活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第四章数列4．3.3 等比数列的前n项和(3)（有答案）
文档属性
| 名称 | 活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第四章数列4．3.3 等比数列的前n项和(3)（有答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 104.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-21 15:45:42 | ||
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文档简介
4．3.3 等比数列的前n项和(3)
1. 能运用等比数列的基本知识解决简单的实际问题．
2. 通过对知识的推理与运算，提高理解与运用知识的能力．
活动一 运用等比数列的基本知识解决简单的实际问题——建模
阅读材料，回答下列问题：
水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．全国9 100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70%.国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%，那么从2000年 起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩(精确到万亩)？从2000年起到哪一年底，西部地区基本解决退耕还林问题？
知识拓展：
为了支持退耕还林工作，国家财政每年补助西部农民每亩退耕土地300斤粮食，每斤粮食按0.70元折算，并且每亩退耕土地每年补助20元．
(1) 每年每亩退耕土地国家需要补贴多少？
(2) 从2000年开始，每年退耕还林的国家补贴依次是多少？
(3) 到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付的补贴为多少？(精确到1亿元，参考数据：1.127≈2.21，1.128≈2.48)
活动二 弄清单利和复利的区别，会进行相关计算
阅读材料，回答下列问题：
某人2004年初向银行申请贷款20万元购买住房，月利率3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？
解：设每月应还贷x元，共付款12×10＝120(次)，
则有x[1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000(1＋0.003 375)120，
化简，得
x＝
≈2 029.66(元)．
故每月应还贷2 029.66元．
(1) 单利与复利的区别？
(2) 单利与复利的数学模型分别为什么？
(3) 什么叫等额还款？
(4) 在解题过程中，等式x[1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000(1＋0.003 375)120中的x(1＋0.003 375)，x(1＋0.003 375)119分别表示什么意思？等式右边表示什么意思？
(5) 该题还可以按如下思路进行考虑：
设商品一次性付款的金额为a元，等额付款n次，每次期末付款x元，期利率为r.
则第1次付款后，贷款余额为多少？
第2次付款后，贷款余额为多少？
第3次付款后，贷款余额为多少？
……
第n次付款后，贷款余额为多少？
由于第n次付款后，贷款余额为0，故有关系式：________________________________________________________________________.
从而可以解得x＝
1. 某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果小新同学贷款10 000元，一年还清，假设月利率为0.25%，那么小新同学每月应还的钱约为(1.002 512≈1.03)( )
A. 833元 B. 858元 C. 883元 D. 902元
2. 某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元，则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要( )
A. 3 233万元 B. 4 706万元 C. 4 709万元 D. 4 808万元
3. (多选)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”下列说法中正确的是( )
A. 此人第二天走了96里路 B. 此人第三天走的路程占全程的
C. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 D. 此人后三天共走了42里路
4. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算(即本年利息计入次年本金生息)，借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是________元．(四舍五入，精确到整数)
5. (2021·福建三明第一中学月考)新能源汽车的发展有着诸多的作用，不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，同时还能够减轻环境的污染．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．
(1) 求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；
(2) 若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值．
参考答案与解析
【活动方案】
活动一：
根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从2000年起，每年退耕还林的面积(单位：万亩)组成一个等比数列{an}，其中a1＝515，q＝1＋12%＝1.12，n＝6，
则S6＝≈4 179(万亩)，
故从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有4 179万亩．
Sn＝9 100×70%＝6 370，
设从2000年起到n年底西部地区基本解决退耕还林问题，
则Sn＝＝6 370，
所以n≈2 007，
即到2007年底，西部地区基本解决退耕还林问题．
知识拓展：
(1) 300×0.7＋20＝230(元)
(2) 515×230×104；515×(1＋1.12)×230×104；515×(1＋1.12＋1.122)×230×104……
(3) 515×230×104×[1＋(1＋1.12)＋…＋(1＋1.12＋…＋1.127)]
＝×[(1.12－1)＋(1.122－1)＋…＋(1.128－1)]
＝×≈574(亿元)．
活动二：
(1) 单利是指只在原来的本金的基础上计算利息，而复利指不仅要计算本金利息，而且还要计算利息的利息，即利息可以转化为本金，同原来的本金一起作为下期计算利息的根据，即是俗称“利滚利”．
(2) 单利对应于一次函数模型，而复利对应于指数函数模型．
(3) 分期付款中规定每期还款相同．
(4) x(1＋0.003 375)——第119期本利和；
x(1＋0.003 375)119——第1期本利和；
200 000(1＋0.003 375)120——住房售价的本利和．
(5) 第1次：a(1＋r)－x；
第2次：[a(1＋r)－x](1＋r)－x＝a(1＋r)2－x(1＋r)－x；
第3次：a(1＋r)3－x(1＋r)2－x(1＋r)－x；
第n次：a(1＋r)n－x(1＋r)n－1－…－x(1＋r)－x；
a(1＋r)n－x(1＋r)n－1－…－x(1＋r)－x＝0；
x＝.
【检测反馈】
1. B 解析：设每月应还x元，则x＋1.002 5x＋…＋1.002 511x＝x·＝10 000×1.002 512≈10 300，解得x≈858，即每月应还858元．
2. C 解析：设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为an万元(n＝1，2，3，…，10)，则所以解得故a10＝a1q9＝1 536.依题意，得x＋1 536≤1 700，即x≤164，所以总费用为10x＋a1＋a2＋…＋a10＝10x＋＝10x＋3 069≤4 709.
3. ACD 解析：设此人第n天走an里路，则数列{an}是首项为a1，公比为q＝的等比数列．因为S6＝378，所以S6＝＝378，解得a1＝192，对于A，因为a2＝192×＝96，所以此人第二天走了96里路，所以A正确；对于B，因为a3＝192×＝48，>，所以B不正确；对于C，由于378－192＝186，192－186＝6，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，所以C正确；对于D，由于a4＋a5＋a6＝192×＝42，所以D正确．故选ACD.
4. 367 209 解析：设每次的还款额为A元，记欠款额为B＝1 000 000元，由题意，第一次还款后欠款额为B×1.05－A；第二次还款后欠款额为(B×1.05－A)×1.05－A；第三次还款后欠款额为[(B×1.05－A)×1.05－A]×1.05－A.因为三次将欠款还完，所以[(B×1.05－A)×1.05－A]×1.05－A＝0，整理得B＝＋＋＝1 000 000，解得A≈367 209.
5. (1) 设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，
依题意，数列{an}是首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列，{bn}是首项为400，公差为a的等差数列，
所以{an}的前n项和Sn＝＝256，{bn}的前n项和Tn＝400n＋a，
所以经过n年，该市被更换的公交车总数为S(n)＝Sn＋Tn＝256＋400n＋a.
(2) 若计划7年内完成全部更换，则S(7)≥10 000，
所以256＋400×7＋a≥10 000，即21a≥3 082，解得a≥146.
又a∈N*，所以a的最小值为147，
所以a的最小值147.
1. 能运用等比数列的基本知识解决简单的实际问题．
2. 通过对知识的推理与运算，提高理解与运用知识的能力．
活动一 运用等比数列的基本知识解决简单的实际问题——建模
阅读材料，回答下列问题：
水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．全国9 100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70%.国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%，那么从2000年 起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩(精确到万亩)？从2000年起到哪一年底，西部地区基本解决退耕还林问题？
知识拓展：
为了支持退耕还林工作，国家财政每年补助西部农民每亩退耕土地300斤粮食，每斤粮食按0.70元折算，并且每亩退耕土地每年补助20元．
(1) 每年每亩退耕土地国家需要补贴多少？
(2) 从2000年开始，每年退耕还林的国家补贴依次是多少？
(3) 到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付的补贴为多少？(精确到1亿元，参考数据：1.127≈2.21，1.128≈2.48)
活动二 弄清单利和复利的区别，会进行相关计算
阅读材料，回答下列问题：
某人2004年初向银行申请贷款20万元购买住房，月利率3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？
解：设每月应还贷x元，共付款12×10＝120(次)，
则有x[1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000(1＋0.003 375)120，
化简，得
x＝
≈2 029.66(元)．
故每月应还贷2 029.66元．
(1) 单利与复利的区别？
(2) 单利与复利的数学模型分别为什么？
(3) 什么叫等额还款？
(4) 在解题过程中，等式x[1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000(1＋0.003 375)120中的x(1＋0.003 375)，x(1＋0.003 375)119分别表示什么意思？等式右边表示什么意思？
(5) 该题还可以按如下思路进行考虑：
设商品一次性付款的金额为a元，等额付款n次，每次期末付款x元，期利率为r.
则第1次付款后，贷款余额为多少？
第2次付款后，贷款余额为多少？
第3次付款后，贷款余额为多少？
……
第n次付款后，贷款余额为多少？
由于第n次付款后，贷款余额为0，故有关系式：________________________________________________________________________.
从而可以解得x＝
1. 某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果小新同学贷款10 000元，一年还清，假设月利率为0.25%，那么小新同学每月应还的钱约为(1.002 512≈1.03)( )
A. 833元 B. 858元 C. 883元 D. 902元
2. 某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元，则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要( )
A. 3 233万元 B. 4 706万元 C. 4 709万元 D. 4 808万元
3. (多选)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”下列说法中正确的是( )
A. 此人第二天走了96里路 B. 此人第三天走的路程占全程的
C. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 D. 此人后三天共走了42里路
4. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算(即本年利息计入次年本金生息)，借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是________元．(四舍五入，精确到整数)
5. (2021·福建三明第一中学月考)新能源汽车的发展有着诸多的作用，不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，同时还能够减轻环境的污染．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．
(1) 求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；
(2) 若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值．
参考答案与解析
【活动方案】
活动一：
根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从2000年起，每年退耕还林的面积(单位：万亩)组成一个等比数列{an}，其中a1＝515，q＝1＋12%＝1.12，n＝6，
则S6＝≈4 179(万亩)，
故从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有4 179万亩．
Sn＝9 100×70%＝6 370，
设从2000年起到n年底西部地区基本解决退耕还林问题，
则Sn＝＝6 370，
所以n≈2 007，
即到2007年底，西部地区基本解决退耕还林问题．
知识拓展：
(1) 300×0.7＋20＝230(元)
(2) 515×230×104；515×(1＋1.12)×230×104；515×(1＋1.12＋1.122)×230×104……
(3) 515×230×104×[1＋(1＋1.12)＋…＋(1＋1.12＋…＋1.127)]
＝×[(1.12－1)＋(1.122－1)＋…＋(1.128－1)]
＝×≈574(亿元)．
活动二：
(1) 单利是指只在原来的本金的基础上计算利息，而复利指不仅要计算本金利息，而且还要计算利息的利息，即利息可以转化为本金，同原来的本金一起作为下期计算利息的根据，即是俗称“利滚利”．
(2) 单利对应于一次函数模型，而复利对应于指数函数模型．
(3) 分期付款中规定每期还款相同．
(4) x(1＋0.003 375)——第119期本利和；
x(1＋0.003 375)119——第1期本利和；
200 000(1＋0.003 375)120——住房售价的本利和．
(5) 第1次：a(1＋r)－x；
第2次：[a(1＋r)－x](1＋r)－x＝a(1＋r)2－x(1＋r)－x；
第3次：a(1＋r)3－x(1＋r)2－x(1＋r)－x；
第n次：a(1＋r)n－x(1＋r)n－1－…－x(1＋r)－x；
a(1＋r)n－x(1＋r)n－1－…－x(1＋r)－x＝0；
x＝.
【检测反馈】
1. B 解析：设每月应还x元，则x＋1.002 5x＋…＋1.002 511x＝x·＝10 000×1.002 512≈10 300，解得x≈858，即每月应还858元．
2. C 解析：设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为an万元(n＝1，2，3，…，10)，则所以解得故a10＝a1q9＝1 536.依题意，得x＋1 536≤1 700，即x≤164，所以总费用为10x＋a1＋a2＋…＋a10＝10x＋＝10x＋3 069≤4 709.
3. ACD 解析：设此人第n天走an里路，则数列{an}是首项为a1，公比为q＝的等比数列．因为S6＝378，所以S6＝＝378，解得a1＝192，对于A，因为a2＝192×＝96，所以此人第二天走了96里路，所以A正确；对于B，因为a3＝192×＝48，>，所以B不正确；对于C，由于378－192＝186，192－186＝6，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，所以C正确；对于D，由于a4＋a5＋a6＝192×＝42，所以D正确．故选ACD.
4. 367 209 解析：设每次的还款额为A元，记欠款额为B＝1 000 000元，由题意，第一次还款后欠款额为B×1.05－A；第二次还款后欠款额为(B×1.05－A)×1.05－A；第三次还款后欠款额为[(B×1.05－A)×1.05－A]×1.05－A.因为三次将欠款还完，所以[(B×1.05－A)×1.05－A]×1.05－A＝0，整理得B＝＋＋＝1 000 000，解得A≈367 209.
5. (1) 设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，
依题意，数列{an}是首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列，{bn}是首项为400，公差为a的等差数列，
所以{an}的前n项和Sn＝＝256，{bn}的前n项和Tn＝400n＋a，
所以经过n年，该市被更换的公交车总数为S(n)＝Sn＋Tn＝256＋400n＋a.
(2) 若计划7年内完成全部更换，则S(7)≥10 000，
所以256＋400×7＋a≥10 000，即21a≥3 082，解得a≥146.
又a∈N*，所以a的最小值为147，
所以a的最小值147.