第二章 平面向量及其应用 单元测试-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册（含答案）

第二章 平面向量及其应用 单元测试
一、单选题
1．已知在中，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，满足，，且与的夹角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
4．设向量与夹角的余弦值为，且，则（ ）
A． B． C．3 D．-3
5．若向量，，且与共线，则的值是（ ）
A．3 B．0 C． D．3或
6．在中，，点在线段上，点在线段上，且满足交于，则（ ）
A． B． C． D．
7．若非零向量满足，则必有（ ）
A． B． C． D．
8．在矩形ABCD中，，，圆M为矩形内恒与AB，BC相切的动圆，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．是向量的必要不充分条件
C．向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上
D．空间中任意两个向量，，则一定成立
10．已知与均为单位向量，其夹角为，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知向量，，，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
12．点是所在平面内一点，且，下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是边的中点
B．若点是边靠近点的三等分点，则
C．若点在边的中线上且，则点是的重心
D．若，则与的面积相等
三、填空题
13．已知向量满足，则__________.
14．已知平面向量，，求______.
15．已知向量与的夹角为，，，则______．
16．正方体棱长为1，为该正方体外接球表面上的两点，在正方体表面且不在直线上，若，则的最小值为__________．
四、解答题
17．的内角，，的对边分别为，，，在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题.①；②（其中为的面积）；③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)若，，求的值；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
18．已知向量的夹角为，且.
(1)求；
(2)当时，求实数m.
19．已知，，且与夹角为求：
(1)；
(2)与的夹角．
20．已知 为的内角所对的边，向量,,且.
(1)求角 ;
(2)若 的面积为为中点，求线段的长.
参考答案
一、单选题
1-4:BBDB 5-8：DCBD
二、多选题
9-12：AB ABD ABD AD
三、填空题
13．15
14．
15．
16．##0.5
四、解答题
17．(1).
(2).
【分析】对于①:由代入经三角恒等变换得；
对于②:由面积公式与数量积公式得；
对于③:使用余弦定理代入化简得.
在(1)中，使用余弦定理及其变形求得的值；
在(2)中，使用正弦定理将边化为角，用将转化为的三角函数，使用三角恒等变换化为一般式求范围.
（1）选择①:，
在中，，所以，
所以，
整理得，
即，因为，，
故，而，从而；
选择②:，则，所以，又，则；
选择③:，由余弦定理，
得，所以，
又，则；
若，，由余弦定理，
得，所以.
（2）由为锐角三角形及，得且，所以，
由正弦定理，得
，
因为，，，
所以，即的取值范围是.
18．(1)；
(2)12.
【分析】（1）利用向量数量积的运算律及已知求；
（2）由向量垂直可得，结合数量积的运算律列方程求参数值即可.
（1）
由，则.
（2）
由题设，则.
19．(1)12；
(2).
【分析】（1）根据平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可；
（2）根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
（1）
，，且与夹角为，
，，
，
；
（2）
，
，
，
设与的夹角为，
，
又，
所以，即与的夹角为．
20．(1)
(2).
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可求解；
（2）由面积公式及余弦定理可求解
（1）
因为，所以，由正弦定理得，即 ，
由余弦定理得 . 因为 ，所以 .
（2）
， 解得 .
因为 为中点，所以.
在 中，，即 ，
所以 .