活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第四章数列4．3.3　等比数列的前n项和(1)（有答案）

4．3.3　等比数列的前n项和(1)
1. 会用“错位相减法”推导等比数列的前n项和公式，掌握等比数列的前n项和公式，并能运用公式解决一些简单的问题．
2. 会利用公式求等比数列的前n项和以及数列中的某些项．
活动一 探究等比数列的前n项和公式
　　探究：等比数列的前n项和公式．
推倒方法：错位相减.
活动二 掌握等比数列的前n项和公式的应用
例1　在等比数列{an}中，
(1) 已知a1＝－4，公比q＝，求前10项和S10；
(2) 已知a1＝1，ak＝243，q＝3，求前k项和Sk.
在等比数列{an}中，有五个量a1，q，an，n，Sn，根据等比数列的通项公式和前n项和公式，通过联立方程组，可知三求二．
例2　设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝，S6＝，求数列{an}的通项公式．
例3　在等比数列{an}中，
(1) 已知a1＝－1，q＝－，n＝5，求Sn；
(2) 已知a1＝8，q＝，an＝，求Sn；
(3) 已知a1＝，S3＝，求q.
对于等比数列的求和公式，首先要判断q是否为1，然后用公式时要有所选择，如例3(2)中Sn＝；当Sn中n较小时，如例3(3)中，不一定要用求和公式，可直接计算S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)，这样免得讨论q是否为1.
　已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a2，a8，a5成等差数列．
(1) 求等比数列{an}的公比q；
(2) 判断S3，S9，S6是否成等差数列，若成等差数列，请给出证明；若不成等差数列，请说明理由．
1. 已知等比数列{an}的公比为2，前4项和是1，则前8项和为(　　)
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
2. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则的值是(　　)
A. －11 B. －8 C. 5 D. 11
3. (多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法中正确的是(　　)
A. {an}为递增数列 B. ＝9
C. S3，S6，S9成等比数列 D. Sn＝2an－a1
4. 已知在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，则a3＝________．
5. 已知在等比数列{an}中，a2＝2，a7＝8a4.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 记Sn为数列{an}的前n项和，若Sm＝63，求实数m的值．
参考答案与解析
【活动方案】
探究：略
例1　(1) S10＝＝
＝－8×＝－8＝－.
(2) Sk＝＝364.
例2　由题意，得q≠1，则S3＝＝，S6＝＝，所以＝，解得q＝1(舍去)或q＝2，所以a1＝，所以an＝×2n－1＝2n－2.
例3　(1) Sn＝＝－×＝－.
(2) Sn＝＝＝.
(3) 当q≠1时，S3＝＝＝，解得q＝－2；
当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，S3＝.
综上，q＝1或q＝－2.
跟踪训练　 (1) 由题意，得2a8＝a2＋a5，
所以2a1q7＝a1q＋a1q4.
因为a1q≠0，
所以2q6＝1＋q3，即2q6－q3－1＝0，
解得q3＝1或q3＝－，
所以 q＝1或q＝.
(2) ①当q＝1时，因为2S9≠S3＋S6，
所以当q＝1时，S3，S9，S6不成等差数列；
②当q＝时，
2S9＝＝·＝，
S3＋S6＝＋＝，
所以 2S9＝S3＋S6，
所以当q＝时，S3，S9，S6成等差数列．
综上，当q＝1时S3，S9，S6不成等差数列；当q＝时，S3，S9，S6成等差数列．
【检测反馈】
1. B　解析：由题意，得q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＝1，则a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)q4＝16，所以S8＝1＋16＝17.
2. A　解析：由8a2＋a5＝0，得＝－8，即q3＝－8，所以q＝－2，所以＝＝＝－11.
3. BD　解析：由a6＝8a3，得q3a3＝8a3，则q＝2，当首项a1<0时，{an}为递减数列，故A错误；＝＝9，故B正确；假设S3，S6，S9成等比数列，则S＝S9×S3，即(1－26)2＝(1－23)×(1－29)不成立，显然S3，S6，S9不成等比数列，故C错误；由{an}是公比为q的等比数列，得Sn＝＝＝2an－a1，所以Sn＝2an－a1，故D正确．故选BD.
4. 2或8　解析：设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，S3＝3a1＝6，符合题意，此时a3＝a1＝2；当q≠1时，由S3＝＝＝6，解得q＝－2，此时a3＝a1·q2＝8.综上可知，a3＝2或a3＝8.
5. (1) 设等比数列{an}的公比为q，由题意，得解得
所以数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2n－1.
(2) 由(1)，知Sn＝＝＝2n－1，由Sm＝2m－1＝63，解得m＝6.