(共30张PPT)
3.1 平方根
1.了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；
2.会求非负数的平方根与算术平方根；（重点、难点）
3.理解无理数的概念，能正确地判断一个数是不是无理数；
4.能快速地利用计算器求一个无理数的近似值.（重点、难点）
学习目标
动 脑 筋
某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2，刚好用去正方形的地垫30块. 你能算出每块地垫的边长是多少吗？
？
每块正方形地垫的面积是
10.8÷30=0.36(m2).
即 边长×边长=0.36.
由于 0.62=0.36，
因此面积为0.36m2的正方形地垫的边长是0.6m.
一、平方根
归纳总结
在实际问题中，有时要找一个数，使它的平方等于给定的数，由此我们抽象出下述概念：
如果有一个数 r，使得 r2=a，那么我们把 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根.
这就是说，
若 r2 =a，则 r 是 a 的一个平方根.
例如，由于22=4，因此2是4的一个平方根.
探 究
4的平方根除了2以外，还有其他的数吗？
2
4
-2
我是你的平方根
很高兴认识你.
其实我也是你的平方根.
为什么-2也是4的平方根？
因为(-2)2=4，因此-2也是4的一个平方根.
因为边长大于2的正方形，它的面积一定大于4，所以，比2大的数都不是4的平方根.
边长为2
边长为4
<
>
类似地，边长小于2的正方形，它的面积一定小于4，因此，比2小的正数都不是4的平方根.
思考：除了2和－2以外，4的平方根还有其他的数吗？
由于(-b)2=b2，因此，-2以外的负数都不是4的平方根.
所以，4的平方根有且只有两个：2与-2.
显然0不是4的平方根.
一般地，若 r 是正数 a 的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.
归纳总结
说 一 说
零的平方根是多少？负数有平方根吗？
由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此零的平方根就是0本身.
由于同号两数相乘得正数，且02=0，即在迄今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根.
小结：正数平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是0；负数没有平方根.
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
开平方
平方
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.开平方与平方互为逆运算，根据这种关系。可以求一个数的平方根.
知识要点
解 : 由于62=36，
因此36的平方根是6与-6.
即
典例精析
由于 2= ，
因此 的平方根是 与 .
由于1.12=1.21，
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
即
即
练习 已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是________．
方法总结：本题考查了平方根的概念．一个正数有两个平方根，它们是互为相反数，两个数互为相反数，它们的和为0.
解析：∵一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，
∴2a－2＋a－4＝0，
解得a＝2.
2
正数的算术平方根
只有一个.
练习 若|m-1| + =0,求m+n的值.
方法归纳：几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.
练 习
3. 判断下列说法是否正确.
（4）(-4)2的平方根是-4.
±4
4
4.已知 ，求x的值．
解：∵
∴
∴ x=12 或 x=－10.
做 一 做
将一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸片剪拼成一个正方形. 最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？
延续虚线对折
再延续虚线对折
展开铺平
展开铺平
正方形的面积为8cm2，
由于22=4，32=9，又4＜8＜9，
且面积较大的正方形的边长也较大，
因此面积为8cm2的正方形的边长不是整数.
二、无理数的认识
动 脑 筋
观察下列结果：
2.82=7.84， 2.92=8.41；
2.822=7.9524 2.832=8.0089
2.8282=7.997584 2.8292=8.003241
… …
从上述数据，你能猜出面积为8的正方形的边长是多少吗？
面积为8的正方形，它的边长应该比2.828大，比2.829小……
由此猜想，面积为8cm的正方形，它的边长是一个小数点后面的位数可以不断增加的小数.
事实上，我们可以说明这个边长不是分数，从而它既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数，我们把无限不循环小数叫作无理数.
把下列各数分别填入相应的集合内：
0.101，
有理数集合
无理数集合
．．．
．．．
练一练
我们常见的无理数的有以下三种形式：
（1）含 的一些数；
（2）开不尽方的数；
（3）有规律但不循环的数，如1.010 010 001 000 01…
归纳总结
练习 设n为正整数，且n＜ ＜n＋1，则n的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
方法总结：开不尽的平方根形式的无理数的估算一般步骤是首先将原数平方，看其在哪两个相邻的平方数之间，运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分，估计其大致范围．
解析：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，问题可得到解决．∵ ＜ ＜ ，∴8＜ ＜9，∴n＝8.
D
问题：怎么用小数近似地表示一个无理数呢？
例如 π = 3.14159265…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到 π = 3.14，π = 3.142，…，我们称 3.14，3.142是 π 的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值.
三、用计算器求算术平方根
根据实际需要，我们往往用一个有限小数来近似地表示一个无理数.
3.14，3.142，3.1416，…都是 π 的近似值，称它们为近似数.
例3 用计算器求下列各式的值.
(1)
(2) （精确到小数点后面第三位）.
解 （1）依次按键：
显示：32
所以，
1
2
0
4
=
（2）依次按键：
显示：2.828 427 125
所以，
8
=
练习 用计算器比较下面两数的大小：
(1)
(2)
解:（1）
3.236 067 978；
（2） 3.339 148 045；
用计算器计算 ：显示2.4494897，
所以， .
1.用计算器求下列各式的值：
解:
2. 面积为6cm2的正方形，它的边长是多少？用计算器求边长的近似值（精确到0.001cm）.
正方形的面积是6cm2，因此它的边长为 cm.
解:
练 习
3. 用计算器分别求 ， ， ， ， 的近似值（精确到0.001）.
解：
4.借助计算器求下列各式的值，你能发现什么规律？
利用你发现的规律试写出
4…444 3 …333
+
=
5 …555.
=
5 555.
2
2
3 333
4 444
+
拓展练习
本课结束(共10张PPT)
习 题
3.1 平方根
解：∵ 52=25
∴ 25的算术平方根为5；
∵(0.9)2=0.81
∴ 0.81的算术平方根为0.9；
一般地，如果一个非负数 x 的平方等于 a，即 x = a 那么这个非负数 x 叫做 a 的算术平方根.
3.求下列各式的值：
4.用计算器分别计算：
6.某书房的地面是面积为10m2的正方形，它的边长是多少？用计算器求出边长的近似值(精确到0.001 m).
7.如果b=-169，那么-b有平方根吗？如果有，求出-b的平方根.
-b有平方根
∵b=-169
∴-b=169
又∵(±13)=169
∴-b 的平方根是13和-13.
9.填空：
(2)由(1)猜测：
一个正数a先开平方，然后再平方，最后的结果等于 .
一个数b先平方，然后再求它的算术平方根，最后的结果等于 .
16
16
16
36
a
∣ b ∣
10.计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中：
式 子 … …
结 果 … …
0.03
你能发现什么规律？
0.3
3
30
300
本课结束
解：，（±7）2=49
'49的平方根是士7
(±1.62-2.56
.2.56的平方根是±1.6329
100
的平方根是±
00
16
的算术平方根为
16
设书房地面边长为m,则x=10
=V10,x2
√10
边长是正数
.,x=√10≈3.162
484<500<529
22<500<23
”.与V500最接近的两个整数是22,23
式子
结果
