3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时(共23张PPT)

(共23张PPT)
2.4.2抛物线的简单几何性质(1)
1.掌握抛物线的简单几何性质.
2.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质.
1.数学抽象：抛物线的几何性质
2.逻辑推理：运用抛物线的方程推导其几何性质
3.数学运算：抛物线几何性质的简单应用
1.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .
焦点
相等
准线
标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形
顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F
离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
由抛物线y2 =2px（p>0）
有
所以抛物线的范围为
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质
1.范围
2.对称性
观察图象，不难发现，抛物线 y2 = 2px (p＞0)关于 x 轴对称.
我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
注：抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．
3.顶点
抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线的顶点就是原点O，坐标是 (0, 0) ．
4.离心率
抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率.
用 e 表示，e = 1．
4.离心率
P(x,y)
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。
由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.
x
y
O
F
A
B
y2=2px
2p
过焦点而垂直于对称轴的
弦AB，称为抛物线的通径.
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.
|AB|=2p
2p越大，抛物线张口越大.
5.通径
连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.
焦半径公式：
x
y
O
F
P
6.焦半径
M
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
y2 = 2px
（p>0）
y2 = -2px
（p>0）
x2 = 2py
（p>0）
x2 = -2py
（p>0）
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
y≥0
x∈R
y ≤ 0
x∈R
(0,0)
x轴
y轴
1
四种抛物线的几何性质的对比
　例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　），求它的标准方程.
因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　），
解:
所以设方程为：
又因为点M在抛物线上，
所以：
因此所求抛物线标准方程为：
求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）关于x轴对称，并且经过点M(5,-4)；
（2）关于y轴对称，准线经过点E(5,-5)；
（3）准线在y轴右侧，顶点到准线的距离是4；
（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16
的点P，且FP平行于准线.




变式训练
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．


x2-6x+1=0




(x1, y1)
(x2, y2)
已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝ ，求抛物线方程.
变式训练
解　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.
故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，
得x2＋3＝4，∴x＝±1，
∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.
(1)已知点A(-2,3)与抛物线
的焦点的距离是5，则P = 。
(2)抛物线 的弦AB垂直x轴，若|AB|= ，则焦点到AB的距离为 。
4
2
（3）已知直线x-y=2与抛物线 交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是 。
5.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线 上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为( )
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点在直线x-2y-4=0上.
(2)焦点在x轴上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为
6、已知Q(4,0)，P为抛物线 上任一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
B
C
抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
抛物线的离心率是确定的，等于１；
抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.
1、范围：
2、对称性：
3、顶点：
4、离心率：
5、通径：
6、焦半径：
从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束.
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
y2 = 2px
（p>0）
y2 = -2px
（p>0）
x2 = 2py
（p>0）
x2 = -2py
（p>0）
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
y≥0
x∈R
y ≤ 0
x∈R
(0,0)
x轴
y轴
1
四种抛物线的几何性质的对比
作业：课本136页练习1,2,3,4