2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点一、 直线与圆的位置关系
1、圆 与直线 的位置关系是（ ）
相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2、直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对
3、直线与圆的公共点个数为 （ ）
A．个 B．个 C．个 D．个或个
4、若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5、已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6、直线：与圆：的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
7、已知直线和圆：，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
8、若圆与直线只有一个公共点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9、若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10、（多选）已知圆，直线．则下列选项正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线与圆C的位置可能相交、相切和相离
C．直线被圆C截得的最短弦长为12 D．直线被圆C截得的最短弦长对应的k值为
考点二、直线与圆的弦长
1、直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2、直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
3、已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
4、直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．与k的取值有关
5、已知直线被圆截得的弦长为，点是直线l上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6、已知直线和圆的交点为A，B，且，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
7、若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
8、设直线与圆交于A，B两点，则 。
9、直线：与圆：相交，当直线被圆所截得的弦长最短时，直线的方程为___________.
10、已知圆，直线恒过点.
（1）若直线与圆相切，求的方程；
（2）当直线与圆相交于两点，且时，求的方程.
11、已知直线，圆．
（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒相交于两点；
（2）当直线被圆截得的线段最短时，求线段的最短长度及此时的值．
12、已知圆，直线.
（1）证明：直线与圆相交.
（2）设与圆交于两点，若，求直线的倾斜角及其方程.
考点三 、圆上的点到直线距离
1、圆上动点到直线的距离的最小值为（ ）
B． C． D．
2、圆上到直线的距离为的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4、为上一点，为直线上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5、已知点P与点的距离不大于1，则点P到直线的距离最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6、圆：上的点到直线：的最大距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7、已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个，则（ ）
A． B． C．2 D．
8、已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9、已知P是曲线C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10、设曲线上的点到直线的距离的最大值为a，最小值为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
11、已知点是曲线上的动点，则点到直线距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12、已知点是圆上的动点，到直线的距离为，当变化时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
答案：13、（多选）已知圆上至多有一点到直线的距离为1，则实数m的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
14、已知点是直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
15、已知点点在圆上运动，点为线段的中点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求点到直线的距离的最大值和最小值.
考点四、 圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相切 C．相交 D．外离
2、已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ）
A．外离 B．外切 C．内含 D．内切
3、已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝49和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．内含 D．相交
4、圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
5、已知圆和圆，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
6、已知圆与圆相切，则实数的取值个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7、若圆与圆外切，则（ ）
A．36 B．38 C．48 D．50
8、若圆与圆内切，则 （ ）
A． B． C． D．
9、已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
10、已知圆与圆没有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11、已知圆：和圆：相交于，两点，则直线的方程是______，线段 的长度是______.
12、若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为，则a＝________.
13、已知圆与圆相交，则它们交点所在的直线方程为_________.
14、两圆和相交于两点M，N，则线段的长为_________．
15、设圆：和圆：交于，两点，则线段的垂直平分线所在直线的方程为
.考点五、 圆与圆相交弦
【例5】（1）（2021·湖南湘潭市）已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦（ ）
B． C． D．2
2、已知圆和圆的公共弦长为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3、圆：与圆：交于、两点，则（ ）
A．6 B．5 C． D．
4、（多选）已知圆和圆的公共点为，，则（ ）
A． B．直线的方程是
C． D．
5、（多选）圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为 B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为 D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
考点六 切线及切线长
1、过点作圆的切线，切线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
2、经过点作圆的切线，则切线的方程为
A． B． C． D．
3、由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
4、已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5、已知圆与圆，则两圆公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6、圆与圆的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7、已知圆与圆恰有两条公切线，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
8、已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
9、（多选）已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
10、经过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
11、（多选）过点作圆的切线l，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
12、过点作圆的切线，若切点为A、，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
13、已知P（x，y）是直线kx+y+3=0（k>0）上一动点，PA，PB 是圆C：+2y=0的两条切线，.A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
14、过坐标原点O作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4的两条切线，切点为A，B．直线AB被圆截得弦AB的长度为（ ）
A． B． C． D．
15、已知点是直线上一动点，直线是圆的两条切线，为切点，为圆心，则四边形面积的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．4
16、过原点且与圆相切的直线方程为__________
17、过作圆的切线，则其切线方程为____________.
18、已知点是直线（）上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则______．
考点七、 综合运用
1、已知圆C的圆心在直线上，且过点和点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点的圆C的切线方程．
2、已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点B也在圆C上，且弦AB长为8，求直线AB的方程；
（3）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标．
（4）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线l的斜率是定值，并求出该定值．
3、在平面直角坐标系中，直线x+y+3＝0与圆C相切，圆心C的坐标为(1,1)．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线y＝kx+2与圆C没有公共点，求k的取值范围；
（3）设直线y＝x+m与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．
4、已知直线与圆相交于，不同两点.
（1）若，求的值；
（2）设是圆上的一动点(异于，)，为坐标原点，若，求面积的最大值.
5、已知圆C:及点P(0,1),过点P的直线与圆交于A、B两点.
(1)若弦长求直线AB的斜率；
(2)求△ABC面积的最大值,及此时弦长
6、已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的2倍.
（Ⅰ）求点的轨迹方程：
（Ⅱ）若点与点关于点对称，求、两点间距离的最大值；
（Ⅲ）若过点的直线与点的轨迹相交于、两点，，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由.
7、已知圆和直线.
（1）证明：不论为何实数，直线都与圆相交于两点；
（2）求直线被圆截得的最短弦长并求此时直线的方程；
（3）已知点在圆C上，求的最大值.
8、已知圆，直线，且直线与圆交于不同的两点，定点的坐标为.
（1）求实数的取值范围；
（2）若两点的中点为，直线与直线的交点为，求证：为定值.
9、已知圆：，是圆内一点，是圆外一点．
（1）是圆中过点最长的弦，是圆中过点最短的弦，求四边形的面积；
（2）过点作直线交圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点一、 直线与圆的位置关系
1、圆 与直线 的位置关系是（ ）
相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
答案：C
解析：圆心为，半径圆心到直线的距离为所以直线与圆相离故选：C
2、直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对
答案：A
解析：圆化为标准方程为，可得圆心为，半径为4，
则圆心到直线的距离，故直线与圆相交.故选：A.
3、直线与圆的公共点个数为 （ ）
A．个 B．个 C．个 D．个或个
答案：D
解析：将直线的方程变形为，由，可得，
所以，直线过定点，，即点在圆上，因此，直线与圆相交或相切.
故选：D.
4、若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：由题意，易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即
曲线表示圆心，半径为1的圆，
圆心到直线的距离应小于等于半径，
，即，解得.故选：C.
5、已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线过定点，如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点，
由，得或，所以，，所以实数的取值范围是.
故选：A．
6、直线：与圆：的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
答案：A
解析：直线：过定点，因为，则点在圆的内部，∴直线与圆相交，故选：A.
7、已知直线和圆：，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
答案：A
解析：直线方程整理为，即直线过定点，
而，在圆内，∴直线与圆相交．故选：A．
8、若圆与直线只有一个公共点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：因圆与直线只有一个公共点，
则直线与圆切线，圆心到该直线距离为半径1，
即，而，则有，所以的值为2.故选：C
9、若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：根据题意，y，变形可得x2+y2＝1（），为圆x2+y2＝1的下半部分，
若直线x+y﹣b＝0与曲线y有公共点，则当直线经过点A时，直线x+y﹣b＝0与曲线y有公共点
此时b＝1，将直线向下平移至直线与曲线相切时，有1，解可得b＝±，又由b<0，
则b，则b的取值范围为；故选：B．
10、（多选）已知圆，直线．则下列选项正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线与圆C的位置可能相交、相切和相离
C．直线被圆C截得的最短弦长为12 D．直线被圆C截得的最短弦长对应的k值为
答案：AD
解析：由直线得，
所以直线过定点，故A选项正确；
此时将点代入圆得，
所以点在圆内，故直线与圆C的位置是相交，故B选项错误；
当直线与过点和圆心的直线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，为，此时直线的斜率为，故C选项错误，D选项正确.故选：AD
考点二、直线与圆的弦长
1、直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
答案：B
解析：圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离，所以弦长，故选：B .
2、直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：圆的圆心到直线的距离为：．即圆心过直线直线被圆截得的弦长等于圆的直径：．故选：．
3、已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
答案：D
解析：圆的圆心为点，半径为，圆心到直线的距离为.
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
②若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得.
此时直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
故选：D.
4、直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．与k的取值有关
答案：A
解析：由于圆的圆心在直线上，
所以截得弦为圆的直径，又其半径为，故截得的弦长为.故选：A
5、已知直线被圆截得的弦长为，点是直线l上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：A
解析：圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，
所以的最小值为.故选：A
6、已知直线和圆的交点为A，B，且，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：由得，即圆心，半径，
因为，所以直线过圆心，即，解得，故选：C
7、若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
答案：A
解析：圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为M(1，0)．
因为直线MP与AB垂直，所以kAB＝－＝－＝1.又因为直线AB过点P(2，－1)，
所以直线AB方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.故选：A
8、设直线与圆交于A，B两点，则 。
答案：
解析：圆的圆心为 则圆心到直线的距离为
所以故选：B
9、直线：与圆：相交，当直线被圆所截得的弦长最短时，直线的方程为___________.
答案：
解析：直线可化为，可得直线过定点，
又由圆，可得圆心坐标为，半径为，
根据圆的性质，可得当时，此时直线被圆所截得的弦长最短，
因为，所以直线的斜率为，
代入直线，可得，
即直线的方程为.故答案为：
10、已知圆，直线恒过点.
（1）若直线与圆相切，求的方程；
（2）当直线与圆相交于两点，且时，求的方程.
答案：（1）或；（2）或.
解析：（1）由题意知，圆的圆心为，半径为；
①当直线的斜率不存在时，即的方程为时，此时，直线与圆相切，符合题意； .
②当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线为，化为一般式：，
∴若直线与圆相切，则，整理得，解得，
，即，
综上：当直线与圆相切，的方程为：或
（2）由题意知，直线的斜率一定存在，由（1）可设直线为，
设圆心到直线的距离为，则，
由垂径定理知：，即，整理得，
或，
的方程为或.
11、已知直线，圆．
（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒相交于两点；
（2）当直线被圆截得的线段最短时，求线段的最短长度及此时的值．
答案：（1）证明见解析；（2），.
解析：（1）直线，必过直线与直线的交点．联立方程，解得，所以直线过定点．
，即点在圆内，
直线与圆C恒相交于两点.
（2）当直线被圆截得的线段最短时，直线垂直．
，直线l的斜率，则，解得．
此时，弦长.
12、已知圆，直线.
（1）证明：直线与圆相交.
（2）设与圆交于两点，若，求直线的倾斜角及其方程.
答案：（1）证明见解析；（2）答案见解析.
解析：（1）证明：直线过定点，
因为，所以点在圆的内部，故直线与圆相交.
（2）圆的标准方程为，
则圆的圆心坐标为，半径为，且圆心到直线的距离
因为，所以由，得
当时﹐直线的方程为，倾斜角为
当时﹐直线的方程为，倾斜角为
考点三 、圆上的点到直线距离
1、圆上动点到直线的距离的最小值为（ ）
B． C． D．
答案：A
解析：∵圆，∴圆心，半径，
∴圆心到直线的距离，∴圆上的点到
直线的距离最小值为，故选：A.
2、圆上到直线的距离为的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
解析：由题知，圆心到直线的距离为，
则直线l与圆相交，由圆的半径为2知，圆上到直线的距离为1的点有3个.故选：C
3、已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：半径为2的圆经过点，设圆心坐标为，则圆的方程为
所以该圆的圆心的轨迹是以为圆心，2为半径的圆故圆心到直线的距离的最小值为点到直线的距离减半径，即故选：B
4、为上一点，为直线上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：圆的标准方程为，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线上的点的最小距离，故选：A．
5、已知点P与点的距离不大于1，则点P到直线的距离最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：B
解析：设点，则，
圆心到的距离为
则点P到直线的距离最小值为 故选：B
6、圆：上的点到直线：的最大距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：B
解析：由题意，圆心到直线的距离，
所以，圆上的点到直线的最大距离是，故选：B.
7、已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个，则（ ）
A． B． C．2 D．
答案：A
解析：圆圆心，
则圆心直线的距离，
要想圆上到直线的距离为的点恰有一个，
由图得：.故选：A.
8、已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：
如图：圆心为，经过原点，可得
则圆心在单位圆上，原点到直线的距离为
延长BO交于点C，以C为圆心，OC为半径作圆C，BC延长线交圆C于点D，
当圆心在C处时，点到直线的距离最大为
此时，圆上点D到直线的距离最大为故选：B
9、已知P是曲线C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：，∴曲线是圆心为，半径的左半圆，曲线上的点到到直线的最小距离为原点到直线的距离，故选:D.
10、设曲线上的点到直线的距离的最大值为a，最小值为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
答案：C
解析：由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
可得圆心到直线的距离为，
所以，，所以.故选：C.
11、已知点是曲线上的动点，则点到直线距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：由可得，则，在等式两边平方并整理得，
所以，曲线为圆的上半圆，该圆的半径为，
作出曲线与直线的图象如下图所示：
原点到直线的距离为，
设点到直线的距离为，
当点的坐标为，取最小值，即，
由图象可知，，
因此，点到直线的距离的取值范围是.故选：D.
12、已知点是圆上的动点，到直线的距离为，当变化时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：设直线，圆的圆心为
由圆可得
所以圆的圆心为，半径为
直线恒过定点，又点在圆内.
所以点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径.
当时，圆心到直线的距离最大，此时
所以点到直线的距离的最大值为 故选：D
13、（多选）已知圆上至多有一点到直线的距离为1，则实数m的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
答案：BC
解析：圆化为标准方程为，
则圆心为，半径，其中，
圆上至多有一点到直线的距离为1，
圆上的点到直线的最近距离大于等于1，
其中圆心到直线的距离为，
，解得，，则m的取值可以是1或3.故选：BC.
14、已知点是直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
答案：A
解析：的最小值为 ,选A.
15、已知点点在圆上运动，点为线段的中点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求点到直线的距离的最大值和最小值.
答案：（1）；（2）最大值为，最小值为.
解析：（1）因为点是的中点，，即
又，即.所以点的轨迹方程为.
（2）由（1）知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.
圆心到直线的距离.
所以点到直线的距离的最大值为，最小值为.
考点四、 圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相切 C．相交 D．外离
答案：C
解析：圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
所以，所以两圆相交，故选：C
2、已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ）
A．外离 B．外切 C．内含 D．内切
答案：C
解析：由两圆的标准方程可得，，，；
则，所以两圆不可能内含.故选：C.
3、已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝49和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．内含 D．相交
答案：D
解析：圆C1：x2＋y2＝49，圆心为 ，半径 ，
圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，圆心为 ，半径 ，
两圆圆心之间距离为5， ，故两圆相交，故选：D
4、圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
答案：D
解析：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
，因此，两圆内切.故选：D.
5、已知圆和圆，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
答案：C
解析：由已知的，
所以，，
所以，故两圆相交.故选：C.
6、已知圆与圆相切，则实数的取值个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
解析：设的圆心为，半径，
的圆心为，半径，
当两圆外切时，有，即，解得或，
当两圆内切时，有，即，解得，
综上所述，，或，或.故选：C.
7、若圆与圆外切，则（ ）
A．36 B．38 C．48 D．50
答案：C
解析：依题意，圆，圆，故，解得，故选C．
8、若圆与圆内切，则 （ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：易见点在圆的外部，由两圆内切可知，圆为大圆，两圆的圆心距等于两圆半径之差，而大圆半径为r，小圆半径为，圆心距为，所以，故. 故选：A.
9、已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
答案：B
解析：即，圆心，
因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，
即，解得，，圆心，半径为，
，圆心，半径为，
圆心间距离为，
因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆与圆的位置关系是相切，
故选：B.
10、已知圆与圆没有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
解析：圆的圆心为，圆的圆心为，半径
圆心距
因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或者内含
则或，即或解得或故选：C
11、已知圆：和圆：相交于，两点，则直线的方程是______，线段 的长度是______.
答案：
解析：①，②，
两式相减得：，即，由：得：
则圆心，， 圆心到直线的距离
所以故答案为：，
12、若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为，则a＝________.
答案：1
解析：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为.圆的圆心为，半径为.到直线的距离为：，解得.故答案为：
13、已知圆与圆相交，则它们交点所在的直线方程为_________.
答案：
解析：，即，
，即，两式相减得：.故答案为：.
14、两圆和相交于两点M，N，则线段的长为_________．
答案：
解析：联立，①②可得，即
圆的圆心到直线的距离
∴线段的长为.故答案为：.
15、设圆：和圆：交于，两点，则线段的垂直平分线所在直线的方程为
答案：
解析：由题意知：，且垂直平分，
∴线段的垂直平分线所在直线必过，故直线的方程为，整理得.
考点五、 圆与圆相交弦
【例5】（1）（2021·湖南湘潭市）已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦（ ）
B． C． D．2
答案：A
解析：（1）圆与圆相减得所在的直线方程：.∵圆的圆心，，
圆心到直线：的距离，
则．故选A
2、已知圆和圆的公共弦长为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：圆的圆心，半径，
圆即，圆心，半径，
圆和圆的公共弦方程为，即，
圆心到的距离为，
因为公共弦长为，所以，解得或（舍去），故选：A.
3、圆：与圆：交于、两点，则（ ）
A．6 B．5 C． D．
答案：D
解析：圆的半径，圆的半径，，
故在中，，
故．
故选：D
4、（多选）已知圆和圆的公共点为，，则（ ）
A． B．直线的方程是
C． D．
答案：ABD
解析：圆的圆心是，半径，圆，圆心，，
，故A正确；
两圆相减就是直线的方程，两圆相减得，故B正确；
，，，，所以不正确，故C不正确；
圆心到直线的距离，，故D正确.
故选：ABD
5、（多选）圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为 B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为 D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
答案：ABD
解析：对于A，由圆与圆的交点为A，B，
两式作差可得，
即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；
对于B，圆的圆心为，，
则线段AB中垂线斜率为，
即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；
对于C，圆，圆心到的距离为
，半径
所以，故C不正确；
对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为
，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.故选：ABD
考点六 切线及切线长
1、过点作圆的切线，切线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
答案：D
解析：圆的圆心为，半径，过点作圆的切线，当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足条件，
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，即，则，解得，故切线方程为，
综上可得切线方程为或故选：D
2、经过点作圆的切线，则切线的方程为
A． B． C． D．
答案：A
解析：因为点在圆上，所以，因此切线斜率为2，故切线方程为，整理得
3、由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
答案：B
解析：切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得，
圆心到直线的距离为，
圆的半径为1，故切线长的最小值为，故选：B．
4、已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
解析：因为圆，圆，
所以， ，所以，
所以两圆相交，所以两圆的公切线的条数为2，故选：B
5、已知圆与圆，则两圆公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
解析：圆，即，圆心，半径；圆，即，圆心，半径，所以圆心距，，所以两圆相交，故有两条公切线，故选：B
6、圆与圆的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案：B
解析：圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
由于圆心距，满足：，
故两圆相交，故而可得两圆公切线的条数为2条，故选：B.
7、已知圆与圆恰有两条公切线，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
答案：D
解析：由题可得圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆恰有两条公切线，两圆相交，，
，
，解得或.故选：D.
8、已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
解析：由题意，圆的圆心坐标为，半径为
圆的圆心坐标为，半径为
如图所示，两圆相离，有四条公切线.
两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，
设切线，则圆心到直线的距离，解得或，
另两条切线与直线平行且相距为1，又由，
设切线，则，解得，
结合选项，可得D不正确.
故选：D.
9、（多选）已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
答案：ABC
解析：, 半径 , 两圆相离，有四条公切线
两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点,
设切线, 则圆心到直线的距离 , 解得 或 ,
另两条切线与直线平行且相距为1,,
设切线 , 则 ,解得.
所以只有项不正确（也可以不计算，通过斜率即可排除D）
故选：ABC
10、经过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
解析：（1），在圆上，且，
过的切线斜率为.
过的切线方程为：，即.选:D.
11、（多选）过点作圆的切线l，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：BC
解析：
圆心到直线距离等于1，所以直线l的方程可以为
当直线l的斜率存在时，设
所以故选：BC
12、过点作圆的切线，若切点为A、，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：根据题意，设，圆的圆心为，半径，
有，
则，
则以为圆心，为半径为圆为，即，
公共弦所在的直线即直线，
则，变形可得；
即直线的方程是；故选：B.
13、已知P（x，y）是直线kx+y+3=0（k>0）上一动点，PA，PB 是圆C：+2y=0的两条切线，.A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：圆的圆心，半径是，
由圆的性质知：，四边形的最小面积是，
的最小值是切线长）.
所以|PC|的最小值为，
所以
故选：．
14、过坐标原点O作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4的两条切线，切点为A，B．直线AB被圆截得弦AB的长度为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：如图所示,易得,故 .
故选：B
15、已知点是直线上一动点，直线是圆的两条切线，为切点，为圆心，则四边形面积的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．4
答案：A
解析：圆即,表示以C(0,-1)为圆心，以1为半径的圆．
由于四边形PACB面积等于，而.
故当PC最小时，四边形PACB面积最小.
又PC的最小值等于圆心C到直线的距离d,而，
故四边形PACB面积的最小的最小值为，故选A.
16、过原点且与圆相切的直线方程为__________
答案：或
解析：由圆的圆心为，半径，
故过原点的切线斜率不存在时，其切线方程为，
当切线斜率存在时，可设直线方程为，
由圆心到直线的距离，
解得，切线方程为，
故答案为：或.
17、过作圆的切线，则其切线方程为____________.
答案：或
解析：圆的圆心为，半径为1，
（1）当过点的直线垂直于轴时，
此时直线斜率不存在，方程是，
圆心到直线的距离为，
直线符合题意；
（2）当过点的直线不垂直于轴时，
设直线方程为，即．
直线是的切线，
点到直线的距离为，解之得，
此时直线方程为．
切线方程为或．
故答案为：或．
18、已知点是直线（）上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则______．
答案：2
解析：圆的圆心为，半径为，
由圆的性质可知，四边形的面积，
又四边形的最小面积是2，则的最小值为，
则，
因为，所以当取最小值时，最小；
又点是直线上的动点，
当垂直于直线时，最小，即为圆心到直线的距离；
所以，解得，
因为，所以．故答案为：.
考点七、 综合运用
1、已知圆C的圆心在直线上，且过点和点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点的圆C的切线方程．
答案：（1）；（2）
解析：（1）设圆的方程为，圆心为，
则，解得，
故方程为，化为标准方程为；
（2）由（1）可知圆心为，半径为，
可得在圆上，
，切线的斜率为3，
故切线方程为，即.
2、已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点B也在圆C上，且弦AB长为8，求直线AB的方程；
（3）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标．
（4）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线l的斜率是定值，并求出该定值．
答案：（1）（x﹣3）2+y2＝25；（2）x＝0或7x+24y﹣96＝0；
（3）证明见解析，（﹣6，﹣12）；（4）证明见解析，.
解析：（1）圆以为圆心，为半径，
所以圆的标准方程为.
（2）①不存在时，直线的方程为：，，满足题意；
②存在时，设直线的方程为：，
，
所以直线的方程为：，
综上所述，直线的方程为或.
（3）设直线：，，，
①
联立方程，
所以，代入①
得，
化简得，所以直线的方程为：，所以过定点.
（4）设直线AM：y＝kx+4，联立方程，
所以M点的坐标为，
同理N点的坐标为．
所以，
故直线l的斜率是定值，且为．
3、在平面直角坐标系中，直线x+y+3＝0与圆C相切，圆心C的坐标为(1,1)．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线y＝kx+2与圆C没有公共点，求k的取值范围；
（3）设直线y＝x+m与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．
答案：（1）；（2）；（3）.
解析：（1）∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为，
∴圆C的半径，
则圆C的方程为；
（2）∵直线y＝kx+2与圆C没有公共点，
∴点到直线的距离，解得，
∴k的取值范围为；
（3）联立，得，
由，解得，
设，
则，
∵，∴，
即，
∴，解得，符合题意，
∴．
4、已知直线与圆相交于，不同两点.
（1）若，求的值；
（2）设是圆上的一动点(异于，)，为坐标原点，若，求面积的最大值.
答案：（1）或2；（2）最大值为.
解析：（1）∵直线与圆交于两点，∴，解得，
∵，∴或2.
（2）设，，
将代入方程，
整理得，
∴，，，
，
由题设可得，解得，由（1）知，
所以直线的方程为，
可知圆心在直线上，∴是圆的直经，且，
∵是圆上的一动点(异于，)，∴到直线的最大距离即为半径为1，
∴面积的最大值为.
5、已知圆C:及点P(0,1),过点P的直线与圆交于A、B两点.
(1)若弦长求直线AB的斜率；
(2)求△ABC面积的最大值,及此时弦长
答案：(1)斜率为0或 ；(2) △ABC面积的最大值为, .
解析：(1) 圆C的圆心坐标为,半径为3, 由垂径定理及勾股定理可知：圆心到直线直线AB的距离,设直线AB的斜率为,则方程为,由点到直线距离公式可得：,
解得或；
(2)设、圆心到直线的距离,根据垂径定理、勾股定理可知：,,当且仅当取等号,此时,
所以求△ABC面积的最大值为, .
6、已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的2倍.
（Ⅰ）求点的轨迹方程：
（Ⅱ）若点与点关于点对称，求、两点间距离的最大值；
（Ⅲ）若过点的直线与点的轨迹相交于、两点，，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由.
答案：(1) .(2) .
(3)存在直线的方程为或．
解析：（1）由已知，，
∴，即，
（2）设，因为点与点关于点对称，
则点坐标为，
∵点在圆上运动，∴点的轨迹方程为,
即：，
；
（3）由题意知的斜率一定存在，设直线的斜率为，且，，
则，
联立方程：，
∴，
又∵直线不经过点，则.
∵点到直线的距离，，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值2，此时，，
∴直线的方程为或.
7、已知圆和直线.
（1）证明：不论为何实数，直线都与圆相交于两点；
（2）求直线被圆截得的最短弦长并求此时直线的方程；
（3）已知点在圆C上，求的最大值.
答案：（1）证明见解析（2），（3）
解析：（1）由得，
由，得，即直线经过定点，
因为，所以点在圆内，
所以不论为何实数，直线都与圆相交于两点.
（2）由可知，圆心，半径为，
设，设圆心到直线的距离为，则，
当且仅当时，圆心到直线的距离为最大，此时直线被圆截得的弦长最短，最短弦长为，因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
（3）设坐标原点为，则，所以，
所以的最大值为.
8、已知圆，直线，且直线与圆交于不同的两点，定点的坐标为.
（1）求实数的取值范围；
（2）若两点的中点为，直线与直线的交点为，求证：为定值.
答案：（1）（2）10
解析：（1）因为圆与直线与交于不同的两点，
所以，即，解得或
（2）由可得
由可得
设两点横坐标分别为，则
得
所以
9、已知圆：，是圆内一点，是圆外一点．
（1）是圆中过点最长的弦，是圆中过点最短的弦，求四边形的面积；
（2）过点作直线交圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
答案：（1）；（2），.
解析：（1）过最长的弦为直径，最短的弦为垂直于的弦，
圆的半径，，
所以，，
所以．
（2），，
当时，面积的最大值为，
此时，到的距离为2，所以的倾斜角为或，
则的斜率为，所以，的方程为．
