三角函数测试题（含解析）

三角函数 测试题
（时间120分钟 满分150分）
班级 学号 姓名 得分
第Ⅰ卷　(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、已知tan(－α－π)＝－5，则tan(π＋α)的值为(　　)
A．±5 B．5
C．－5 D．不确定
2、已知sin(2π－α)＝，α∈(，2π)，则等于(　　)
A. －7 B．－ C．7 D．
3、已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(　　)
A. B. C. D.
4、函数g(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于(　　)
A．－ B．2kπ－(k∈Z)
C．kπ(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
5、已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ可能取值是(　　)
A. B．－ C. D.
6、已知函数y＝2sin (ωx＋φ))(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于(　　)
A．1 B．2 C. D.
7、若点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是(　　)
A.∪ B. ∪
C. ∪ D.∪
8、若＝2，则sin θcos θ的值是(　　)
A． B. － C．± D.
9、为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(　　)
A． 向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C． 向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
10、将函数y＝sin(x－θ)的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x＝，则θ的一个可能取值是(　　)
A. B．－ C. D．－
11、已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则(　　)
A．ω＝2，θ＝ B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝
12、如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13、如果cos α＝，且α是第四象限的角，那么cos(α＋)＝________.
14、已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为________．
15、已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．
16、给出下列命题：
(1) 函数y＝tan x在定义域内为增函数；
(2)函数y＝sin |x|不是周期函数；
(3)函数y＝|cos 2x＋|的最小正周期为；
(4)函数y＝4sin(2x＋)，x∈R的一个对称中心为(－，0)．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(本小题满分10分)
求函数f（x）＝3－4sin x－4cos2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值．
18、(本小题满分12分)
已知＝，求下列各式的值．
(1)；
(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.
19、(本小题满分12分)
已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值．
20、(本小题满分12分)
在已知函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
(1)求g(x)的解析式；
(2)当x∈时，求g(x)的值域．
．
21、(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)如何由函数g（x）＝2sin x的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．
22、(本小题满分12分)
(12分)某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线，可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
参考答案
C　
D　解析：sin(2π－α)＝－sin α＝，∴sin α＝－.又α∈(，2π)，∴cos α＝.∴＝.故选D
B　
D　解析：若函数g(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f(0)＝cos φ＝0，∴φ＝kπ＋，(k∈Z)．故选D.
A　解析：检验f＝sin是否取到最值即可.故选A　
B　解析：由图象知2T＝2π，T＝π，∴＝π，ω＝2，故选B.
C　解析：sin α－cos α>0且tan α>0，
∴α∈或α∈，故选C.
A　解析：∵＝＝2，
∴tan θ＝3.
∴sin θcos θ＝＝＝，故选A.
C　解析：y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos2，故 C.
A　解析：将y＝sin(x－θ)向右平移个单位长度得到的解析式为y＝sin＝sin(x－－θ)．其对称轴是x＝，则－－θ＝kπ＋(k∈Z)．∴θ＝－kπ－(k∈Z)．当k＝－1时，θ＝，故选A.
11、D　解析：∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，∴θ＝.
∵图象与直线y＝2的两个交点横坐标为x1，x2，
|x2－x1|min＝π，即Tmin＝π，
∴＝π，ω＝2，故选D
12、B 解析：∵y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，即3cos(2×＋φ)＝0，∴＋φ＝＋kπ，k∈Z.
∴φ＝－＋kπ.∴当k＝2时，|φ|有最小值，故选B
13、
解析：　∵α是第四象限的角且cos α＝.
∴sinα＝ －＝－，
∴cos(α＋)＝－sin α＝.
14、　(6π＋40) cm
解析：∵圆心角α＝54°＝，∴l＝|α|·r＝6π.
∴周长为(6π＋40) cm.
15、8
解析：
T＝6，则≤t，
∴t≥，∴tmin＝8.
16、(2)(4)
解析：本题考查三角函数的图象与性质． (1)错，正切函数在定义域内不单调，整个图象具有周期性，因此不单调；(2)由于函数y＝sin |x|是偶函数，作出y轴右侧的图象，再关于y轴对称即得左侧图象，观察图象可知没有周期性出现，即不是周期函数；(3)由周期函数的定义f(x＋)＝|－cos 2x＋|≠f(x)，∴不是函数的周期；(4)由于f(－)＝0，故根据对称中心的意义可知(－，0)是函数的一个对称中心，故只有(2)(4)是正确的．
17、解　f（x）＝3－4sin x－4cos2x＝4sin2x－4sin x－1
＝42－2，令t＝sin x，则－1≤t≤1，
∴f（x）＝42－2 (－1≤t≤1)．
∴当t＝，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ(k∈Z)时，
f min（x）＝－2；
当t＝－1，即x＝＋2kπ (k∈Z)时，fmax（x）＝7.
18、解　由已知＝，∴＝.
解得：tan θ＝2.
(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ＝＝＝－.
19、解　∵x∈，∴2x＋∈，
∴－1≤cos≤.
当a>0，cos＝时，y取得最大值a＋3，
∴a＋3＝4，∴a＝2.
当a<0，cos＝－1时，y取得最大值－a＋3，
∴－a＋3＝4，∴a＝－1，
综上可知，实数a的值为2或－1.
20、解　(1)由最低点为M 得A＝2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为，
得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.
由点M在图象上得2sin＝－2，
即sin＝－1，
故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈，∴φ＝，
故g(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，
当2x＋＝，即x＝时，g(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，g(x)取得最小值－1，
故g(x)的值域为[－1,2]．
21、解：(1)由图象知A＝2.
f(x)的最小正周期T＝4×(－)＝π，故ω＝＝2.将点(，2)代入f(x)的解析式得sin(＋φ)＝1，又|φ|<，∴φ＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)变换过程如下：
g（x）＝2sin xy＝2sin(x＋)y＝2sin(2x＋)．
22、解：．解　(1)由表中数据知周期T＝12，
∴ω＝＝＝，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.
∴A＝0.5，b＝1，
∴y＝cos t＋1.
(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，∴cos t＋1>1，
∴cos t>0，∴2kπ－∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，
得0≤t<3或9∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.