(共24张PPT)
2.5 全等三角形
第1课时 全等三角形及其性质
1.了解全等形的概念；
2.理解全等三角形的概念，会确定全等三角形中的对应素； （重点）
3.掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题. （难点）
学习目标
做 一 做
如图是两组形状、大小完全相同的图形. 用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？
（1）
（2）
我发现它们可以完全重合
一、全等图形
观察思考：每组中的两个图形有什么特点？它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流.
（1）
（2）
（3）
形状相同
大小不相同
大小相同
形状不相同
全等图形
全等形定义：
能够完全重合的两个图形叫做全等形.
全等形性质：
如果两个图形全等，它们的形状相同，大小相等 ！
归纳总结
动 脑 筋
如图，△ABC分别通过平移、旋转、轴反射后得到△A′B′C′，问△ABC 与△A′B′C′能完全重合吗？
A
B
C
C′
A′
B′
A
C
B
C′
B′
A′
A′
B
C
A
C′
B′
全等三角形的定义
一个图形经过平移、旋转、轴反射后,_______ 变化了,但
和 都没有改变,即平移、旋转、轴反射前后的两个图形 .
形状
大小
全等
位置
全等变化
能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
归纳总结
全等三角形的对应元素
全等三角形中，互相重合的顶点叫作 ，互相重合的边叫作 ，互相重合的角叫作 .
B
C
A
B′
C′
A′
对应顶点
对应边
对应角
例如，图中的△ABC和△A'B'C'全等，记作：
△ABC≌△A'B'C'.
其中点A 和 ，点B 和 ，点C 和 是对应顶点.
AB 和 ，BC 和 ，AC 和 是对应边.
∠A 和 ，∠B 和 ，∠C 和 是对应角.
点A′
点B′
点C′
A′B′
B′C′
A′C′
∠A′
∠B′
∠C′
△ABC≌△A ′ B ′ C ′
A
B
C
C ′
B ′
A ′
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
全等的表示方法
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
二、全等三角形的性质
我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等；
∵△ABC≌△FDE
∴AB=FD，AC=FE，BC=DE（全等三角形对应边相等）
∠A=∠F，∠B=∠D，∠C=∠E（全等三角形对应角相等）
A
B
C
E
D
F
全等三角形的性质的几何语言
典例精析
A
D
C
B
O
解：(1)AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；
∠A与∠D，∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC是对应角.
(2)∵AC与DB，AB与DC是全等三角形的对应边，
∴AC=DB=4，DC=AB=3.
∵∠A与∠D是全等三角形的对应角，
∴∠D=∠A=60°.
例1如图，已知△ABC≌△DCB，AB=3，DB=4，∠A=60°.
(1)写出△ABC和△DCB的对应边和对应角；
(2)求AC，DC的长及∠D的度数.
练1 如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．
分析：根据全等三角形对应边、对应角相等求∠DEF的度数和CF的长．
解：∵ △ABC≌△DEF，∠A＝70°，
∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，
∴ ∠DEF＝∠B＝50°，
BC＝EF＝7，
∴ CF＝BC－BF＝7－4＝3.
练2 如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm.
（1）试写出两三角形的对应边、对应角；
（2）求线段NM及HG的长度；
（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正
确的结论并证明.
解：（1）对应边有EF和NM，FG和MH，EG和NH；
对应角有∠E和∠N， ∠F和∠M， ∠EGF和∠NHM.
（2）求线段 NM 及 HG 的长度；
（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并证明.
解：∵ △EFG≌△NMH，
∴NM=EF=2.1cm，
EG=NH=3.3cm.
∴HG=EG –EH=3.3-1.1=2.2（cm）.
解：结论：EF∥NM
证明： ∵ △EFG≌△NMH，
∴ ∠E=∠N.
∴ EF∥NM.
想一想：你还能得出
其他结论吗？
练 习
如图，已知△ADF≌△CBE，AD=4，BE=3，AF=6，∠A=20°，∠B=120°.
(1)找出它们的所有对应边和对应角；
A
F
D
E
B
C
解：（1）∵△ADF≌△CBE
∴∠A=∠C，
∠D=∠B，
∠AFD=∠CEB，
AD=BC，
DF=BE，
AF=CE；
解：∵AD = 4，BE = 3，AF = 6
∴DF = BE = 3，
∴△ADF的周长是 AD + DF + AF = 4 + 3 + 6 = 13，
∵∠A = 20°，∠A =∠C
∴∠C = 20°
∵∠C +∠B +∠BEC = 180°，∠B = 120°
∴∠BEC = 40°
(2)求△ADF的周长及∠BEC的度数.
∠D
∠BAD
∠ABD
AD
BD
BA
B
C
D
A
角
角
角
边
边
边
AB=
AC=
BC=
∠BAC=
∠ABC=
∠C=
2.如图，已知△ABC≌△BAD请指出图中的对应边和对应角.
有公共边的，公共边一定是对应边.
归纳
解：∵△ _____≌△_____ ，
∴AB＝____＝__ ，
∴ AB－_____ ＝EF－____.
∴ AF=EB= .
B
C
D
A
E
F
变式：
ABC
EFD
EF
6
AE
AE
6-2=4
如图：平移后△ABC ≌△ EFD，若AB＝6，AE＝2.你能说出AF的长吗？说说你的理由.
∠ADE
∠E
∠A
ED
AD
AE
A
B
C
E
D
角
角
角
边
边
边
AB=
AC=
BC=
∠A=
∠B=
∠ACB=
3. 如图，已知△ABC≌△AED，请指出图中对应边和对应角.
有公共角的，公共角一定是对应角.
归纳
A
B
C
E
D
如图，已知△ABC≌△AED若AB＝6，AC＝2，∠B＝25°，你还能说出△ADE中其他角的大小和边的长度吗？
解：∵△ABC≌△AED，
∴∠E＝∠B＝25°
（全等三角形对应角相等），
AC=AD=2，AB=AE=6
（全等三角形对应边相等）.
变式：
4.如图，△ABC ≌ △AED，AB是△ABC的最大边，AE是△AED的最大边， ∠BAC 与∠ EAD是对应角，且∠BAC=25°，∠B= 35°，AB=3cm，BC=1cm，求出∠E， ∠ ADE的度数和线段DE，AE 的长度.
B
C
E
D
A
解:∵ △ABC≌△AED (已知)，
∴∠E= ∠B= 35° (全等三角形对应角相等)，
∠ADE=∠ACB=180°－25°－35°=120°
(全等三角形对应角相等)，
DE=BC=1cm， AE=AB=3cm
(全等三角形对应边相等).
课堂小结
本课结束(共16张PPT)
习 题
2.5 全等三角形
1.如图，已知△ABC≌△AED，找出相等的边与角.
解：∠A =∠A，
∠C =∠D，
∠AED =∠ABC，
AC = AD，
AE = AB，
BC = DE.
2.如图，已知 AB = DC，BE = CF，∠B =∠C.小莉说：“AF = DE.”你认为她的判断对吗？请说明理由.
证明：对；
理由：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵在△ABF和△DCE中，
AB=DC，
∠B=∠C，
BF=CE.
∴△ABF≌△DCE
∴AF=DE；
3.已知：如图，AB//CD，AD 与 BC 相交于点 O，且OA = OD.
求证：OB = OC.
证明：∵AB//CD，
∴∠A =∠D，
又∵OA = OD，
∠AOB =∠DOC，
在△AOB与△DOC中，
∠AOB =∠DOC，
OA = OD ，
∠A =∠D，
∴ △AOB ≌ △DOC (ASA)，
∴ OB = OC.
4.已知：如图，AB = AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD =∠ACE.
求证：AD = AE.
证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC =∠DAE = 90°.
∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC，
即∠BAD =∠CAE.
在△ABD和△ACE中，∠BAD =∠CAE，AB = AC，
∠ABD =∠ACE，
∴ △ABD ≌ △ACE.
∴AD = AE.
5.已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC与BD相交于点E.
求证：EC = ED.
证明：∵AB = AB，∠1=∠2，∠C=∠D，
∴△ADB≌△BCA(AAS)
∴BD=AC
∵∠1=∠2
∴AE=BE
∴EC=BD.
A
B
C
D
E
6.如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一把刻度尺.他是这样操作的：
①先在BC上分别截取BD，CE，使BD=CE；
② 再在BA和CA上分别截取BF，CG，使BF=CG；
③最后量出DF，EG的长.
如果DF=EG，则说明∠B和∠C是相等的.他的这种做法合理吗？为什么？
这种做法合理，
理由如下：∵BD=CD，BF=CG，DF=EG
∴△BDF≌△CEF.
∴∠B=∠C.
7.如图，木工师傅做好门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两根斜拉的木条(即图中的AB，CD两根木条)，这样做的道理是什么？
钉上两根斜拉的木条后形成了三角形，这样做的道理是三角形的稳定性
8.已知：如图，AB=AD，BC=DC，点P在AC上.
求证：BP=DP.
证明：在△ABC和△ADC中
AB=AD
BC=DC
AC=AC
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠BAP=∠DAP
在△ABP和△ADP中
AB = AD
∠BAP =∠DAP
AP = AP
∴ △ABP ≌ △ADP(SAS)
∴ BP = DP
9.已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF.
求证：(1)AE//FB；(2)DE=CF.
证明：(1)∵AD=BC
∴AD+CD=BC +CD，即AC=BD
在△ACE和△BDF中
AE=BF
AC=BD
CE=DF
∴△ACE≌△BDF(SSS)
∴∠A=∠B
∴AE//FB(内错角相等，两直线平行)
证明：(2)∵△ACE ≌△BDF
∴∠DCE=∠CDF
在△DCE和△CDF中
CE=DF
∠DCE=∠CDF
CD=DC
∴△DCE≌ △CDF(SAS)
∴DE=CF
(2)DE=CF.
10.已知：如图，AB=AD，CE=CF，AC是∠DAB的平分线.
求证：AE=AF.
证明：∵AC是∠DAB的平分线
∴∠DAC=∠BAC
在△DAC和△BAC中
AD=AB
∠DAC=∠BAC
AC=AC
∴△DAC ≌△BAC(SAS）
∴∠ACD=∠ACB
在△EAC和△FAC中
CE=CF
∠ACB=∠ACD
AC=AC
∴△EAC≌△FAC(SAS)
∴AE =AF
11.已知：如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，延长BC至点 E 使 CE = AD，连接DE交AC于点F.
求证：FD = FE.
证明：如图，过点D作DG∥BC，交AC于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG=∠B=60°，
∠AGD=∠ACB=60°，
∴∠A=∠ADG=∠AGD=60°，
A
B
C
E
F
D
G
∴△ADG是等边三角形，
∴GD = AD，
又∵CE = AD，
∴GD = CE.
∵DG ∥ BC，
∴∠FDG =∠E，
∠FGD =∠FCE.
在 △FDG 和 △FEC 中，
∠FDG = ∠E
GD = CE ，
∠FGD = ∠FCE
∴ △FDG ≌ △FEC，
∴ FD = FE.
12.已知：如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，点F是CD的中点.
求证：AF⊥CD.
证明：连接 AC， AD.
在△ABC与△AED中，
AB = AE，
∠B=∠E，
BC= ED，
∴△ABC≌△AED.
∴AC= AD，
∴△ACD是等腰三角形.
∵F是CD的中点，
∴AF 是△ACD 的中线，
∴AF⊥CD.
本课结束(共27张PPT)
2.5 全等三角形
第2课时 全等三角形的判定 (SAS)
1.经历探索三角形全等条件的过程，培养学生识
图、分析图形的能力；
2.能运用“SAS” 证明简单的三角形全等问题.
（重点、难点）
学习目标
A
B
C
D
E
F
1. 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形.
3.已知△ABC ≌△DEF，找出其中相等的边与角.
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④ ∠A= ∠D
⑤ ∠B=∠E
⑥ ∠C=∠F
2. 全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
知识回顾
两个三角形满足什么条件就能全等呢？下面我们就来探讨这个问题.
想一想：
即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．
探 究
每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边分别为2cm，2.5cm. 将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？
我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
探 究
每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边分别为2cm，2.5cm. 将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？
我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
一、利用“SAS”判定三角形全等
A
B
C
设在△ABC和△A'B'C'中，∠ABC=∠A'B'C，AB=A'B'，BC=B′C′.
下面，我们从以下这几种情形来探讨这个猜测是否为真。
（1）△ABC 和△A′B′C′的位置关系如图.
将△ABC作平移，使BC的像B′′C′′ 与B′C′ 重合，△ABC在平移下的像为△A′′B′′C′′ .
由于平移不改变图形的形状和大小，因此△ABC ≌ △A′′B′′C′′.
A
B
C
所以△A′′B′′C′′与△A′B′C′重合，
因为 ∠ABC=∠A′′B′′C′′=∠A′B′C′ ，AB=A′B′=A′′B′′.
所以线段A″B″与A′B′重合，
因此点A′′与点A′重合，
那么A′′C′′与A′C′重合，
因此△A′′B′′C′′ ≌△A′B′C′，
从而△ABC ≌△A′B′C′.
A
B
C
（2）△ABC 和△A′B′C′的位置关系如图（顶点B 与顶点B′重合）.
因为BC=B′C′，
将△ABC作绕点B的旋转，旋转角等∠C′BC，
所以线段BC的像与线段B′C′重合.
因为∠ABC=∠A′B′C′，
所以∠C′BC=∠A′BA.
(A)
B
(C)
由于旋转不改变图形的形状和大小，
又因为BA = B′A′，
所以在上述旋转下，BA的像与B′A重合，
从而AC的像就与A′C′ 重合，
于是△ABC的像就是△A′B′C′ .
因此△ABC ≌△A′B′C′.
(A)
B
(C)
（3）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图.
根据情形(1)(2)的结论得△A′′B′′C′′ ≌△A′B′C′.
将△ABC作平移，使顶点B的像B′′和顶点B′重合，
因此△ABC ≌△A′B′C′.
（4）△ABC 和△A′B′C′的位置关系如图.
将△ABC作关于直线BC的轴反射，
△ABC在轴反射下的像为△A′′BC.
由于轴反射不改变图形的形状和大小，
得△ABC≌△A′′BC.
根据情形（3）的结论得△A′′BC≌△A′B′C′.
因此△ABC ≌△A′B′C′.
在△ABC 和△ DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF（SAS）．
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“SAS ”）．
“边角边”判定方法
几何语言：
AB = DE，
∠A =∠D，
AC =AF ，
A
B
C
D
E
F
必须是两边“夹角”
知识要点
例1 如图，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO.
求证：△ ACO ≌△ BDO .
分析:
△ ACO ≌ △ BDO.
边:
角:
边:
AO=BO(已知)，
∠AOC= ∠BOD(对顶角)，
(SAS)
CO=DO(已知).
？
典例精析
证明：
在△ACO和△BDO中，
∴ △ACO≌△BDO（SAS）.
AO = BO，
∠AOC =∠BOD (对顶角相等)，
CO = DO，
方法小结：证明三角形全等时，如果题目所给条件不充足，我们要充分挖掘图形中所隐藏的条件.如对顶角相等、公共角（边）相等等.
变式1: 已知：如图，AB = CB，∠1 = ∠2.
求证:(1) AD = CD；
(2) DB 平分∠ ADC.
A
D
B
C
1
2
4
3
在△ABD与△CBD中
证明:
∴△ABD ≌ △CBD（SAS）
AB = CB (已知）
∠1=∠2 （已知）
BD = BD （公共边）
∴AD = CD，∠3 =∠4
∴DB 平分∠ ADC.
A
B
C
D
变式2: 已知:AD = CD，DB平分∠ADC ，求证:∠A =∠C.
1
2
在△ABD与△CBD中
证明:
∴△ABD ≌ △CBD（SAS）
AD = CD (已知）
∠1=∠2 （已证）
BD = BD （公共边）
∴∠A =∠C.
∵DB 平分∠ ADC.
∴∠1=∠2
练 习
1.如图，将两根钢条AA'和BB′的中点O连在一起，使钢条可以绕点O自由转动，就可做成测量工件内槽宽度的工具(卡钳).只要量出A'B'的长，就得出工件内槽的宽AB.这是根据什么道理呢？
此工具是根据三角形全等制作而成的.
∵O是AA'，BB'的中点，
∴AO = A′O， BO = B′O，
又∵∠AOB与∠A'OB'是对顶角，
∴∠AOB =∠A′OB’，
在△AOB和△A'OB′中，
证明：
AO = A′O（已证）
∠AOB=∠A′OB′ （已证）
BO=OB ′ （已证）
∴△AOB≌△A′OB′ (SAS)，
∴A′B'= AB，
∴只要量出A'B'的长度，就可以得到工件
的内径AB的长度.
2.如图，AD//BC，AD = BC.问：△ADC 和 CBA 是全等三角形吗？为什么？
△ADC≌△CBA，
理由如下：∵AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA
∵在△ADC和△CBA中
AD=BC（已知）
∠DAC=∠BCA（已证）
AC=CA（公共边）
∴△ADC≌△CBA(SAS)
证明：
3.已知：如图，AB=AC，点E，F分别是AC，AB的中点.
求证：BE=CF.
∵AB=AC，点E，F分别是AC，AB的中点，
∴AE=AF，
在△ABE和△ACF中
AE=AF（已证）
∠A=∠A（公共角）
AB=AC（已知）
∴△ABE≌ △ACF(SAS)
∴BE=CF
证明：
4.如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.
求证：△AFD ≌ △CEB.
F
A
B
D
C
E
证明：
∵AD//BC，
∴ ∠A=∠C，
∵AE=CF，
在△AFD和△CEB中，
AD=CB
∠A=∠C
AF=CE
∴△AFD≌△CEB（SAS）.
∴AE+EF=CF+EF，
即 AF=CE.
(已知），
(已证），
(已证），
5.如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，求证：BC=AD.
A
B
C
D
证明:在△ABC与△BAD中
AC=BD，
∠CAB=∠DBA，
AB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
(已知)
(已知)
(公共边)
∴BC=AD
（全等三角形的对应边相等）.
5.小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH， ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流.
E
F
D
H
解：能.在△EDH和△FDH中 ，
ED=FD，（已知）
∠EDH=∠FDH，（已知）
DH＝DH，（公共边）
∴△EDH≌△FDH（SAS），
∴EH=FH.(全等三角形对应边相等）
课堂小结
本课结束(共28张PPT)
2.5 全等三角形
第4课时 全等三角形的判定(SSS)
1.掌握判定三角形全等的“边边边” 的条件，并会运用；（重点、难点）
2.全面掌握三角形的稳定性，并会运用三角形的稳定性去解决实际问题.
3.熟练掌握全等三角形的判定定理，全面认清条件，能正确地利用判定条件判定三角形全等；（重点、难点）
学习目标
探 究
如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果AB=A′B′，BC
= B′C′，AC= A′C′ ，那么△ABC与△A′B′C′全等吗？
如果能够说明∠A=∠A′，那么就可以由“边角边”得出△ABC≌△A′B′C′.
一、用“SSS” 判定两个三角形全等
由上述变换性质可知△ABC ≌ △A″B′C′ ，
则 AB= A″B′ =A′B′ ， AC= A″C′ =A′C′，
连接A′A″
将△ABC作平移、旋转和轴反射等变换，使BC的像 B″C″ 与 B′C′ 重合，并使点A的像A″与点A′ 在 B′C′ 的两旁，△ABC在上述变换下的像为△A″B″C″
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
从而∠1+∠3=∠2+∠4，即 ∠B′A′C′ = ∠B′A″C′ .
∵ A′B′= A″B′ ，A′C′= A″C′ ，
在 △A′B′C′ 和 △A″B′C′ 中，
∴ △A′B′C′ ≌ △A″B′C′（SAS）.
∴ △ABC ≌ △A′B′C′.
，
，
，
在△ABC 和△ DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）．
三边对应相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”）
“边边边”判定方法
几何语言：
AB=DE （已知），
BC=EF （已知），
CA=FD （已知），
A
B
C
D
E
F
知识要点
例7 已知：如图，AB=CD ，BC=DA.
求证： ∠B=∠D.
证明：
在△ABC和△CDA中，
∴ △ABC≌△CDA(SSS).
AB=CD，
BC=DA，
AC=CA(公共边)，
∴ ∠B =∠D.
典例精析
例8 已知：如图，AC与BD相交于点O，且AB=DC， AC=DB．
求证：∠ A=∠D．
证明：连接 BC．
在△ABC和△DCB中，
∴ △ABC≌△DCB（SSS）.
AB = DC，
BC = CB，
AC = DB，
∴ ∠A=∠D.
练习 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，且AD=AE，BE=CD.
求证：△ABD≌△ACE.
证明 ∵ BE = CD，
∴ BE-DE = CD-DE.
即 BD = CE.
在△ABD和△ACE中，
∴ △ABD≌△ACE （SSS）.
AB = AC，
BD = CE，
AD = AE，
如图， C是BF的中点，AB = DC，AC = DF.
求证:△ABC ≌ △DCF.
在△ABC 和△DCF中，
AB = DC
∴ △ABC ≌ △ DCF
(已知)
(已证)
AC = DF
BC = CF
证明：∵C是BF中点，
∴ BC=CF.
(已知)
(SSS).
针对训练
已知: 如图，点B、E、C、F在同一直线上 ， AB = DE ，
AC = DF，BE = CF .
求证: （1）△ABC ≌ △DEF；（2）∠A=∠D.
证明:
∴ △ABC ≌ △DEF ( SSS )
在△ABC 和△DEF中
AB = DE
AC = DF
BC = EF
(已知)
(已知)
(已证)
∵ BE = CF
∴ BC = EF
∴ BE+EC = CF+CE
（1）
（2）∵ △ABC ≌ △DEF（已证）
∴ ∠A=∠D（全等三角形对应角相等）
变式题
A
B
C
F
D
E
理解“稳定性”
由“边边边”可知，只要三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性.
二、三角形的稳定性
这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.
三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.如日常生活中的定位锁、房屋的人字梁屋顶等都采用三角形结构，其道理就是运用三角形的稳定性.
定位锁
人字梁屋顶
练 习
1.如图，已知AD=BC，AC = BD.那么∠1与∠2相等吗？
证明：在△ABD和ABAC中
AD=BC (已知)
AC=BD(已知)
AB = BA(公共边)
∴△DAB≌BAC(SSS)
∴∠1=∠2
A
B
C
D
1
2
2.如图，点A，C，B、D在同一条直线上，AC=BD，AE=CF，BE=DF.
求证：AE//CF，BE//DF.
证明：∵AC=BD，
∴AC + CB = BD + CB，即AB = CD.
在△AEB 与△CFD中，
AE=CF(已知)，
AB=CD(已证），
BE=DF(已知)，
∴△AEB≌△CFD(SSS).
∴∠A=∠FCD，
∴AE// CF.
∴∠EBA=∠FDC，
∴BE// DF.
议 一 议
根据下列条件，分别画出△ABC和△A'B'C'，并思考△ABC和△A'B'C'( 一定全等吗？由此你能得出什么结论？(1)AB=A'B′=3cm，AC=A'C'=2.5cm，∠B=∠B'=45°；(2)∠A=∠A'=80°，∠B=∠B'=30°，∠C=∠C'=70°.
三、全等三角形成立的条件
想一想：
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？
B
A
C
D
△ABC和△ABD满足
AB=AB ，
AC=AD，
∠B=∠B，
但△ABC与△ABD不全等.
探究活动1：SSA能否判定两个三角形全等
(1)AB=A'B′=3cm，AC=A'C'=2.5cm，∠B=∠B'=45°；
A
B
C
45°
3cm
2.5cm
A
B
C
45°
3cm
2.5cm
满足条件(1)的两个三角形不一定全等，由此得出：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等.
A
B
C
A′
B′
C′
探究活动2：AAA 能否判定两个三角形全等
结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等.
(2)∠A=∠A'=80°，∠B=∠B'=30°，∠C=∠C'=70°.
A
B
C
30°
80°
70°
A
B
C
30°
80°
70°
满足条件(2)的两个三角形不一定全等，由此得出：三角分别相等的两个三角形不一定全等。
例9 已知：如图，AB=CD，BC= DA，E，F是AC上的两点，且AE = CF.
求证：BF =DE.
证明：在△ABC和△CDA中，
∴ △ABC≌△CDA（SSS）.
∴ ∠BCF =∠DAE.
AB = CD，
BC = DA ，
AC = CA（公共边） ，
在△BCF和△DAE中，
∴ △BCF≌△DAE（SSS）.
∴ BF = DE.
BC = DA，
∠BCF = ∠DAE，
CF = AE，
典例精析
练习 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在点E移动的过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．
解：相等．理由如下：
在△ABC和△ADC中，
AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠DAE＝∠BAE.
在△ADE和△ABE中，
AB＝AD，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE，
∴△ADE≌△ABE(SAS)，∴BE＝DE.
例10 某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道．为估测这条隧道的长度，需测出这座山A，B间的距离，结合所学知识，你能给出什么好方法吗？
在△AOB与△A′OB′中，
解：
OA = OA′，
∠AOB =∠A′OB′ ，
OB = OB′ ，
∴△ACD≌△BCD（SSS）．
选择适当的地点O，连接AO并延长至A′，使OA′=OA；连接BO并延长至B′，使OB′=OB，连接A′B′，如图．
∴∠A=∠B．
1.已知：如图，AB=AD，BC=DC.求证：∠B=∠D.
练 习
A
B
C
D
证明：连接AC
在△ACB和△ACD中，
AB=AD，
AC=AC，
BC=DC.
∴△ACB≌△ACD(SSS)，
∴∠B=∠D.
2. 如图，在△ABC和△DEC中，已知一些相等的边或角（见下表），请再补充适当的条件，从而能运用已学的判定方法来判定△ABC≌△DEC.
已知条件 补充条件 判定方法
AC=DC，∠A=∠D SAS
∠A=∠D，AB=DE ASA
∠A=∠D，AB=DE AAS
AC=DC，AB=DE SSS
AB=DE
∠B=∠E
∠ACB=∠DCE
BC=EC
课堂小结
本课结束(共28张PPT)
2.5 全等三角形
第3课时 全等三角形的判定
(ASA和AAS)
1.能利用“角边角”判定两个三角形全等；（重点）
2.通过证三角形全等来证明线段相等或角相等.（难点）
3.会用“角角边” 判定定理去证明三角形全等；（重点、难点）
4.会寻找已知条件，并准确运用相关定理去解决实际问题.
学习目标
探 究
如图，在△ABC和 △A′B′C′中，如果BC =B′C′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，你能通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的像与△A′B′C′重合吗？那么△ABC与△A′B′C′全等吗？
C'
A'
B'
B
A
C
一、用“ASA”判定两个三角形全等
类似于基本事实“SAS”的探究，同样地，我们可以通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的像与△A′B′C′重合，因此△ABC ≌△A′B′C′.
在△ABC 和△ DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF（SAS）．
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
(简写成“角边角”或“ASA”）.
“角边角”判定方法
几何语言：
∠A=∠A′ （已知），
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
A
B
C
A ′
B ′
C ′
知识要点
例3 已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D.
求证：△ABE≌△CDF.
证明： ∵ AB∥DC，
∴ ∠A=∠C.
在△ABE和△CDF中，
∴ △ABE≌△CDF （ASA）.
∠A=∠C，
AB = CD，
∠B=∠D，
典例精析
变式： 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
求证：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
证明：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
B
C
A
D
如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别图中的两个三角形是否全等，并说明理由.
不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.
A
B
C
D
易错点：判定全等的条件中，必须是对应边相等，
对应角相等，否则不能判定.
议 一 议
例3 如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D点，使D，E，B恰好在一条直线上. 于是小军说：“CD的长就是河的宽度.”你能说出这个道理吗？
A
B
E
C
D
解：
在△AEB和△CED中，
∠A =∠C = 90°，
AE = CE，
∠AEB =∠CED (对顶角相等)，
∴ △AEB≌△CED（ASA）.
∴ AB=CD (全等三角形的对应边相等).
因此，CD的长就是河的宽度.
练 习
1.如图，工人师傅不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，现要到玻璃店重新配一块与原来一样的三角形玻璃，只允许带其中的一块玻璃碎片去，请问应带哪块玻璃碎片去？为什么？
1
2
3
①中一个角确定，但是边不确定，不能保证与原来的三角形一样，
③中确定两角及夹边，即两角及其夹边相等的两个三角形全等，故应该带③去，
②中边角都不确定，不能保证与原来三角形一样，
2. 已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，CF，C′F′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线.
求证：CF=C′F′.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∠A =∠A′ ,
∠ACB =∠A′C′B′.
∴ AC=A′C′，
∴ CF=C′F′.
又∵CF，C′F′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线，
∴ ∠ACF=∠A′C′F′.
∴ △ACF≌△A′C′F′
3.如图，已知AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E， 求证：BC=ED.
证明：∵∠1=∠2，
∴ ∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即∠EAD=∠BAC.
在△AED和△ABC中，
∠E=∠B，
AE=AB，
∠EAD=∠BAC，
∴△AED≌△ABC(ASA)，
∴BC=ED.
∵
A
B
E
C
D
1
2
二、用“AAS” 判定两个三角形全等
动 脑 筋
如图，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，∠B=∠B'，BC=B'C'，那么△ABC和△A'B'C'全等吗？
根据三角形内角和定理，可将上述条件转化为满足“ASA”的条件，从而可以证明△ABC≌△A'B'C'.
在△ABC 和 △A′B′C′ 中，
∵ ∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，
∴ ∠C =∠C′.
又∵ BC = B′C′ ，∠B=∠B′，
∴ ∠ABC ≌∠A′B′C′ (ASA).
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（简写成“角角边”或“AAS”）.
“角角边”判定方法
几何语言：
∠A =∠A′（已知），
∠B =∠B′ （已知），
AC = A′C ′（已知），
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （AAS）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
知识要点
例5 已知：如图，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADC.
证明 ∵∠1 =∠2，
∴∠ACB=∠ACD（同角的补角相等）.
在△ABC和△ADC中，
∴ △ABC≌△ADC （AAS）.
∠B =∠D，
∠ACB =∠ACD，
AC = AC，
典例精析
例6 已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC∥FD，∠A=∠D，BF=EC.
求证：△ABC≌△DEF.
证明： ∵ AC∥FD，
∴∠ACB =∠DFE.
∵ BF= EC，
∴ BF+FC=EC+FC，
即 BC=EF .
在△ABC 和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF（AAS）.
∠A =∠D，
∠ACB =∠DFE，
BC = EF，
变1 如图，点B、F、C、D在同一条直线上，AB=ED，AB∥ED，AC∥EF.
求证：△ABC≌△EDF；BF=CD.
B
F
C
D
E
A
证明:∵ AB∥ED，AC∥EF(已知)，
∴∠B=∠D，∠ACB＝∠EFD．
(两直线平行，内错角相等)
在△ABC和△EDF中，
∠B＝∠D（已证），
∠ACB＝∠EFD（已证），
AB＝ED（已知），
∴ △ABC≌△EDF（AAS）
∴BC=DF，∴BF=CD.
变2 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.
求证：(1)△BDA≌△AEC；
证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵AB⊥AC，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA=90°，
∠ABD＝∠CAE，
AB＝AC，
∴△BDA≌△AEC(AAS).
(2)DE＝BD＋CE.
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
证明：∵△BDA≌△AEC，
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
如图，已知△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝ A′D′ ，并用一句话说出你的发现.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
知识拓展
解：因为△ABC ≌△A′B′C′ ，
所以AB=A'B'，∠ABD=∠A'B'D'.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'=90°.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证），
∠ABD=∠A'B'D'（已证），
AB=A'B'（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
全等三角形对应边上的高也相等.
1. 已知：如图，∠1=∠2，AD=AE. 求证：△ADC≌△AEB.
∴ △ADC≌△AEB（AAS）.
∠1 =∠2，
∠A =∠ A，
AD = AE，
证明
∵ 在△ADC 和△AEB中，
练 习
2. 已知：在△ABC中，∠ABC =∠ACB， BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E.
求证：BD=CE.
证明： ∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∵ 在△CDB和△BEC中，
∠ACB=∠ABC，
BC = BC ，
∴ △CDB≌△BEC（AAS）.
∠CDB=∠BEC =90°，
∴ BD = CE.
∴ ∠CDB=∠BEC =90°.
3.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2， 求证：AB=AD.
A
C
D
B
1
2
证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴ ∠ B=∠D=90 °.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2 （已知），
∠ B=∠D（已证），
AC=AC （公共边），
∴ △ABC≌△ADC（AAS)，
∴AB=AD.
课堂小结
本课结束
