1.3、空间向量运算的坐标表示
考点一、空间向量坐标运算
1、（多选）已知向量，下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2、（多选）已知向量，，， 下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3、已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（ ）
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
4、已知且，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5、已知，，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6、（多选）已知向量，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7、已知，，．求：
（1）； （2）．
8、已知，，求：
（1）； （2）； （3）； （4），
9、已知，，求，，，，．
10、在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．
（1）求点P关于x轴的对称点的坐标；
（2）求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
（3）求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标
11、如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系．
（1）求点的坐标；
（2）求点的坐标．
考点二 空间向量中数量积的坐标运算
1、下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
2、已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
3、若，，，，，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
4、与向量共线的单位向量是（ ）．
A． B．
C．和 D．和
5、已知向量，以为邻边的平行四边形的面积（ ）
A． B． C．4 D．8
6、(多选)已知，且∥，则（ ）
A．x＝ B．x＝
C．y＝－ D．y＝－4
7、已知，，若，则等于（ ）
A．1 B．2 C． D．3
8、已知，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
9、已知空间向量，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
10、已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11、若＝(－4，6，－1)，＝(4，3，－2)，，且⊥，⊥，则＝________．
12、已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为________________.
13、在空间直角坐标系中，已知，，点分别在轴，轴上，且，那么的最小值是______.
14、已知，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围为_____．
15、已知， ，若，则________．
16、已知空间向量，，若，则____________.
17、在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则实数a的值为_________.
18、已知，且与夹角为钝角，则x的取值范围为___________
19、从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，求异面直线与所成角的余弦值.
问题：如图，在长方体中，以D为原点建立空间直角坐标系，已知，___________.
20、已知空间三点.
（1）若点在直线上，且，求点的坐标；
（2）求以为邻边的平行四边形的面积.
21、已知向量，.
（1）若，求实数；
（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围.
22、已知点，，．
（1）若D为线段的中点，求线段的长；
（2）若，且，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值．
23、已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若，且分别与，垂直，求向量的坐标；
(2)若∥，且，求点P的坐标．
考点三、 建立空间坐标
1、如图，将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
2、如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3、设，向量且，则（ ）
A． B． C．3 D．4
4、如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则 （ ）
A． B．2:6 C． D．
已知为单位正交基底，且，，则向量与向量的坐标分别为___________ ___________.
6、在正方体中，分别为的中点，则___________；___________.
7、已知直四棱柱的高为4，底面边长均为2，且，P是侧面内的一点，若，则的最小值为___________.
8、如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值围是_______________________．
9、如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
（1）求BN的长；
（2）求A1B与B1C所成角的余弦值；
10、如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值．
11、如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求的长；
（2）求cos<>的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.1.3 空间向量运算的坐标表示
考点一、空间向量坐标运算
1、（多选）已知向量，下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：BCD
解析：A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；
B.左边
右边，左边=右边，因此正确.
C.
左边，右边左边=右边，因此正确.
D.由C可得左边=，
左边=右边，因此正确.故选：BCD
2、（多选）已知向量，，， 下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：BCD
解析：由题，所以
不相等，所以A选项错误；
，所以，所以B选项正确；
，所以C选项正确；
，
即，，所以D选项正确.
故选：BCD
3、已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（ ）
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
答案：A
解析：．故选：A
4、已知且，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：C
解析：由已知，解得．故选：C．
5、已知，，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：设点为，又∴，
∵，∴
即, D点坐标 故选D
6、（多选）已知向量，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：BC
解析：向量，，，，故正确；
，1，，故错误；，故错误；，故正确．
故选：．
7、已知，，．求：
（1）； （2）．
答案：（1）9，（2）
解析：1）因为，，
所以，
因为，
所以，
（2）因为，，，
所以
8、已知，，求：
（1）； （2）；
（3）； （4），
答案：（1），（2），（3），（4）.
解析：因为，
（1）所以，
（2）
（3）
（4）
9、已知，，求，，，，．
答案：；；；；
.
解析：；
；
；
；
.
10、在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．
（1）求点P关于x轴的对称点的坐标；
（2）求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
（3）求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标
答案：（1）(－2，－1，－4)；（2）(－2，1，－4)；（3）(6，－3，－12)．
解析：（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
（2）由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4)．
（3）设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，
可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3(6，－3，－12)．
11、如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系．
（1）求点的坐标；
（2）求点的坐标．
答案：（1），，，，，，，；（2）.
解析：（1）为坐标原点，则，
点在轴的正半轴上，且，，
同理可得：，．
点在坐标平面内，，，，
同理可得：，，
与的坐标相比，点的坐标中只有坐标不同，，．
综上所述：，，，，，，，.
（2）由（1）知：，，
则的中点为，即.
考点二 空间向量中数量积的坐标运算
1、下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
答案：A
解析：由，，得，所以，则A正确，B错；
由，，得，且，所以不平行也不垂直，则C，D错．故选：A
2、已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：因为向量，，与夹角的余弦值为，
所以，
整理得(其中)，解得（负值舍去）.故选：A.
3、若，，，，，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
答案：C
解析：因为，，，，，
所以，则，即，
所以，
当且仅当，即时，取得最小值，则的最小值为.
故选：C.
4、与向量共线的单位向量是（ ）．
A． B．
C．和 D．和
答案：D
解析：，，
，，
且，，
故与向量共线的单位向量是或，
故选：D
5、已知向量，以为邻边的平行四边形的面积（ ）
A． B． C．4 D．8
答案：A
解析：由题意，，则，所以平行四边形的面积为，故选A.
6、(多选)已知，且∥，则（ ）
A．x＝ B．x＝
C．y＝－ D．y＝－4
答案：BD
解析：因为
所以，，
因为 ∥，所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，所以x＝，y＝－4．
故选：BD
7、已知，，若，则等于（ ）
A．1 B．2 C． D．3
答案：B
解析：，，即，解得：.故选：B
8、已知，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
答案：B
解析：因为，，所以，
则，当时，的最小值是，故选：B
9、已知空间向量，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
答案：A
解析：因为，，而，故A不正确；
因为，，所以，故B正确；
因为，故C正确；
又，故D正确.故选：A
10、已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：设，
由点在直线上，可得存在实数使得，
即，可得,
所以,
则，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.
故选：C.
11、若＝(－4，6，－1)，＝(4，3，－2)，，且⊥，⊥，则＝________．
答案：或
解析：解：设＝(x，y，z)，
由题意有，解得
或
故答案为：或
12、已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为________________.
答案：
解析：根据题意，点在直线上运动，，1，；
设，，，
，，，，
，
当时，取得最小值．
此时点的坐标是，，，
故答案为：
13、在空间直角坐标系中，已知，，点分别在轴，轴上，且，那么的最小值是______.
答案：
解析：设，0，，，，，
，0，，，1，-，
，，
，
，
即．
，
．（当时取最小值）
故答案为：
14、已知，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围为_____．
答案：
解析：由，，
所以，解得
若与反向，则
则，所以
所以与的夹角为钝角则且
综上的范围是．
故答案为：
15、已知， ，若，则________．
答案：
解析：因为，
所以，，，
又
所以
所以，解得或
因为，所以，
所以，
故答案为：
16、已知空间向量，，若，则____________.
答案：
解析：因为，，且
所以存在，使得，所以
即解得
所以
故答案为：
17、在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则实数a的值为_________.
答案：
解析：由题意，
所以，
解得.
故答案为：
18、已知，且与夹角为钝角，则x的取值范围为___________
答案：
解析：由题可知，即，解得且
故答案为：
19、从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，求异面直线与所成角的余弦值.
问题：如图，在长方体中，以D为原点建立空间直角坐标系，已知，___________.
答案：条件选择见解析；值为：.
解析：选①.
∵，
∴，
∴，
即.
∴，
∴，
∵，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
选②.
设，其中，
从而，
∴.
∵，∴，
由于，所以.
∴，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
选③.
，
∴，
∴.
解法同①.
20、已知空间三点.
（1）若点在直线上，且，求点的坐标；
（2）求以为邻边的平行四边形的面积.
答案：（1）；（2）.
解析：（1），点在直线上，
设，
，
，
，
，，.
（2），
，
，，
，
所以以为邻边得平行四边形的面积为.
21、已知向量，.
（1）若，求实数；
（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围.
答案：（1）；（2）且.
解析：（1）由已知可得，，，
因为，所以，可得.
（2）由（1）知，，，
因为向量与所成角为锐角，
所以，解得，
又当时，，可得实数的范围为且.
22、已知点，，．
（1）若D为线段的中点，求线段的长；
（2）若，且，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值．
答案：（1）；（2）．
解析：（1）由题意，点，且点D为线段的中点，
可得，则，所以，
即线段的长为．
（2）由点，，则，
所以，解得，所以，
则，
即向量与夹角的余弦值为．
23、已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若，且分别与，垂直，求向量的坐标；
(2)若∥，且，求点P的坐标．
答案：（1）或；（2）或
解析：(1)=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2）．
设=（x，y，z），
∵||=，且分别与、垂直，
∴，
解得，或．
∴=（1，1，1），（﹣1，﹣1，﹣1）．
(2)因为∥，所以可设．
因为＝(3，－2，－1)，
所以＝(3λ，－2λ，－λ)．
又因为，
所以，
解得λ＝±2.
所以＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y－2，z－3)．
所以或
解得或
故所求点P的坐标为(6，－2,1)或(－6,6,5)．
考点三、 建立空间坐标
1、如图，将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
答案：A
解析：记正方形的对角线交于点，连接，所以，
因为二面角为直二面角，且，平面平面，
所以平面，建立空间直角坐标系如下图所示：
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：A.
2、如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点.
可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时.
在点D处建立如图所示空间直角坐标系，
则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以,
又点F距平面的距离为1，所以,
的最小值为.
故选：D
3、设，向量且，则（ ）
A． B． C．3 D．4
答案：C
解析：因为，所以存在使得，
所以，解得，所以，
因为，所以，得，所以，
所以，
所以.
故选：C
4、如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则 （ ）
A． B．2:6 C． D．
答案：A
解析：如下图，以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
解得，
∴，，
∴．
故选：A
已知为单位正交基底，且，，则向量与向量的坐标分别为___________ ___________.
答案：
解析：∵，，
∴，
∴，
∴
，
则．故答案为：，
6、在正方体中，分别为的中点，则___________；___________.
答案：
解析：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴 y轴 z轴建立直角坐标系
设正方体棱长为1，则
.
故答案为：；
7、已知直四棱柱的高为4，底面边长均为2，且，P是侧面内的一点，若，则的最小值为___________.
答案：
解析：直四棱柱的高为4，底面边长均为2，且
故平面，四边形为菱形，，
故如图建立空间直角坐标系，则，，，设点，
则，由于，
所以，即：，
故令，，
所以
，
所以
故答案为：
8、如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值围是_______________________．
答案：
解析：当弦的长度最大时，弦过球心，
如图，建立空间直角坐标系，不妨设是上下底面的中心，
则，，
，，，
则
，
而表示点和定点距离的平方，很显然正方体的顶点到定点距离的平方最大，最大值是 正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是，所以的最小值是，最大值是.
故答案为：
9、如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
（1）求BN的长；
（2）求A1B与B1C所成角的余弦值；
答案：（1）；（2）.
解析：（1）如图所示，建立空间直角坐标系C xyz.依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴||＝＝，∴线段BN的长为.
（2）依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2)，
＝(0，1，2)，∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又||＝，||＝.
∴cos〈〉＝＝.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
10、如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值．
答案：
解析：
以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为2，则
所以,
设CM和所成角为，则,
所以CM和所成角的余弦值为.
11、如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求的长；
（2）求cos<>的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
答案：（1）；（2）；（3）证明见解析.
解析：以为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
（1）则，
；
（2）则，
，
，
∴﹤﹥=.
（3）则，
，
，
，
∴A1B⊥C1M.
