3.2.1 双曲线及其标准方程
考点一、双曲线的定义及运用
1、动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
2、已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
3、设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
4、已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
5、双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（ ）
A．2或12 B．2或18 C．18 D．2
6、设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7、是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8、设是双曲线左支上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左.右焦点，若，则等于（ ）
A．2 B．2或18 C．18 D．16
9、已知双曲线的左右焦点，，是双曲线上一点，，则（ ）
A．1或13 B．1 C．13 D．9
10、P是双曲线x2－y2＝16左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝（ ）
A．4 B．-4 C．8 D．－8
11、已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
12、设为双曲线：上的点，，分别是双曲线的左，右焦点，，则的面积为（ ）
A． B． C．30 D．15
13、（多选）关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（ ）
A．焦点在轴上的双曲线 B．圆心为坐标原点的圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．长轴长为的椭圆
14、若双曲线x2－4y2＝4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AB|＝5，则△AF1B的周长为________．
15、在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5，0)和C(5，0)，顶点B在双曲线－＝1上，则为________．
16、已知F1，F2为双曲线C：x2-y2=2的左 右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=________.
17、设、为双曲线的两焦点，P为双曲线上的一点，且，则的面积为______
考点二 求曲线的轨迹方程
1、已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
2、已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．射线
C．线段 D．双曲线的一支或射线
3、已知点是圆（为坐标原点）上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
4、已知的顶点，，且的内切圆的圆心在直线上，求顶点的轨迹方程.
5、若一个动点到两个定点，的距离之差的绝对值为定值，求动点的轨迹方程.
6、已知两点，若，那么点的轨迹方程是______.
7、已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为______．
考点三 双曲线的标准方程
1、等轴双曲线的一个焦点是，则其标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2、已知双曲线过点和，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3、中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是（ ）
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
4、已知双曲线的焦点到顶点的距离为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5、已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为（ ）
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
6、已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7、已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A．－＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
8、与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
9、双曲线的顶点焦点到的一条渐近线的距离分别为和，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10、已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为__________．
11、焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．
12、已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．
13、以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为________．
14、与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是_______.
15、与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．3.2.1 双曲线及其标准方程
考点一、双曲线的定义及运用
1、动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
答案：C
解析：由题意，知，当时，
，此时点的轨迹是双曲线的一支；
当时，，
点的轨迹为以为端点沿轴向右的一条射线．
故选：C.
2、已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
答案：A
解析：设右焦点为，则，依题意，有，
，（当在线段上时，取等号）．
故的最小值为9.
故选：A.
3、设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
答案：D
解析：设，.由，的面积为，
可得，∴①
由离心率为，可得，代入①式，可得.
故选：D.
4、已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
解析：设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，
∴，，，
∴，的周长为．
∵当，，三点共线时，最小，最小值为，
∴的周长的最小值为．
故选：A
5、双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（ ）
A．2或12 B．2或18 C．18 D．2
答案：C
解析：由双曲线定义可知：解得或（舍）∴点到的距离为18，
故选：C.
6、设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
答案：C
解析：由题意，双曲线，可得，则，
因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，
由双曲线的定义可得，
又因为，可得，即，
又由，
可得，解得，
所以的面积为.
故选：C.
7、是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
答案：D
解析：
则
故双曲线的两个焦点为,
,也分别是两个圆的圆心,半径分别为,
则的最大值为
故选：D
8、设是双曲线左支上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左.右焦点，若，则等于（ ）
A．2 B．2或18 C．18 D．16
答案：C
解析：根据双曲线方程可得：，渐近线方程变形为，所以，可得：，，所以双曲线方程为，因为是双曲线左支上一点，根据双曲线的定义得：，且，所以
故选：C
9、已知双曲线的左右焦点，，是双曲线上一点，，则（ ）
A．1或13 B．1 C．13 D．9
答案：C
解析：根据双曲线定义可得，又，
所以或，
又，
解得，即，
又，
所以.
故选：C
10、P是双曲线x2－y2＝16左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝（ ）
A．4 B．-4 C．8 D．－8
答案：D
解析：因为双曲线方程为x2－y2＝16，化为标准方程得，即，
所以，而点在双曲线左支上，于是，
所以．
故选：D．
11、已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
答案：B
解析：不妨设P是双曲线右支上一点，
在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2，
∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，
∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·，
∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴8＝4＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4.故选：B
12、设为双曲线：上的点，，分别是双曲线的左，右焦点，，则的面积为（ ）
A． B． C．30 D．15
答案：D
解析：由，得，则，所以，
设，，则
，所以，
由余弦定理得，
因为，所以，所以，得，
所以，得，
所以，
所以，
所以的面积为，
故选：D
13、（多选）关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（ ）
A．焦点在轴上的双曲线 B．圆心为坐标原点的圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．长轴长为的椭圆
答案：BC
解析：对于A：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，
则，无解，选项A错误；
对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆，
则，解得，选项B正确；
对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，
则，所以或，选项C正确；
对于D：若曲线表示长轴长为的椭圆，
则，，
则或，
无解，选项D错误.
故选：BC.
14、若双曲线x2－4y2＝4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AB|＝5，则△AF1B的周长为________．
答案：18
解析：由双曲线定义可知|AF1|＝2a＋|AF2|＝4＋|AF2|；|BF1|＝2a＋|BF2|＝4＋|BF2|，
∴|AF1|＋|BF1|＝8＋|AF2|＋|BF2|＝8＋|AB|＝13．
△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝18．
故答案为：18.
15、在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5，0)和C(5，0)，顶点B在双曲线－＝1上，则为________．
答案：
解析：由题意得a＝4，b＝3，c＝5.A、C为双曲线的焦点，
∴||BC|－|BA||＝8，|AC|＝10.
由正弦定理得
.
故答案为：
16、已知F1，F2为双曲线C：x2-y2=2的左 右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=________.
答案：
解析：双曲线C：x2-y2=2，即，其实半轴长，半焦距c有，
由双曲线定义有|PF1|-|PF2|=2a=，而|PF1|=2|PF2|，则|PF1|=，|PF2|=，而|F1F2|=4，
则cos∠F1PF2==.
故答案为：
17、设、为双曲线的两焦点，P为双曲线上的一点，且，则的面积为______
答案：
解析：由题意可得双曲线，，，，
得，，，，
又，，
由余弦定理可得：
，
的面积，
故答案为：．
考点二 求曲线的轨迹方程
1、已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
答案：D
解析：（1）表示：
动点到两定点，的距离之差等于2，
而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支．
故选：D
2、已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．射线
C．线段 D．双曲线的一支或射线
答案：D
解析：两个定点的距离为，
当，即时，点的轨迹为双曲线的一支；
当，即时，点的轨迹为射线；
不存在的情况．
综上所述，动点的轨迹为双曲线的一支或射线．
故选：D．
3、已知点是圆（为坐标原点）上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
答案：D
解析：依题意，，因线段的垂直平分线交直线于点，于是得，
当点M在线段QO的延长线上时，，如图，
当点M在线段OQ的延长线上时，，如图，
从而得，由双曲线的定义知，点的轨迹是双曲线.
故选：D
4、已知的顶点，，且的内切圆的圆心在直线上，求顶点的轨迹方程.
答案：.
解析：设内切圆与边相切于点，与边相切于点，与边相切于点，
则易知，
∴点的轨迹是双曲线的右支（除去与轴的交点），且，，
∴，，，
∴顶点的轨迹方程是.
5、若一个动点到两个定点，的距离之差的绝对值为定值，求动点的轨迹方程.
答案：答案见解析.
解析：由题意得.
①当时，动点的轨迹是线段的垂直平分线，方程为；
②当时，由双曲线的定义，可知动点的轨迹是以，为焦点为的双曲线，其中，，，
故动点的轨迹方程为；
③当时，动点的轨迹为两条射线，其方程为与.
6、已知两点，若，那么点的轨迹方程是______.
答案：
解析：
设点的坐标为
因为
所以点的轨迹为焦点在轴的双曲线
且
所以
所以点的轨迹方程为：
故答案为：
7、已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为______．
答案：
解析：如图所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和点，
根据两圆外切的条件，得，．
因为，所以，
即，
所以点到两定点，的距离的差是常数且小于．
根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的左支，其中，，则．
故点的轨迹方程为．
故答案为：.
考点三 双曲线的标准方程
1、等轴双曲线的一个焦点是，则其标准方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：∵等轴双曲线的一个焦点为，∴，且a=b，
又，∴，即，∴双曲线的标准方程为．故选：D
2、已知双曲线过点和，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解析：因为双曲线的焦点位置不正确的，所以设双曲线的方程为．
因为，两点在双曲线上，
所以，解得，
于是所求双曲线的标准方程为.故选：B．
3、中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是（ ）
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
答案：A
解析：设等轴双曲线的方程为，且，
令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为（－4，0），
∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选：A.
4、已知双曲线的焦点到顶点的距离为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：由题意得，解得，所以双曲线的方程为．故选：B．
5、已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为（ ）
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
答案：B
解析：设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，与y＝x联立，得x2＝a2，
∴|AB|＝×a＝2，∴a＝3，故选B.
6、已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
解析：解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2-y2=λ（λ≠0），将点（5，3）代入方程，可得λ=52-32=16，所以双曲线方程为x2-y2=16，即-=1.
7、已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A．－＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
答案：A
解析：因为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，所以a＝2，
由离心率为，可得＝，c＝2，所以b＝＝＝4，则双曲线的标准方程为－＝1.故选：A
8、与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：因为椭圆C：的焦点为；
所以设双曲线的标准方程为，
则有，解得，所以方程为.
故选：C.
9、双曲线的顶点焦点到的一条渐近线的距离分别为和，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为，
顶点到渐近线的距离为，
由解得
所以双曲线的方程为．
故选：D
10、已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为__________．
答案：x2－＝1
解析：由题意得
解得
则该双曲线的方程为x2－＝1.
故答案为：x2－＝1
11、焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．
答案：
解析：设双曲线方程为，
将点(4，－2)和 代入方程得
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
12、已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．
答案：－y2＝1
解析：由题意得
(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，
又c＝，所以b＝1，
故双曲线的方程为－y2＝1.
故答案为：－y2＝1.
13、以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为________．
答案：－＝1
解析：由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
故答案： －＝1.
14、与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是_______.
答案：
解析：由椭圆方程可知，焦点坐标是，
设双曲线方程是，
所以，解得：，，
所以双曲线方程是.
故答案为：
15、与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．
答案：
解析：设双曲线的标准方程为，
双曲线过点，，解得或-14（舍去），
双曲线的标准方程为．
故答案为：
