②，
所以，即，
故，解得或．
当时，，与矛盾，
所以．
故选：A
10、已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：若是锐角三角形，则只需．
在中，，，则，又，
∴，∴，∴．又，∴．
故选：B．
11、
11、已知，，是双曲线上不同的三点，且点A，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：设，，
因为点A，连线经过坐标原点，根据双曲线的对称性，则，
所以．
因为点A，在双曲线上，所以，
两式相减，得，
所以，所以．
故选：D.
12、在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
答案：A
解析：因为一条渐近线的斜率为，即，
所以．
故选：A
13、已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
解析：由得，，
根据三角形的性质可知，为直角三角形，且，．
由双曲线的定义可得，，又，可得．
所以可化为，
即，而，
，解得，又，
．
故选：A．
14、已知分别为双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点且满足，则此双曲线离心率的取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：设，，
，即，
，
可得，即，即，又即，又，即，所以，
即，即，
可得，
，即，
故选：．
15、已知点分别是双曲线的左右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B．或 C．2 D．3
答案：A
解析：根据题意可设，
将代入，解得，
则，所以，
因为为等边三角形，
则，即，
又，
所以，即，
则，解得或，
又因为双曲线的离心率，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
16、已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C．或2 D．
答案：A
解析：依题意，双曲线的渐近线方程为，因两条渐近线的夹角为，
于是得直线的倾斜角是或，即或，解得或，而，则，又，则有，所以双曲线的离心率.故选：A
考点二、直线与双曲线的位置关系
1、等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＝1 B．0
C．a>1 D．a≥1
答案：D
解析：（1）等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，
且双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，.故选：D
2、已知双曲线和直线至多只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．{-1，1}
答案：C
解析：将双曲线和直线的方程联立，消去得：
∴当双曲线和直线至多只有一个公共点时，关于的方程有一个实数解或两个相等的实数解)或无解.
∴当，即时，双曲线和直线只有一个公共点；
当且即或时，双曲线和直线至多只有一个公共点.∴实数的取值范围是故选：C
3、若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
答案：A
解析：因为直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则，
将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由，解得－2故选：A.
4、若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
解析：如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.
当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内，即，解得：；
当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：
要使曲线与曲线恰有两个不同的交点，
只需，解得：.
所以实数的取值范围是
故选：C
5、直线l过点（2，1），且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
解析：直线l的斜率存在时，设l的方程为：，
由得，
时，不成立，方程组无解，时，解得，方程组有唯一解，即直线l与双曲线有唯一公共点，
时，，
即直线l的斜率存在时，符合条件的直线只有一条，
当直线l的斜率不存在时，直线l：x=2，代入双曲线方程得y=0，即直线l与双曲线也有唯一公共点，
所以符合条件的直线有2条.
故选：B
6、直线与双曲线有且只有一个公共点，则的取值有（ ）个
A． B． C． D．
答案：D
解析：联立，消去并整理得，
由于直线与双曲线有且只有一个公共点，
所以，或，
解得或，
对于方程，判别式为，方程有两个不等的实数解.
显然不满足方程.
综上所述，的取值有个.
故选：D.
7、如果直线与双曲线只有一个交点，则符合条件的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案：D
解析：由，得，
若，即，
时，，方程组只有一解；时，，方程组只有一解；
时，，，此时方程组也只有一解．
方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条．
故选：D．
8、在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：当“直线与双曲线有且只有一个公共点”成立时有可能是直线与双曲线的渐近线平行，
此时，“直线与双曲线相切”不成立
反之，“直线与双曲线相切”成立，一定能推出“直线与双曲线有且只有一个公共点”
所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件
故选：．
9、已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：联立直线方程和双曲线方程，化为，
因为直线与双曲线的右支交于不同两点，
所以，且，，
解得，
所以实数的取值范围为，
故选：D
考点三 弦长
1、（多选）已知直线y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为（ ）
A．± B．± C．± D．±
答案：BD
解析：（1）易得双曲线的左焦点F1(－2，0)，
∴直线AB的方程为y＝ (x＋2)，
与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝×＝3.
（2）由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.
将y＝kx＋1代入得：(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，即k2＜5.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则，
∴，解得或.
故选：BD
2、过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝________.
答案：3
解析：（1）易得双曲线的左焦点F1(－2，0)，
∴直线AB的方程为y＝ (x＋2)，
与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝×＝3.
3、双曲线的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则的面积为__________．
答案：
解析：双曲线的右顶点，右焦点，
，所以渐近线方程为，
不妨设直线FB的方程为，
将代入双曲线方程整理，得，
解得，，
所以，
所以
故答案为：.
4、求双曲线被直线截得的弦长______________．
解析：联立方程组，整理得，
设直线与双曲线交于两点，设，
则，
由弦长公式可得.
故答案为：.
5、过双曲线：的右焦点作圆：的切线，此切线与的右支交于，两点，则___________.
答案：
解析：因为直线过双曲线的右焦点且与圆相切，所以直线的斜率存在，
设直线方程为()，由直线与圆相切知，解得或，
当时，双曲线的一条渐近线的斜率是，，该直线不与双曲线右支相交于两点，故舍去；
所以直线方程为，联立双曲线方程，消元得.
设，，则，，
所以.
故答案为：
6、过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线l与双曲线的交点为A、B，则|AB|＝_____.
答案：3
解析：双曲线焦点坐标为F1(－2，0)、F2(2，0)，直线AB的方程为y＝ (x＋2)
把该直线方程代入双曲线方程得，8x2－4x－13＝0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
所以x1＋x2＝，x1x2＝
|AB|＝·＝×＝3
故答案为：3
7、已知点，，动点满足条件．记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过曲线的一个焦点作倾斜角为45°的直线与曲线交于，两点，求．
答案：（1）；（2）．
解析：（1）因为，
所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线，
所以，所以，
所以的方程为：；
（2）不妨设焦点，则直线：
由消去得：．
设，，则，，
所以．
8、已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点．
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）求的周长．
答案：（1）；（2）.
解析：（1）由双曲线的方程得，，设
直线的方程为
将其代入双曲线方程消去y得，，得，
；
（2）由题意不妨设点A在双曲线的左支上，则的周长可表示为：
．
根据双曲线的定义，
由方程解得点A的坐标为（-3，），所以
考点四 点差法
1、已知双曲线，方向向量为的直线与交于两点，若线段的中点为，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解析：（1）由题意知直线的方程为，即，设，则，
作差得，即，
又因为，，
则，即，即，
且，消去，得，
则，当时，，所以直线与双曲线有两个交点，符合题意，
所以双曲线的渐近线方程是，即，
故选：B.
2、已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，2），则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．2
答案：B
解析：设弦的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
，，
两式作差整理得：．
∵斜率为1，弦的中点为（4，2），
∴，，，
∴，即，
∴. 故.
故选：B
3、已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
答案：D
解析：设，
因为是弦的中点，根据中点坐标公式，可得，
又由直线:的斜率为，所以.
因为两点在双曲线上，可得，
两式相减并化简得，
所以，所以.
故选：D
4、已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：设点、，则，
由题意，得，，两式相减，得，整理得，
所以，
因此，双曲线的离心率为，
故选：A.
5、已知直线l与双曲线交于A，B两点，且AB的中点坐标为（1，2），则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
答案：C
解析：设，由AB的中点坐标为（1，2），则 ，且
所以又A，B两点在双曲线上，
所以，，
由两式相减可得，即
所以，即,所以
此时直线l的方程为：
由，得，满足条件.
故选：C
6、已知斜率为的直线与双曲线：(，)相交于、两点，且的中点为.则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：设
，两式做差得
整理得，
而，，，
代入有，即
可得．
故选：A.
7、过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）
A．2 B．2
C．3 D．4
答案：D
解析：解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.
所以x1x2＝＝10.
所以|AB|＝·＝4.
故选:D.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ， ①
. ②
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.
由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.
故选：D
8、设双曲线上有两点，，中点，则直线的方程为________________．
答案：
解析：设，，则，，
则 ，两式相减得，
，
所以直线的方程为即，
代入满足，所以直线的方程为.
故答案为：.
9、已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为________．
答案：0或
解析：设，，，，的中点为，，则，
由点差法可得，即①，
显然，又因为②，
代②入①可得；
由两点关于直线对称，可得，
所以，又因为，所以，
代入抛物线方程得，
解得或．
故答案为：0或．
10、过双曲线的左焦点的直线与双曲线交两点，且线段的中点坐标为，则双曲线方程是_______________.
答案：
解析：设，，
则，，
两式相减可得：，
所以，
因为点是线段的中点，所以，，
所以，
因为，
所以，即，
因为，所以，，
所以双曲线方程是，
故答案为：.
11、过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.
答案：
解析：过点的直线与该双曲线交于，两点，
设，，，，
，
两式相减可得：，
因为为的中点，
，，
，
则，
所以直线的方程为，即为．
故答案为：．
12、双曲线的右焦点分别为F，圆M的方程为.若直线l与圆M相切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为________.
答案：
解析：设直线l的斜率为k，则，所以，
因为点在圆上，
，即，
设点，，则，.
两式相减，得
则，即，
所以双曲线C的方程为.
故答案为：
13、过点作直线与双曲线交于，两点，若点恰为线段的中点，则实数的取值范围是______.
答案：
解析：因为双曲线方程为
则
设,
因为点恰为线段的中点
则
则,两式相减并化简可得
即直线的斜率为2
所以直线的方程为
,化简可得
因为直线与双曲线有两个不同的交点
所以
解得且
所以的取值范围为
故答案为:
考点五 最值问题
1、已知，是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：，即，
即，
又，所以，
所以 ，
可得，
故选：A
2、设为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过做的一条渐近线的垂线，垂足为，的面积最小值为16，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
答案：C
解析：设右焦点，其中一条渐近线设为，即，
右焦点到渐近线的距离，即，，
，
的面积的最小值为16，即，
，即的最小值是，那么焦距的最小值是，当时等号成立.
故选：C
3、已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：因为直线与双曲线没有公共点，
所以双曲线的渐近线的斜率，
而双曲线的离心率，
当双曲线的离心率取最大值时，取得最大值，即，即，
则双曲线的方程为，
设、、，则，
两式相减得：，即，即，
又，．
故选：A.
4、若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为该双曲线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：由题意，点，点，
设点，则，，，
所以，
所以，
所以当时，取最小值.
故选：B.
5、设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：因为双曲线的两条渐近线方程为，
当过点F且斜率为-3的直线l与渐近线平行时.
直线l只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知，
当渐近线的斜率满足，即时，
直线l与双曲线左、右支均相交，
所以.
故选:C.
6、若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（ ）
A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）
答案：B
解析：由题意可得,,故.
设,则.
关于
对称,故 在上是增函数,当时有最小值为,无最大值,故的取值范围为,
故选B.
7、设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若的焦距为4，则面积的最大值为______.
答案：2
解析：不妨设在第一象限，在第四象限，
联立方程组，解得故，
同理可得，所以..
因为的焦距为4，所以，，解得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为2.
故答案为：2.
8、若双曲线与圆没有公共点，求实数k的取值范围为________．
答案：
解析：双曲线焦点在轴上，所以，
可得长半轴长 ，
由可知圆心为，半径为1，
若双曲线与圆没有公共点，
则，即，
所以或，
所以实数k的取值范为，
故答案为：
9、已知点，点是双曲线上的点，点是点关于原点的对称点，则的取值范围是________.
答案：
解析：设点，则点,
所以，，
，
因为是双曲线上的点，故，
所以，
故的取值范围是.
故答案为：
10、已知A、B分别为双曲线的左、右顶点，点P在第一象限内的双曲线上，记PA、PB、PO的斜率分别为、、，则的取值范围为_________.
答案：
解析：设点
由题可知：
所以
又，所以
所以，由双曲线的渐近线方程为且在第一象限
所以，所以
故答案为：
11、已知曲线，点为曲线上任意一点，若点，，则面积的最大值为______．
答案：
解析：曲线C是由、
以及三部分构成（如图所示），
，且过AB的直线方程为，
并且直线为双曲线和的渐近线，
设过点P且与直线平行的直线方程为，
由图知，当直线与曲线相切时，
切点到直线距离最大，联立
消去得，，
解得（正根舍），
所以，所以点到直线的最大距离即为直线与直线之间的距离，所以最大距离，
所以面积的最大值为．
故答案为：
12、平面上一台机器人在运行中始终保持到点的距离比到点的距离大2，若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是______.
答案：
解析：由题意可得机器人的运动轨迹是双曲线的一支，由可得，
所以机器人的运动轨迹方程为；
直线，即，
联立得，
当时，若，则此时直线恰好是双曲线的渐近线，符合题意；若，显然不符合题意.
当时，由得，
解得；
综上可得的取值范围是.
故答案为：.3.2.2 双曲线的简单几何性质
考点一、离心率与渐近线
1、若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2、过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交另外一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3、已知双曲线的离心率是，则（ ）
A． B． C． D．
4、（多选）已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为
5、设，分别是双曲线的左、右焦点，过点，且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6、（多选）下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）
A． B． C． D．
7、（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则双曲线离心率的取值范围为
B．若，则双曲线离心率的取值范围为
C．若，则双曲线离心率的取值范围为
D．若，则双曲线离心率的取值范围为
8、（多选）若三个数1，，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
9、设双曲线的半焦距为，直线过，两点．已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
10、已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11、
11、已知，，是双曲线上不同的三点，且点A，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12、在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
13、已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
14、已知分别为双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点且满足，则此双曲线离心率的取值范围（ ）
A． B． C． D．
15、已知点分别是双曲线的左右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B．或 C．2 D．3
16、已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C．或2 D．
考点二、直线与双曲线的位置关系
1、等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＝1 B．0C．a>1 D．a≥1
2、已知双曲线和直线至多只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．{-1，1}
3、若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
4、若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5、直线l过点（2，1），且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6、直线与双曲线有且只有一个公共点，则的取值有（ ）个
A． B． C． D．
7、如果直线与双曲线只有一个交点，则符合条件的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8、在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9、已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点三 弦长
1、（多选）已知直线y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为（ ）
A．± B．± C．± D．±
2、过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝________.
3、双曲线的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则的面积为__________．
4、求双曲线被直线截得的弦长______________．
5、过双曲线：的右焦点作圆：的切线，此切线与的右支交于，两点，则___________.
6、过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线l与双曲线的交点为A、B，则|AB|＝_____.
7、已知点，，动点满足条件．记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过曲线的一个焦点作倾斜角为45°的直线与曲线交于，两点，求．
8、已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点．
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）求的周长．
考点四 点差法
1、已知双曲线，方向向量为的直线与交于两点，若线段的中点为，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2、已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，2），则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．2
3、已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4、已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5、已知直线l与双曲线交于A，B两点，且AB的中点坐标为（1，2），则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
6、已知斜率为的直线与双曲线：(，)相交于、两点，且的中点为.则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7、过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）
A．2 B．2
C．3 D．4
8、设双曲线上有两点，，中点，则直线的方程为________________．
9、已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为________．
10、过双曲线的左焦点的直线与双曲线交两点，且线段的中点坐标为，则双曲线方程是_______________.
11、过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.
．
12、双曲线的右焦点分别为F，圆M的方程为.若直线l与圆M相切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为________.
13、过点作直线与双曲线交于，两点，若点恰为线段的中点，则实数的取值范围是______.
考点五 最值问题
1、已知，是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、设为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过做的一条渐近线的垂线，垂足为，的面积最小值为16，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3、已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为该双曲线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5、设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6、若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（ ）
A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）
7、设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若的焦距为4，则面积的最大值为______.
8、若双曲线与圆没有公共点，求实数k的取值范围为________．
9、已知点，点是双曲线上的点，点是点关于原点的对称点，则的取值范围是________.
10、已知A、B分别为双曲线的左、右顶点，点P在第一象限内的双曲线上，记PA、PB、PO的斜率分别为、、，则的取值范围为_________.
11、已知曲线，点为曲线上任意一点，若点，，则面积的最大值为______．
12、平面上一台机器人在运行中始终保持到点的距离比到点的距离大2，若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是______.