轴对称变换[上下学期通用]
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课件28张PPT。 轴对称变换14.2观察∟ 你知道两只脚丫的位置关系吗？请欣赏下面图片(一）请欣赏下面图片(二）归纳 性质 由一个平面图形可以得到它关于一条直线 L对称的图形,这个图形和原图形的形状、大小完全一样;
新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线L的对称点; 连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.性质与定义定义:像上面那样,由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.思 考如果有一个图形和一条直线,如何作出与这个图形关于这条直线对称的图形呢??例题1.如图, 已知△ABC和直线 L,作出与△ABC关于这条直线 L对称的图形.ABCABCA1O作法:如图,(1)过点A作直线L的垂线垂足为点O,在垂线上截取OA1=OA,点A1就是点A 关于直线L的对称点;(2)类似地,请你自己在图上分别作出点B、C关于直线L的对称点B1、C1;(3)连结A1B1、B1C1、C1A1,得到的△A1B1C1即为所求.归纳 几何图形都可以看作由点组成, 我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连结这些对应点,就可以得到原图形的轴对称图形;对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段的端点)的对称点,连结这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.作轴对称图形的方法:请看下面一组美术作品利用轴对称变换，你能设计一些图案吗？练习：1.如图，把下列图形补成关于直线 L 对称的形。2.用纸片剪一个三角形，分别沿它的中线、高、角平分线对折，
看看那些部分能够重合，那些部分不能重合。ABCDEE1D1C1B1A1∟∟HM∟N∟P∟Q你能画出下面五边形关于直线 对称的图形吗？如图,要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可以使所用的输气管道线最短?你可以在L上找出几个点试一试,能发现什么规律吗?LABLABC你发现规律了吗？为什么在点C的位置修建泵站,就能使所用的输气官线最短呢?也就是说,你能证明AC+CB最小吗?(提示:在直线L上任取一 点 . 证明AC+CB < + .
你知道吗?练一练例题1两村的位置各为A(-3,3), B(5,1) , x轴表示一条河,两村计划在河边C处和建一个码头,要使施工运费最少(即AC+BC最短)，试确定点C的置.解答:作点A(-3 , 3)关于x轴的对称点D(-3 , -3),连结DB
交 x轴于点C,设直线 DB的解析式为 y = kx +b,则
1234x 1243y0ABCD5-1-2-3练一练1.如图,点P、Q是锐角∠AOB内的两点,求作两点M、N
使M在OA上,N在OB上, 且使PM+MN+NQ最小.解答:作P点关于OA的像P1, Q点关于OB的像Q1, 则PM+MN+NQ=P1M+MN+NQ1因为由光走最短路径可知, 当PM+MN+NQ可成
由P点发出的光经M点反射传播到N点,再经N点反
射后传播到Q点所走的总路程时, PM+MN+NQ最小,即P1M+MN+NQ1最小.所以P1、M、N、Q1四点共线.故连P1Q1, 分别与OA、OB的交点即是求作的M、N .ABPQP1Q1MNO2.在直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，4），
在 x 轴上求一点P，使PA+PB 最小。 1234x 1243y0AB解：作点A关于 x 轴的对称点
A1,连结A1B交于x轴一点P
即为所求．A1P设A1B所在直线的解析式
为:y=kx+b令 y = 0,则3x – 5 = 0,解得 x = 5/3,∴P(5/3，０）为
所求． 1 234x 1243yOQ55P3.在直角坐标中x 轴上的一动点M（x ，0）
到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别
为MP和MQ,那么当MP+MN取最小值时，
点M的横坐标是多少？解：作点P关于 x 轴的对称点P1（5，-5），
连结P1Q交于x 轴于点M即为所求。设
过P1Q的直线的解析式为 y = kx + b令 y = 0, ∴-2x + 5 = 0, ∴x = 2.5, ∴所求的点M的横坐标 x = 2.5 。MP14.在直角坐标系中，有四个点A (-8，3），
B（-4，5），C（0，q），D（p，0），
当四边形ABCD的周长最短时，
求 q ：p的值。 1234x 1243y0-8-4-5ABA1B1解：作点B 关于 y 轴的对称
点B1, 点A关于 x 轴的对
称点A1 。连结A1B1, 交 x 轴与 y 轴分别
于D、C两点，DC则要使四边形ABCD的周长最短
只需A1B1最短即可。由已知得A1(-8，-3），B1（4，5）∴设过A1B1的直线解析式为：y = kx + b∵C、D两点在此直线上，做一做1.A、B两村庄要建立一个加油站，要求到A、B两
村距离相等，且到公路a、b的距离也相等，请你帮
忙确定加油站的位置P.abAB12P∟课外延伸题 动脑筋1.如图,EFGH为长方形的台球台面,有黑、白两球分别位于A、B两点的位置上,怎样撞击黑球A,使黑球先碰撞台边FG,反弹后再撞击台边GH,再反弹后击中白球B?作出FG、GH上的撞击点的位置和黑球的运行路线.FEHGABFEHGAB∟CA1DB1MN∟竞赛台思想方法探究天地1.如图，点A、B的坐标分别为（-1，1）、（3，2），P为 x 轴上一点，且P到A、B的之和最小，则P的坐标为_________
2.试求函数（第18届江苏省竞赛题）（2004年四川省竞赛题）3.如图，在矩形台球桌ABCD上，放有P和Q两个求，恰有
∠PAB和∠QAD相等，如果打击球P使它撞在AB的M点反
弹后撞到球Q，其路线记为 P→M→Q; 如果打击球Q使它撞
在AD的N点反弹后撞到球P，其路线记为Q→N→P。证明：
P→M→Q与Q→N→P的路线的长相等。ABCDPQ（上海市第20届竞赛题）4.如图，已知正方形ABCD的边长为8, M在DC，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是_____________
试一试 D、M为AC同侧两定点，从对称性考虑确定N点的位置 。 (2004年黑龙江中考题）ABCD5.如图，在矩形ABCD中，
AB = 8，BC = 4，将矩形沿AC折叠，
则重叠的部分△AFC的面积为（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6ADBCD1F（2004年河北省中考题）M7.如图在三角形 ABC中,AB=3 , AC = 4, BC = 5, 现将它折叠, 使点B与点C重合, 则折痕的长是__________ABC(2004年我爱数学初中夏令营竞赛题)8.如图,在菱形ABCD 中,AB = 4a , E在BC上, BE = 2a ,∠BAD = ,P点在BD上,则 PE + PC 的最小值为( )
A.6a B.5a C.4a D. ABCDPE(2004年武汉市选拔赛试题)课后作业再见
新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线L的对称点; 连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.性质与定义定义:像上面那样,由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.思 考如果有一个图形和一条直线,如何作出与这个图形关于这条直线对称的图形呢??例题1.如图, 已知△ABC和直线 L,作出与△ABC关于这条直线 L对称的图形.ABCABCA1O作法:如图,(1)过点A作直线L的垂线垂足为点O,在垂线上截取OA1=OA,点A1就是点A 关于直线L的对称点;(2)类似地,请你自己在图上分别作出点B、C关于直线L的对称点B1、C1;(3)连结A1B1、B1C1、C1A1,得到的△A1B1C1即为所求.归纳 几何图形都可以看作由点组成, 我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连结这些对应点,就可以得到原图形的轴对称图形;对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段的端点)的对称点,连结这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.作轴对称图形的方法:请看下面一组美术作品利用轴对称变换，你能设计一些图案吗？练习：1.如图，把下列图形补成关于直线 L 对称的形。2.用纸片剪一个三角形，分别沿它的中线、高、角平分线对折，
看看那些部分能够重合，那些部分不能重合。ABCDEE1D1C1B1A1∟∟HM∟N∟P∟Q你能画出下面五边形关于直线 对称的图形吗？如图,要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可以使所用的输气管道线最短?你可以在L上找出几个点试一试,能发现什么规律吗?LABLABC你发现规律了吗？为什么在点C的位置修建泵站,就能使所用的输气官线最短呢?也就是说,你能证明AC+CB最小吗?(提示:在直线L上任取一 点 . 证明AC+CB < + .
你知道吗?练一练例题1两村的位置各为A(-3,3), B(5,1) , x轴表示一条河,两村计划在河边C处和建一个码头,要使施工运费最少(即AC+BC最短)，试确定点C的置.解答:作点A(-3 , 3)关于x轴的对称点D(-3 , -3),连结DB
交 x轴于点C,设直线 DB的解析式为 y = kx +b,则
1234x 1243y0ABCD5-1-2-3练一练1.如图,点P、Q是锐角∠AOB内的两点,求作两点M、N
使M在OA上,N在OB上, 且使PM+MN+NQ最小.解答:作P点关于OA的像P1, Q点关于OB的像Q1, 则PM+MN+NQ=P1M+MN+NQ1因为由光走最短路径可知, 当PM+MN+NQ可成
由P点发出的光经M点反射传播到N点,再经N点反
射后传播到Q点所走的总路程时, PM+MN+NQ最小,即P1M+MN+NQ1最小.所以P1、M、N、Q1四点共线.故连P1Q1, 分别与OA、OB的交点即是求作的M、N .ABPQP1Q1MNO2.在直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，4），
在 x 轴上求一点P，使PA+PB 最小。 1234x 1243y0AB解：作点A关于 x 轴的对称点
A1,连结A1B交于x轴一点P
即为所求．A1P设A1B所在直线的解析式
为:y=kx+b令 y = 0,则3x – 5 = 0,解得 x = 5/3,∴P(5/3，０）为
所求． 1 234x 1243yOQ55P3.在直角坐标中x 轴上的一动点M（x ，0）
到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别
为MP和MQ,那么当MP+MN取最小值时，
点M的横坐标是多少？解：作点P关于 x 轴的对称点P1（5，-5），
连结P1Q交于x 轴于点M即为所求。设
过P1Q的直线的解析式为 y = kx + b令 y = 0, ∴-2x + 5 = 0, ∴x = 2.5, ∴所求的点M的横坐标 x = 2.5 。MP14.在直角坐标系中，有四个点A (-8，3），
B（-4，5），C（0，q），D（p，0），
当四边形ABCD的周长最短时，
求 q ：p的值。 1234x 1243y0-8-4-5ABA1B1解：作点B 关于 y 轴的对称
点B1, 点A关于 x 轴的对
称点A1 。连结A1B1, 交 x 轴与 y 轴分别
于D、C两点，DC则要使四边形ABCD的周长最短
只需A1B1最短即可。由已知得A1(-8，-3），B1（4，5）∴设过A1B1的直线解析式为：y = kx + b∵C、D两点在此直线上，做一做1.A、B两村庄要建立一个加油站，要求到A、B两
村距离相等，且到公路a、b的距离也相等，请你帮
忙确定加油站的位置P.abAB12P∟课外延伸题 动脑筋1.如图,EFGH为长方形的台球台面,有黑、白两球分别位于A、B两点的位置上,怎样撞击黑球A,使黑球先碰撞台边FG,反弹后再撞击台边GH,再反弹后击中白球B?作出FG、GH上的撞击点的位置和黑球的运行路线.FEHGABFEHGAB∟CA1DB1MN∟竞赛台思想方法探究天地1.如图，点A、B的坐标分别为（-1，1）、（3，2），P为 x 轴上一点，且P到A、B的之和最小，则P的坐标为_________
2.试求函数（第18届江苏省竞赛题）（2004年四川省竞赛题）3.如图，在矩形台球桌ABCD上，放有P和Q两个求，恰有
∠PAB和∠QAD相等，如果打击球P使它撞在AB的M点反
弹后撞到球Q，其路线记为 P→M→Q; 如果打击球Q使它撞
在AD的N点反弹后撞到球P，其路线记为Q→N→P。证明：
P→M→Q与Q→N→P的路线的长相等。ABCDPQ（上海市第20届竞赛题）4.如图，已知正方形ABCD的边长为8, M在DC，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是_____________
试一试 D、M为AC同侧两定点，从对称性考虑确定N点的位置 。 (2004年黑龙江中考题）ABCD5.如图，在矩形ABCD中，
AB = 8，BC = 4，将矩形沿AC折叠，
则重叠的部分△AFC的面积为（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6ADBCD1F（2004年河北省中考题）M7.如图在三角形 ABC中,AB=3 , AC = 4, BC = 5, 现将它折叠, 使点B与点C重合, 则折痕的长是__________ABC(2004年我爱数学初中夏令营竞赛题)8.如图,在菱形ABCD 中,AB = 4a , E在BC上, BE = 2a ,∠BAD = ,P点在BD上,则 PE + PC 的最小值为( )
A.6a B.5a C.4a D. ABCDPE(2004年武汉市选拔赛试题)课后作业再见