数学人教A版（2019）必修第一册5.2.2 同角三角函数的基本关系（共22张ppt）

(共22张PPT)
5.2 三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
复习导入
2.上节课的学习中，我们得到了公式一，即终边相同的角的同一三角函数值相等.
公式一
其中
思考1：那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？
因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.由公式一可知，我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系.
1.任意角的三角函数的定义
新知探索
如图，设点是角的终边与单位圆的交点.过作轴的垂线，交轴于，则是直角三角形，而且
由勾股定理有：因此，即
显然，当的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.
根据三角函数的定义，当时，有：
这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.
平方关系
商数关系
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于这个角的正切.
同角三角函数的基本关系
新知探索
思考：“同角”一词的含义是什么？
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立.
(2)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立.

新知探索
辨析1:判断正误.
(1)对任意角，都成立.( )
(2)对任意角，都成立.( )
(3)因为，所以成立，其中、为任意角.( )
(4)对任意角，都成立.( )
√
×
×
×
新知探索
辨析2:(1)已知,则等于( ).
A. B. C. D.
(2)已知,则
A
平方关系
商数关系
变形
变形
思考：对于平方关系 可作哪些变形？
新知探索






解
例析
题型一：利用同角三角函数的基本关系求值
变1.已知求的值.
解：因为,所以是第三象限角或第四象限角.
由得：
如果是第三象限角，那么于是，
从而
如果是第四象限角，那么于是，
从而
没有说明α是 第几象限角，怎么办呢？
练习
方程(组)思想
这两个关系是不是很给力？可以做到知一求二！
思维升华
思考：结合例1、变式1能否总结出求同角三角函数值的一般步骤？
思维升华
求同角三角函数值的一般步骤：
1.根据已知三角函数值的符号，确定角所在象限；
2.对角所在象限进行分类讨论；
3.利用两个基本关系式求出其他三角函数值；
4.根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出其三角函数值.
例析
例2.求证：.
证法1：由，知，所以
于是左边
右边.
所以，原式成立.
今后，除特殊注明外，我们假定三角恒等式是在使两边都有意义的情况下的恒等式.
等式左边恒等变形
题型二：应用同角三角函数关系式化简与证明
例析
例2.求证：.
证法2：因为
且，，
所以.
等价转化
题型二：应用同角三角函数关系式化简与证明
例析
例2.求证：.
=0
.
作差法
题型二：应用同角三角函数关系式化简与证明
思考：恒等式证明常用方法
思维升华
基本思路:
1.从一边开始证明它的另一边，一般由繁到简，通过恒等式变形得到另一个式子，例2证法1。
2.考虑选取与原式等价的式子，通过等价转化推出原式，例3证法2。
3.作差比较大小，例3证法3。
能力提升
2.化简：
【解】

能力提升
(2)（1+）
(2)（1+）
=(1+)
=
3.求证：
【证明】




左边=右边，得证
能力提升
1.同角三角函数的基本关系
平方关系:
商数关系:
课堂小结&作业
3.已知tanα，求sinα，cosα
2.已知sinα（或cosα）求其它
4.注意分象限讨论
课堂小结&作业
课堂小结&作业
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)优化方案P132的练习