2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册2.5直线与圆、圆与圆的位置关系考点同步练习(含答案)

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名称 2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册2.5直线与圆、圆与圆的位置关系考点同步练习(含答案)
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文件大小 2.0MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-10-21 14:01:15

文档简介

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点一、 直线与圆的位置关系
1、圆 与直线 的位置关系是( )
相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
2、直线与圆的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都不对
3、直线与圆的公共点个数为 ( )
A.个 B.个 C.个 D.个或个
4、若过点的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
5、已知曲线与直线有两个不同的交点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6、直线:与圆:的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
7、已知直线和圆:,则直线与圆的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
8、若圆与直线只有一个公共点,则的值为( )
A. B. C. D.
9、若直线与曲线有公共点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10、(多选)已知圆,直线.则下列选项正确的是( )
A.直线恒过定点 B.直线与圆C的位置可能相交、相切和相离
C.直线被圆C截得的最短弦长为12 D.直线被圆C截得的最短弦长对应的k值为
考点二、直线与圆的弦长
1、直线被圆截得的弦长为( )
A.1 B.2 C. D.
2、直线被圆截得的弦长为( )
A. B. C. D.
3、已知过点的直线被圆截得的弦长为,则直线的方程是( )
A. B.
C.或 D.或
4、直线被圆截得的弦长为( )
A. B.2 C. D.与k的取值有关
5、已知直线被圆截得的弦长为,点是直线l上的任意一点,则的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6、已知直线和圆的交点为A,B,且,则实数a的值为( )
A. B. C. D.
7、若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是( )
A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0
C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0
8、设直线与圆交于A,B两点,则 。
9、直线:与圆:相交,当直线被圆所截得的弦长最短时,直线的方程为___________.
10、已知圆,直线恒过点.
(1)若直线与圆相切,求的方程;
(2)当直线与圆相交于两点,且时,求的方程.
11、已知直线,圆.
(1)求证:不论取什么实数,直线与圆恒相交于两点;
(2)当直线被圆截得的线段最短时,求线段的最短长度及此时的值.
12、已知圆,直线.
(1)证明:直线与圆相交.
(2)设与圆交于两点,若,求直线的倾斜角及其方程.
考点三 、圆上的点到直线距离
1、圆上动点到直线的距离的最小值为( )
B. C. D.
2、圆上到直线的距离为的点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3、已知半径为2的圆经过点,其圆心到直线的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
4、为上一点,为直线上一点,则线段长度的最小值为( )
A. B. C. D.
5、已知点P与点的距离不大于1,则点P到直线的距离最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6、圆:上的点到直线:的最大距离为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
7、已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个,则( )
A. B. C.2 D.
8、已知圆经过原点,则圆上的点到直线距离的最大值为( )
A. B. C. D.
9、已知P是曲线C:上的点,Q是直线上的一点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
10、设曲线上的点到直线的距离的最大值为a,最小值为b,则的值为( )
A. B. C. D.2
11、已知点是曲线上的动点,则点到直线距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
12、已知点是圆上的动点,到直线的距离为,当变化时,的最大值为( )
A. B. C. D.
答案:13、(多选)已知圆上至多有一点到直线的距离为1,则实数m的取值可以是( )
A.0 B.1 C.3 D.5
14、已知点是直线上的动点,点为圆上的动点,则的最小值为( )
A. B.1 C. D.
15、已知点点在圆上运动,点为线段的中点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)求点到直线的距离的最大值和最小值.
考点四、 圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系为( )
A.内切 B.相切 C.相交 D.外离
2、已知圆的方程为,圆的方程为,其中.那么这两个圆的位置关系不可能为( )
A.外离 B.外切 C.内含 D.内切
3、已知两圆分别为圆C1:x2+y2=49和圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0,这两圆的位置关系是( )
A.相离 B.外切 C.内含 D.相交
4、圆与圆的位置关系是( )
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
5、已知圆和圆,那么这两个圆的位置关系是( )
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
6、已知圆与圆相切,则实数的取值个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7、若圆与圆外切,则( )
A.36 B.38 C.48 D.50
8、若圆与圆内切,则 ( )
A. B. C. D.
9、已知圆关于直线对称,圆的标准方程是,则圆与圆的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.内含
10、已知圆与圆没有公共点,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
11、已知圆:和圆:相交于,两点,则直线的方程是______,线段 的长度是______.
12、若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为,则a=________.
13、已知圆与圆相交,则它们交点所在的直线方程为_________.
14、两圆和相交于两点M,N,则线段的长为_________.
15、设圆:和圆:交于,两点,则线段的垂直平分线所在直线的方程为
.考点五、 圆与圆相交弦
【例5】(1)(2021·湖南湘潭市)已知圆与圆相交于两点,则两圆的公共弦( )
B. C. D.2
2、已知圆和圆的公共弦长为,则实数的值为( )
A. B. C. D.
3、圆:与圆:交于、两点,则( )
A.6 B.5 C. D.
4、(多选)已知圆和圆的公共点为,,则( )
A. B.直线的方程是
C. D.
5、(多选)圆和圆的交点为A,B,则有( )
A.公共弦AB所在直线方程为 B.线段AB中垂线方程为
C.公共弦AB的长为 D.P为圆上一动点,则P到直线AB距离的最大值为
考点六 切线及切线长
1、过点作圆的切线,切线的方程为( )
A. B.
C.或 D.或
2、经过点作圆的切线,则切线的方程为
A. B. C. D.
3、由直线上的点向圆作切线,则切线长的最小值为( )
A.1 B. C. D.3
4、已知圆,圆,则两圆的公切线的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5、已知圆与圆,则两圆公切线条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6、圆与圆的公切线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
7、已知圆与圆恰有两条公切线,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.或
8、已知圆,圆,则下列不是,两圆公切线的直线方程为( )
A. B.
C. D.
9、(多选)已知圆,圆,则下列是圆与圆的公切线的直线方程为( )
A. B.
C. D.
10、经过点的圆的切线方程是( )
A. B.
C. D.
11、(多选)过点作圆的切线l,则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
12、过点作圆的切线,若切点为A、,则直线的方程是( )
A. B. C. D.
13、已知P(x,y)是直线kx+y+3=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆C:+2y=0的两条切线,.A、B是切点,若四边形PACB的最小面积是,则k的值为( )
A. B. C. D.
14、过坐标原点O作圆(x﹣2)2+(y﹣3)2=4的两条切线,切点为A,B.直线AB被圆截得弦AB的长度为(   )
A. B. C. D.
15、已知点是直线上一动点,直线是圆的两条切线,为切点,为圆心,则四边形面积的最小值是( )
A.2 B. C. D.4
16、过原点且与圆相切的直线方程为__________
17、过作圆的切线,则其切线方程为____________.
18、已知点是直线()上一动点,、是圆的两条切线,、是切点,若四边形的最小面积是,则______.
考点七、 综合运用
1、已知圆C的圆心在直线上,且过点和点.
(1)求圆C的标准方程;
(2)求过点的圆C的切线方程.
2、已知圆C的圆心坐标为C(3,0),且该圆经过点A(0,4).
(1)求圆C的标准方程;
(2)若点B也在圆C上,且弦AB长为8,求直线AB的方程;
(3)直线l交圆C于M,N两点,若直线AM,AN的斜率之积为2,求证:直线l过一个定点,并求出该定点坐标.
(4)直线l交圆C于M,N两点,若直线AM,AN的斜率之和为0,求证:直线l的斜率是定值,并求出该定值.
3、在平面直角坐标系中,直线x+y+3=0与圆C相切,圆心C的坐标为(1,1).
(1)求圆C的方程;
(2)设直线y=kx+2与圆C没有公共点,求k的取值范围;
(3)设直线y=x+m与圆C交于M,N两点,且OM⊥ON,求m的值.
4、已知直线与圆相交于,不同两点.
(1)若,求的值;
(2)设是圆上的一动点(异于,),为坐标原点,若,求面积的最大值.
5、已知圆C:及点P(0,1),过点P的直线与圆交于A、B两点.
(1)若弦长求直线AB的斜率;
(2)求△ABC面积的最大值,及此时弦长
6、已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的2倍.
(Ⅰ)求点的轨迹方程:
(Ⅱ)若点与点关于点对称,求、两点间距离的最大值;
(Ⅲ)若过点的直线与点的轨迹相交于、两点,,则是否存在直线,使取得最大值,若存在,求出此时的方程,若不存在,请说明理由.
7、已知圆和直线.
(1)证明:不论为何实数,直线都与圆相交于两点;
(2)求直线被圆截得的最短弦长并求此时直线的方程;
(3)已知点在圆C上,求的最大值.
8、已知圆,直线,且直线与圆交于不同的两点,定点的坐标为.
(1)求实数的取值范围;
(2)若两点的中点为,直线与直线的交点为,求证:为定值.
9、已知圆:,是圆内一点,是圆外一点.
(1)是圆中过点最长的弦,是圆中过点最短的弦,求四边形的面积;
(2)过点作直线交圆于、两点,求面积的最大值,并求此时直线的方程.2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点一、 直线与圆的位置关系
1、圆 与直线 的位置关系是( )
相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
答案:C
解析:圆心为,半径圆心到直线的距离为所以直线与圆相离故选:C
2、直线与圆的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都不对
答案:A
解析:圆化为标准方程为,可得圆心为,半径为4,
则圆心到直线的距离,故直线与圆相交.故选:A.
3、直线与圆的公共点个数为 ( )
A.个 B.个 C.个 D.个或个
答案:D
解析:将直线的方程变形为,由,可得,
所以,直线过定点,,即点在圆上,因此,直线与圆相交或相切.
故选:D.
4、若过点的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
答案:C
解析:由题意,易知,直线的斜率存在,设直线的方程为,即
曲线表示圆心,半径为1的圆,
圆心到直线的距离应小于等于半径,
,即,解得.故选:C.
5、已知曲线与直线有两个不同的交点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:曲线整理得,则该曲线表示圆心为,半径为1的圆的上半部分,直线过定点,如图,当时,曲线与直线有两个不同的交点,
由,得或,所以,,所以实数的取值范围是.
故选:A.
6、直线:与圆:的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
答案:A
解析:直线:过定点,因为,则点在圆的内部,∴直线与圆相交,故选:A.
7、已知直线和圆:,则直线与圆的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
答案:A
解析:直线方程整理为,即直线过定点,
而,在圆内,∴直线与圆相交.故选:A.
8、若圆与直线只有一个公共点,则的值为( )
A. B. C. D.
答案:C
解析:因圆与直线只有一个公共点,
则直线与圆切线,圆心到该直线距离为半径1,
即,而,则有,所以的值为2.故选:C
9、若直线与曲线有公共点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:根据题意,y,变形可得x2+y2=1(),为圆x2+y2=1的下半部分,
若直线x+y﹣b=0与曲线y有公共点,则当直线经过点A时,直线x+y﹣b=0与曲线y有公共点
此时b=1,将直线向下平移至直线与曲线相切时,有1,解可得b=±,又由b<0,
则b,则b的取值范围为;故选:B.
10、(多选)已知圆,直线.则下列选项正确的是( )
A.直线恒过定点 B.直线与圆C的位置可能相交、相切和相离
C.直线被圆C截得的最短弦长为12 D.直线被圆C截得的最短弦长对应的k值为
答案:AD
解析:由直线得,
所以直线过定点,故A选项正确;
此时将点代入圆得,
所以点在圆内,故直线与圆C的位置是相交,故B选项错误;
当直线与过点和圆心的直线垂直时,直线被圆C截得的弦长最短,为,此时直线的斜率为,故C选项错误,D选项正确.故选:AD
考点二、直线与圆的弦长
1、直线被圆截得的弦长为( )
A.1 B.2 C. D.
答案:B
解析:圆的标准方程为,圆心为,半径为,
所以圆心到直线的距离,所以弦长,故选:B .
2、直线被圆截得的弦长为( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:圆的圆心到直线的距离为:.即圆心过直线直线被圆截得的弦长等于圆的直径:.故选:.
3、已知过点的直线被圆截得的弦长为,则直线的方程是( )
A. B.
C.或 D.或
答案:D
解析:圆的圆心为点,半径为,圆心到直线的距离为.
①若直线的斜率不存在,则直线的方程为,此时圆心到直线的距离为,合乎题意;
②若直线的斜率存在,可设直线的方程为,即,
圆心到直线的距离为,解得.
此时直线的方程为.
综上所述,直线的方程为或.
故选:D.
4、直线被圆截得的弦长为( )
A. B.2 C. D.与k的取值有关
答案:A
解析:由于圆的圆心在直线上,
所以截得弦为圆的直径,又其半径为,故截得的弦长为.故选:A
5、已知直线被圆截得的弦长为,点是直线l上的任意一点,则的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:A
解析:圆的圆心为,半径为,圆心到直线的距离,
所以的最小值为.故选:A
6、已知直线和圆的交点为A,B,且,则实数a的值为( )
A. B. C. D.
答案:C
解析:由得,即圆心,半径,
因为,所以直线过圆心,即,解得,故选:C
7、若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是( )
A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0
C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0
答案:A
解析:圆(x-1)2+y2=25的圆心为M(1,0).
因为直线MP与AB垂直,所以kAB=-=-=1.又因为直线AB过点P(2,-1),
所以直线AB方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.故选:A
8、设直线与圆交于A,B两点,则 。
答案:
解析:圆的圆心为 则圆心到直线的距离为
所以故选:B
9、直线:与圆:相交,当直线被圆所截得的弦长最短时,直线的方程为___________.
答案:
解析:直线可化为,可得直线过定点,
又由圆,可得圆心坐标为,半径为,
根据圆的性质,可得当时,此时直线被圆所截得的弦长最短,
因为,所以直线的斜率为,
代入直线,可得,
即直线的方程为.故答案为:
10、已知圆,直线恒过点.
(1)若直线与圆相切,求的方程;
(2)当直线与圆相交于两点,且时,求的方程.
答案:(1)或;(2)或.
解析:(1)由题意知,圆的圆心为,半径为;
①当直线的斜率不存在时,即的方程为时,此时,直线与圆相切,符合题意; .
②当直线的斜率存在时,设斜率为,则直线为,化为一般式:,
∴若直线与圆相切,则,整理得,解得,
,即,
综上:当直线与圆相切,的方程为:或
(2)由题意知,直线的斜率一定存在,由(1)可设直线为,
设圆心到直线的距离为,则,
由垂径定理知:,即,整理得,
或,
的方程为或.
11、已知直线,圆.
(1)求证:不论取什么实数,直线与圆恒相交于两点;
(2)当直线被圆截得的线段最短时,求线段的最短长度及此时的值.
答案:(1)证明见解析;(2),.
解析:(1)直线,必过直线与直线的交点.联立方程,解得,所以直线过定点.
,即点在圆内,
直线与圆C恒相交于两点.
(2)当直线被圆截得的线段最短时,直线垂直.
,直线l的斜率,则,解得.
此时,弦长.
12、已知圆,直线.
(1)证明:直线与圆相交.
(2)设与圆交于两点,若,求直线的倾斜角及其方程.
答案:(1)证明见解析;(2)答案见解析.
解析:(1)证明:直线过定点,
因为,所以点在圆的内部,故直线与圆相交.
(2)圆的标准方程为,
则圆的圆心坐标为,半径为,且圆心到直线的距离
因为,所以由,得
当时﹐直线的方程为,倾斜角为
当时﹐直线的方程为,倾斜角为
考点三 、圆上的点到直线距离
1、圆上动点到直线的距离的最小值为( )
B. C. D.
答案:A
解析:∵圆,∴圆心,半径,
∴圆心到直线的距离,∴圆上的点到
直线的距离最小值为,故选:A.
2、圆上到直线的距离为的点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案:C
解析:由题知,圆心到直线的距离为,
则直线l与圆相交,由圆的半径为2知,圆上到直线的距离为1的点有3个.故选:C
3、已知半径为2的圆经过点,其圆心到直线的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:半径为2的圆经过点,设圆心坐标为,则圆的方程为
所以该圆的圆心的轨迹是以为圆心,2为半径的圆故圆心到直线的距离的最小值为点到直线的距离减半径,即故选:B
4、为上一点,为直线上一点,则线段长度的最小值为( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:圆的标准方程为,圆心为,半径,
则圆心到直线的距离为,
所以圆上的点到直线上的点的最小距离,故选:A.
5、已知点P与点的距离不大于1,则点P到直线的距离最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案:B
解析:设点,则,
圆心到的距离为
则点P到直线的距离最小值为 故选:B
6、圆:上的点到直线:的最大距离为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案:B
解析:由题意,圆心到直线的距离,
所以,圆上的点到直线的最大距离是,故选:B.
7、已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个,则( )
A. B. C.2 D.
答案:A
解析:圆圆心,
则圆心直线的距离,
要想圆上到直线的距离为的点恰有一个,
由图得:.故选:A.
8、已知圆经过原点,则圆上的点到直线距离的最大值为( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:
如图:圆心为,经过原点,可得
则圆心在单位圆上,原点到直线的距离为
延长BO交于点C,以C为圆心,OC为半径作圆C,BC延长线交圆C于点D,
当圆心在C处时,点到直线的距离最大为
此时,圆上点D到直线的距离最大为故选:B
9、已知P是曲线C:上的点,Q是直线上的一点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:,∴曲线是圆心为,半径的左半圆,曲线上的点到到直线的最小距离为原点到直线的距离,故选:D.
10、设曲线上的点到直线的距离的最大值为a,最小值为b,则的值为( )
A. B. C. D.2
答案:C
解析:由题意,圆的圆心坐标为,半径为,
可得圆心到直线的距离为,
所以,,所以.故选:C.
11、已知点是曲线上的动点,则点到直线距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:由可得,则,在等式两边平方并整理得,
所以,曲线为圆的上半圆,该圆的半径为,
作出曲线与直线的图象如下图所示:
原点到直线的距离为,
设点到直线的距离为,
当点的坐标为,取最小值,即,
由图象可知,,
因此,点到直线的距离的取值范围是.故选:D.
12、已知点是圆上的动点,到直线的距离为,当变化时,的最大值为( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:设直线,圆的圆心为
由圆可得
所以圆的圆心为,半径为
直线恒过定点,又点在圆内.
所以点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径.
当时,圆心到直线的距离最大,此时
所以点到直线的距离的最大值为 故选:D
13、(多选)已知圆上至多有一点到直线的距离为1,则实数m的取值可以是( )
A.0 B.1 C.3 D.5
答案:BC
解析:圆化为标准方程为,
则圆心为,半径,其中,
圆上至多有一点到直线的距离为1,
圆上的点到直线的最近距离大于等于1,
其中圆心到直线的距离为,
,解得,,则m的取值可以是1或3.故选:BC.
14、已知点是直线上的动点,点为圆上的动点,则的最小值为( )
A. B.1 C. D.
答案:A
解析:的最小值为 ,选A.
15、已知点点在圆上运动,点为线段的中点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)求点到直线的距离的最大值和最小值.
答案:(1);(2)最大值为,最小值为.
解析:(1)因为点是的中点,,即
又,即.所以点的轨迹方程为.
(2)由(1)知点的轨迹是以为圆心,1为半径的圆.
圆心到直线的距离.
所以点到直线的距离的最大值为,最小值为.
考点四、 圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系为( )
A.内切 B.相切 C.相交 D.外离
答案:C
解析:圆的圆心为,半径,
圆的圆心为,半径,
所以,所以两圆相交,故选:C
2、已知圆的方程为,圆的方程为,其中.那么这两个圆的位置关系不可能为( )
A.外离 B.外切 C.内含 D.内切
答案:C
解析:由两圆的标准方程可得,,,;
则,所以两圆不可能内含.故选:C.
3、已知两圆分别为圆C1:x2+y2=49和圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0,这两圆的位置关系是( )
A.相离 B.外切 C.内含 D.相交
答案:D
解析:圆C1:x2+y2=49,圆心为 ,半径 ,
圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0,圆心为 ,半径 ,
两圆圆心之间距离为5, ,故两圆相交,故选:D
4、圆与圆的位置关系是( )
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
答案:D
解析:圆的圆心为,半径为,圆的圆心为,半径为,
,因此,两圆内切.故选:D.
5、已知圆和圆,那么这两个圆的位置关系是( )
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
答案:C
解析:由已知的,
所以,,
所以,故两圆相交.故选:C.
6、已知圆与圆相切,则实数的取值个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
解析:设的圆心为,半径,
的圆心为,半径,
当两圆外切时,有,即,解得或,
当两圆内切时,有,即,解得,
综上所述,,或,或.故选:C.
7、若圆与圆外切,则( )
A.36 B.38 C.48 D.50
答案:C
解析:依题意,圆,圆,故,解得,故选C.
8、若圆与圆内切,则 ( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:易见点在圆的外部,由两圆内切可知,圆为大圆,两圆的圆心距等于两圆半径之差,而大圆半径为r,小圆半径为,圆心距为,所以,故. 故选:A.
9、已知圆关于直线对称,圆的标准方程是,则圆与圆的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.内含
答案:B
解析:即,圆心,
因为圆关于直线对称,所以圆心在直线上,
即,解得,,圆心,半径为,
,圆心,半径为,
圆心间距离为,
因为圆心间距离等于两圆半径之和,所以圆与圆的位置关系是相切,
故选:B.
10、已知圆与圆没有公共点,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案:C
解析:圆的圆心为,圆的圆心为,半径
圆心距
因为两圆没有公共点,所以两圆的位置关系为外离或者内含
则或,即或解得或故选:C
11、已知圆:和圆:相交于,两点,则直线的方程是______,线段 的长度是______.
答案:
解析:①,②,
两式相减得:,即,由:得:
则圆心,, 圆心到直线的距离
所以故答案为:,
12、若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为,则a=________.
答案:1
解析:将两圆的方程相减,得相交弦所在的直线方程为.圆的圆心为,半径为.到直线的距离为:,解得.故答案为:
13、已知圆与圆相交,则它们交点所在的直线方程为_________.
答案:
解析:,即,
,即,两式相减得:.故答案为:.
14、两圆和相交于两点M,N,则线段的长为_________.
答案:
解析:联立,①②可得,即
圆的圆心到直线的距离
∴线段的长为.故答案为:.
15、设圆:和圆:交于,两点,则线段的垂直平分线所在直线的方程为
答案:
解析:由题意知:,且垂直平分,
∴线段的垂直平分线所在直线必过,故直线的方程为,整理得.
考点五、 圆与圆相交弦
【例5】(1)(2021·湖南湘潭市)已知圆与圆相交于两点,则两圆的公共弦( )
B. C. D.2
答案:A
解析:(1)圆与圆相减得所在的直线方程:.∵圆的圆心,,
圆心到直线:的距离,
则.故选A
2、已知圆和圆的公共弦长为,则实数的值为( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:圆的圆心,半径,
圆即,圆心,半径,
圆和圆的公共弦方程为,即,
圆心到的距离为,
因为公共弦长为,所以,解得或(舍去),故选:A.
3、圆:与圆:交于、两点,则( )
A.6 B.5 C. D.
答案:D
解析:圆的半径,圆的半径,,
故在中,,
故.
故选:D
4、(多选)已知圆和圆的公共点为,,则( )
A. B.直线的方程是
C. D.
答案:ABD
解析:圆的圆心是,半径,圆,圆心,,
,故A正确;
两圆相减就是直线的方程,两圆相减得,故B正确;
,,,,所以不正确,故C不正确;
圆心到直线的距离,,故D正确.
故选:ABD
5、(多选)圆和圆的交点为A,B,则有( )
A.公共弦AB所在直线方程为 B.线段AB中垂线方程为
C.公共弦AB的长为 D.P为圆上一动点,则P到直线AB距离的最大值为
答案:ABD
解析:对于A,由圆与圆的交点为A,B,
两式作差可得,
即公共弦AB所在直线方程为,故A正确;
对于B,圆的圆心为,,
则线段AB中垂线斜率为,
即线段AB中垂线方程为:,整理可得,故B正确;
对于C,圆,圆心到的距离为
,半径
所以,故C不正确;
对于D,P为圆上一动点,圆心到的距离为
,半径,即P到直线AB距离的最大值为,故D正确.故选:ABD
考点六 切线及切线长
1、过点作圆的切线,切线的方程为( )
A. B.
C.或 D.或
答案:D
解析:圆的圆心为,半径,过点作圆的切线,当直线的斜率不存在时,直线方程为,满足条件,
当直线的斜率存在时,设斜率为,则直线方程为,即,则,解得,故切线方程为,
综上可得切线方程为或故选:D
2、经过点作圆的切线,则切线的方程为
A. B. C. D.
答案:A
解析:因为点在圆上,所以,因此切线斜率为2,故切线方程为,整理得
3、由直线上的点向圆作切线,则切线长的最小值为( )
A.1 B. C. D.3
答案:B
解析:切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得,
圆心到直线的距离为,
圆的半径为1,故切线长的最小值为,故选:B.
4、已知圆,圆,则两圆的公切线的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
解析:因为圆,圆,
所以, ,所以,
所以两圆相交,所以两圆的公切线的条数为2,故选:B
5、已知圆与圆,则两圆公切线条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
解析:圆,即,圆心,半径;圆,即,圆心,半径,所以圆心距,,所以两圆相交,故有两条公切线,故选:B
6、圆与圆的公切线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案:B
解析:圆的圆心为,半径,
圆的圆心为,半径,
由于圆心距,满足:,
故两圆相交,故而可得两圆公切线的条数为2条,故选:B.
7、已知圆与圆恰有两条公切线,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.或
答案:D
解析:由题可得圆的圆心为,半径为,圆的圆心为,半径为,
两圆恰有两条公切线,两圆相交,,

,解得或.故选:D.
8、已知圆,圆,则下列不是,两圆公切线的直线方程为( )
A. B.
C. D.
答案:D
解析:由题意,圆的圆心坐标为,半径为
圆的圆心坐标为,半径为
如图所示,两圆相离,有四条公切线.
两圆心坐标关于原点对称,则有两条切线过原点,
设切线,则圆心到直线的距离,解得或,
另两条切线与直线平行且相距为1,又由,
设切线,则,解得,
结合选项,可得D不正确.
故选:D.
9、(多选)已知圆,圆,则下列是圆与圆的公切线的直线方程为( )
A. B.
C. D.
答案:ABC
解析:, 半径 , 两圆相离,有四条公切线
两圆心坐标关于原点对称,则有两条切线过原点,
设切线, 则圆心到直线的距离 , 解得 或 ,
另两条切线与直线平行且相距为1,,
设切线 , 则 ,解得.
所以只有项不正确(也可以不计算,通过斜率即可排除D)
故选:ABC
10、经过点的圆的切线方程是( )
A. B.
C. D.
答案:D
解析:(1),在圆上,且,
过的切线斜率为.
过的切线方程为:,即.选:D.
11、(多选)过点作圆的切线l,则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
答案:BC
解析:
圆心到直线距离等于1,所以直线l的方程可以为
当直线l的斜率存在时,设
所以故选:BC
12、过点作圆的切线,若切点为A、,则直线的方程是( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:根据题意,设,圆的圆心为,半径,
有,
则,
则以为圆心,为半径为圆为,即,
公共弦所在的直线即直线,
则,变形可得;
即直线的方程是;故选:B.
13、已知P(x,y)是直线kx+y+3=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆C:+2y=0的两条切线,.A、B是切点,若四边形PACB的最小面积是,则k的值为( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:圆的圆心,半径是,
由圆的性质知:,四边形的最小面积是,
的最小值是切线长).
所以|PC|的最小值为,
所以
故选:.
14、过坐标原点O作圆(x﹣2)2+(y﹣3)2=4的两条切线,切点为A,B.直线AB被圆截得弦AB的长度为(   )
A. B. C. D.
答案:B
解析:如图所示,易得,故 .
故选:B
15、已知点是直线上一动点,直线是圆的两条切线,为切点,为圆心,则四边形面积的最小值是( )
A.2 B. C. D.4
答案:A
解析:圆即,表示以C(0,-1)为圆心,以1为半径的圆.
由于四边形PACB面积等于,而.
故当PC最小时,四边形PACB面积最小.
又PC的最小值等于圆心C到直线的距离d,而,
故四边形PACB面积的最小的最小值为,故选A.
16、过原点且与圆相切的直线方程为__________
答案:或
解析:由圆的圆心为,半径,
故过原点的切线斜率不存在时,其切线方程为,
当切线斜率存在时,可设直线方程为,
由圆心到直线的距离,
解得,切线方程为,
故答案为:或.
17、过作圆的切线,则其切线方程为____________.
答案:或
解析:圆的圆心为,半径为1,
(1)当过点的直线垂直于轴时,
此时直线斜率不存在,方程是,
圆心到直线的距离为,
直线符合题意;
(2)当过点的直线不垂直于轴时,
设直线方程为,即.
直线是的切线,
点到直线的距离为,解之得,
此时直线方程为.
切线方程为或.
故答案为:或.
18、已知点是直线()上一动点,、是圆的两条切线,、是切点,若四边形的最小面积是,则______.
答案:2
解析:圆的圆心为,半径为,
由圆的性质可知,四边形的面积,
又四边形的最小面积是2,则的最小值为,
则,
因为,所以当取最小值时,最小;
又点是直线上的动点,
当垂直于直线时,最小,即为圆心到直线的距离;
所以,解得,
因为,所以.故答案为:.
考点七、 综合运用
1、已知圆C的圆心在直线上,且过点和点.
(1)求圆C的标准方程;
(2)求过点的圆C的切线方程.
答案:(1);(2)
解析:(1)设圆的方程为,圆心为,
则,解得,
故方程为,化为标准方程为;
(2)由(1)可知圆心为,半径为,
可得在圆上,
,切线的斜率为3,
故切线方程为,即.
2、已知圆C的圆心坐标为C(3,0),且该圆经过点A(0,4).
(1)求圆C的标准方程;
(2)若点B也在圆C上,且弦AB长为8,求直线AB的方程;
(3)直线l交圆C于M,N两点,若直线AM,AN的斜率之积为2,求证:直线l过一个定点,并求出该定点坐标.
(4)直线l交圆C于M,N两点,若直线AM,AN的斜率之和为0,求证:直线l的斜率是定值,并求出该定值.
答案:(1)(x﹣3)2+y2=25;(2)x=0或7x+24y﹣96=0;
(3)证明见解析,(﹣6,﹣12);(4)证明见解析,.
解析:(1)圆以为圆心,为半径,
所以圆的标准方程为.
(2)①不存在时,直线的方程为:,,满足题意;
②存在时,设直线的方程为:,

所以直线的方程为:,
综上所述,直线的方程为或.
(3)设直线:,,,

联立方程,
所以,代入①
得,
化简得,所以直线的方程为:,所以过定点.
(4)设直线AM:y=kx+4,联立方程,
所以M点的坐标为,
同理N点的坐标为.
所以,
故直线l的斜率是定值,且为.
3、在平面直角坐标系中,直线x+y+3=0与圆C相切,圆心C的坐标为(1,1).
(1)求圆C的方程;
(2)设直线y=kx+2与圆C没有公共点,求k的取值范围;
(3)设直线y=x+m与圆C交于M,N两点,且OM⊥ON,求m的值.
答案:(1);(2);(3).
解析:(1)∵直线与圆C相切,且圆心C的坐标为,
∴圆C的半径,
则圆C的方程为;
(2)∵直线y=kx+2与圆C没有公共点,
∴点到直线的距离,解得,
∴k的取值范围为;
(3)联立,得,
由,解得,
设,
则,
∵,∴,
即,
∴,解得,符合题意,
∴.
4、已知直线与圆相交于,不同两点.
(1)若,求的值;
(2)设是圆上的一动点(异于,),为坐标原点,若,求面积的最大值.
答案:(1)或2;(2)最大值为.
解析:(1)∵直线与圆交于两点,∴,解得,
∵,∴或2.
(2)设,,
将代入方程,
整理得,
∴,,,

由题设可得,解得,由(1)知,
所以直线的方程为,
可知圆心在直线上,∴是圆的直经,且,
∵是圆上的一动点(异于,),∴到直线的最大距离即为半径为1,
∴面积的最大值为.
5、已知圆C:及点P(0,1),过点P的直线与圆交于A、B两点.
(1)若弦长求直线AB的斜率;
(2)求△ABC面积的最大值,及此时弦长
答案:(1)斜率为0或 ;(2) △ABC面积的最大值为, .
解析:(1) 圆C的圆心坐标为,半径为3, 由垂径定理及勾股定理可知:圆心到直线直线AB的距离,设直线AB的斜率为,则方程为,由点到直线距离公式可得:,
解得或;
(2)设、圆心到直线的距离,根据垂径定理、勾股定理可知:,,当且仅当取等号,此时,
所以求△ABC面积的最大值为, .
6、已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的2倍.
(Ⅰ)求点的轨迹方程:
(Ⅱ)若点与点关于点对称,求、两点间距离的最大值;
(Ⅲ)若过点的直线与点的轨迹相交于、两点,,则是否存在直线,使取得最大值,若存在,求出此时的方程,若不存在,请说明理由.
答案:(1) .(2) .
(3)存在直线的方程为或.
解析:(1)由已知,,
∴,即,
(2)设,因为点与点关于点对称,
则点坐标为,
∵点在圆上运动,∴点的轨迹方程为,
即:,

(3)由题意知的斜率一定存在,设直线的斜率为,且,,
则,
联立方程:,
∴,
又∵直线不经过点,则.
∵点到直线的距离,,
∴,
∵,
∴当时,取得最大值2,此时,,
∴直线的方程为或.
7、已知圆和直线.
(1)证明:不论为何实数,直线都与圆相交于两点;
(2)求直线被圆截得的最短弦长并求此时直线的方程;
(3)已知点在圆C上,求的最大值.
答案:(1)证明见解析(2),(3)
解析:(1)由得,
由,得,即直线经过定点,
因为,所以点在圆内,
所以不论为何实数,直线都与圆相交于两点.
(2)由可知,圆心,半径为,
设,设圆心到直线的距离为,则,
当且仅当时,圆心到直线的距离为最大,此时直线被圆截得的弦长最短,最短弦长为,因为,所以直线的斜率为,
所以直线的方程为,即.
(3)设坐标原点为,则,所以,
所以的最大值为.
8、已知圆,直线,且直线与圆交于不同的两点,定点的坐标为.
(1)求实数的取值范围;
(2)若两点的中点为,直线与直线的交点为,求证:为定值.
答案:(1)(2)10
解析:(1)因为圆与直线与交于不同的两点,
所以,即,解得或
(2)由可得
由可得
设两点横坐标分别为,则

所以
9、已知圆:,是圆内一点,是圆外一点.
(1)是圆中过点最长的弦,是圆中过点最短的弦,求四边形的面积;
(2)过点作直线交圆于、两点,求面积的最大值,并求此时直线的方程.
答案:(1);(2),.
解析:(1)过最长的弦为直径,最短的弦为垂直于的弦,
圆的半径,,
所以,,
所以.
(2),,
当时,面积的最大值为,
此时,到的距离为2,所以的倾斜角为或,
则的斜率为,所以,的方程为.