3.2.1 双曲线及其标准方程(共23张PPT)

(共23张PPT)
3.2.1双曲线及其标准方程
1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．
2.掌握双曲线的标准方程及其求法．
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
1.数学抽象:通过双曲线概念的学习．
2.数学运算:通过双曲线标准方程的求解.
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
情景导学
1. 椭圆的定义
和
等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0)
的点的轨迹.
平面内与两定点F1、F2的距离的
2. 椭圆的标准方程
焦点在y轴
焦点在x轴
平面内与两定点F1、F2的距离的的点差等于常数的轨迹是什么呢？
3. 引入问题
数 学 实 验
[1]取一条拉链；
[2]如图，把它固定在板上的F1、F2两点；
[3] 拉动拉链（M），思考拉链头（M）运动的轨迹是什么图形？
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支.
定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
等于非零常数 的点的轨迹叫做
双曲线.
（小于︱F1F2︱）
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
没有“绝对值”这个条件时,仅表示双曲线的一支.
③此常数记为2a，则a2
F
F
1
M
双曲线的一支
两条射线
1、平面内与两定点F1，F2的距离的差等于非零常数2a (小于|F1F2 |)的点的轨迹是什么？
2、若常数2a=0,轨迹是什么
线段F1F2的垂直平分线
4、若常数2a＞|F1F2|轨迹是什么？
轨迹不存在
3、若常数2a=|F1F2|轨迹是什么？
| |MF1|-|MF2| | = 2a <|F1F2 |
F
2
F
1
M
x
O
y
求曲线方程的步骤：
1.建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.找限制条件
|MF1| - |MF2|=±2a
4.代入
5.化简
此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程
F
2
F
1
M
x
O
y
O
M
F2
F1
x
y
若建系时,焦点在y轴上呢
思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上
定 义
方 程
焦 点
a.b.c的关系
F(±c,0)
F(±c,0)
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
椭 圆
双曲线
F(0,±c)
F(0,±c)
双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系

×
×
×
D
写出适合下列条件的双曲线的标准方程
1.a=4,b=3,焦点在x轴上;
2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
3.a=4,过点(1, )
例1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的交点在x轴上，所以设它的标准方程为

由2c=10，2a=6，
得c=5，a=3，
因此b2=c2-a2=52-32=16，
所以双曲线的标准方程为

使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
如图所示，建立直角坐标系xOy,
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
即 2a=680，a=340
x
y
o
P
B
A
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
作业 课本P127习题第2题
当堂检测
D
6或－6
C