第三章 圆锥曲线的方程 单元测试-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程 单元测试-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 566.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-21 19:46:38 | ||
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文档简介
第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．已知双曲线的左，右焦点分别为，P是右支上一点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，，，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（ ）
A． B． C．或 D．
4．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若，则F到l的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且斜率的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）．
A． B． C． D．
6．已知表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线经过椭圆的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知双曲线，则下列各选项正确的是（ ）
A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C的虚轴长为4
10．已知，则关于函数说法正确的是（ ）
A．函数在上为减函数 B．函数的图象的对称轴为
C．，使得 D．
11．已知的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则下列说法中正确的有（ ）
A．椭圆C的离心率的取值范围是
B．已知，当椭圆C的离心率为时，的最大值为3
C．存在点Q使得
D．的最小值为1
12．已知为椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，轴，垂足为(异于原点)，与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A．
B．面积的最大值为
C．周长的最小值为12
D．的最小值为
三、填空题
13．如果椭圆的焦点在轴上，且，则此椭圆的标准方程为_____________
14．已知椭圆C：的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是__.
15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”，“股”，则抛物线的方程为__．
16．已知、分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线，且，垂足为Q点．若四边形为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
四、解答题
17．在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
18．已知双曲线：的焦距为4，且过点
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.
19．已知曲线C上任意一点满足方程.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点的直线与曲线C在y轴右侧交点为E、F，求线段中点G的轨迹方程.
20．已知抛物线的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于，两点．
(1)若，求的值；
(2)若M是线段AN的中点，求直线的方程；
(3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由．
答案
一、单选题
1-4:CCBC 5-8：ABBD
二、多选题
9-12：BC AD ACD ABD
三、填空题
13． 14． 15． 16．
四、解答题
17．(1)证明见解析，
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）利用对称性可知为定值，结合双曲线定义可得点的轨迹的方程；
（2）直线所过定点，则由对称性得定点在轴上，设定点，三点共线得，从而可得定点.
（1）
解：由题意得，所以，
即的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，
又，，所以，
所以的方程为；
（2）解：由已知得：，：，
联立直线方程与双曲线方程，消去整理得，
由韦达定理得，所以，即，
所以，
联立直线方程与圆方程，消去整理得，
由韦达定理得，所以，即，
因为，即，所以，
若直线所过定点，则由对称性得定点在轴上，设定点，
由三点共线得，
即，
所以直线过定点．
18．(1)
(2)3
【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程，
（2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点的坐标，再利用表示出点的坐标，再表示出直线的方程，可求得直线过定点，从而可求得答案.
（1）由题意得，得，
所以，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
所以双曲线方程为，
（2），设直线方程为，，
由，得
则，
所以，
所以的中点，
因为，
所以用代换，得，
当，即时，直线的方程为，过点，
当时，，
直线的方程为，
令，得，
所以直线也过定点，
所以
19．(1)；
(2)
【分析】（1）结合双曲线定义即可判断；
（2）设点，，，得，两式作差，结合中点坐标公式、斜率公式有，即可求出G的轨迹方程
（1）设，，
则，等价于，
∴曲线C为以，为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为，
故曲线C的方程为；
（2）设点，，则
，两式作差得，
又G为线段中点，得，则
，即，
故G的轨迹方程为.
20．(1)
(2)
(3)在定直线上，理由见解析
【分析】（1）根据焦半径公式即可求出；
（2）设直线MN的方程，与抛物线联立即可利用M是线段AN的中点求出m，从而求出直线的方程；
（3）设，即可求出直线PM与QN的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在定直线上．
（1）根据题意，得
因为抛物线，所以准线为，
所以；
（2）由题意可知，直线的斜率不为0，故设直线的方程，
联立，消去，可得，
所以，即，，，
而M是线段AN的中点，所以，故，
解得，故，解得，
所以直线MN的方程为，即；
（3）直线MN的方程，设，
则，，
联立消去可得：，即，整理得：，
将，代入得，故，，
所以直线PM与QN的交点在定直线上．
一、单选题
1．已知双曲线的左，右焦点分别为，P是右支上一点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，，，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（ ）
A． B． C．或 D．
4．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若，则F到l的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且斜率的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）．
A． B． C． D．
6．已知表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线经过椭圆的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知双曲线，则下列各选项正确的是（ ）
A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C的虚轴长为4
10．已知，则关于函数说法正确的是（ ）
A．函数在上为减函数 B．函数的图象的对称轴为
C．，使得 D．
11．已知的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则下列说法中正确的有（ ）
A．椭圆C的离心率的取值范围是
B．已知，当椭圆C的离心率为时，的最大值为3
C．存在点Q使得
D．的最小值为1
12．已知为椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，轴，垂足为(异于原点)，与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A．
B．面积的最大值为
C．周长的最小值为12
D．的最小值为
三、填空题
13．如果椭圆的焦点在轴上，且，则此椭圆的标准方程为_____________
14．已知椭圆C：的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是__.
15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”，“股”，则抛物线的方程为__．
16．已知、分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线，且，垂足为Q点．若四边形为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
四、解答题
17．在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
18．已知双曲线：的焦距为4，且过点
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.
19．已知曲线C上任意一点满足方程.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点的直线与曲线C在y轴右侧交点为E、F，求线段中点G的轨迹方程.
20．已知抛物线的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于，两点．
(1)若，求的值；
(2)若M是线段AN的中点，求直线的方程；
(3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由．
答案
一、单选题
1-4:CCBC 5-8：ABBD
二、多选题
9-12：BC AD ACD ABD
三、填空题
13． 14． 15． 16．
四、解答题
17．(1)证明见解析，
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）利用对称性可知为定值，结合双曲线定义可得点的轨迹的方程；
（2）直线所过定点，则由对称性得定点在轴上，设定点，三点共线得，从而可得定点.
（1）
解：由题意得，所以，
即的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，
又，，所以，
所以的方程为；
（2）解：由已知得：，：，
联立直线方程与双曲线方程，消去整理得，
由韦达定理得，所以，即，
所以，
联立直线方程与圆方程，消去整理得，
由韦达定理得，所以，即，
因为，即，所以，
若直线所过定点，则由对称性得定点在轴上，设定点，
由三点共线得，
即，
所以直线过定点．
18．(1)
(2)3
【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程，
（2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点的坐标，再利用表示出点的坐标，再表示出直线的方程，可求得直线过定点，从而可求得答案.
（1）由题意得，得，
所以，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
所以双曲线方程为，
（2），设直线方程为，，
由，得
则，
所以，
所以的中点，
因为，
所以用代换，得，
当，即时，直线的方程为，过点，
当时，，
直线的方程为，
令，得，
所以直线也过定点，
所以
19．(1)；
(2)
【分析】（1）结合双曲线定义即可判断；
（2）设点，，，得，两式作差，结合中点坐标公式、斜率公式有，即可求出G的轨迹方程
（1）设，，
则，等价于，
∴曲线C为以，为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为，
故曲线C的方程为；
（2）设点，，则
，两式作差得，
又G为线段中点，得，则
，即，
故G的轨迹方程为.
20．(1)
(2)
(3)在定直线上，理由见解析
【分析】（1）根据焦半径公式即可求出；
（2）设直线MN的方程，与抛物线联立即可利用M是线段AN的中点求出m，从而求出直线的方程；
（3）设，即可求出直线PM与QN的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在定直线上．
（1）根据题意，得
因为抛物线，所以准线为，
所以；
（2）由题意可知，直线的斜率不为0，故设直线的方程，
联立，消去，可得，
所以，即，，，
而M是线段AN的中点，所以，故，
解得，故，解得，
所以直线MN的方程为，即；
（3）直线MN的方程，设，
则，，
联立消去可得：，即，整理得：，
将，代入得，故，，
所以直线PM与QN的交点在定直线上．