中小学教育资源及组卷应用平台
第23章 旋转
1．（2021秋 沈阳月考）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O是坐标原点，AO＝AB＝5，OB＝6．21·世纪*教育网
（1）求点A的坐标；
（2）将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，求点O的对应点O′的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）如图，过点A作AC⊥OB于点C，则∠ACO＝90°，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求出OC，AC，可得结论；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）由旋转的性质可知，△AOB≌△A′ ( http: / / www.21cnjy.com )O′B，推出A′B＝AB＝5，O′B＝OB＝6，过点O′作O′D⊥A′B于点D，利用面积法求出O′D，再利用勾股定理求出BD，OD，可得结论．
完整解答：解：（1）如图，过点A作AC⊥OB于点C，则∠ACO＝90°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AO＝AB，AC⊥OB，
∴OC＝BC＝3，
在Rt△ACO中，∠ACO＝90°，
∴AC＝＝＝4，
∴点A的坐标为（3，4）；
（2）由旋转的性质可知，△AOB≌△A′O′B，
∴A′B＝AB＝5，O′B＝OB＝6，
过点O′作O′D⊥A′B于点D，
∵S△AOB＝S△A′O′B，
∴ AC OB＝ A′B O′D，
∴×4×6＝×5×O′D，
∴O′D＝，
∵O′D⊥A′B，
∴∠O′DA′＝90°，
在Rt△O′BD中，BD＝＝＝，
∴OD＝OB+BD＝6+＝，
∴O′（，）．
2．（2021秋 鼓楼区校级月考）在如图所示的网格中按要求画出图形，并回答问题：
（1）画出△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
完整解答：解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com / )
3．（2021 海港区模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )C、D、E三点在线段AB上，且AC＝CE＝ED＝DB＝1，将线段AC绕点C按顺时针方向旋转α度（0＜α＜180），点A的对应点为点A1.同时将线段DB绕点D按逆时针方向旋转β度（0＜β＜360），点B的对应点为点B1，连接A1D和B1C．【版权所有：21教育】
（1）若β＝α（如图1），A1D和B1C的交点为F．
①求证：△A1CD≌△B1DC．
②求证：△FCD为等腰三角形．
（2）若β＝2α，当△A1CD≌△B1DC时，α＝ 120° ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）①通过SAS即可证明△A1CD≌△B1DC；
②由△A1CD≌△B1DC，得∠A1DC＝∠B1CD，从而△FCD为等腰三角形；
（2）由全等可知∠A1CD＝∠B1DC，得180°﹣α＝β﹣180°，再由β＝2α，代入即可．
完整解答：（1）证明：①∵β＝α即∠ACA1＝∠BDB1，
∵∠ACA1+∠A1CD＝∠BDB1+∠B1DC＝180°，
∴∠A1CD＝∠B1DC，
在△A1CD和△B1DC中，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△A1CD≌△B1DC（SAS）；
②∵△A1CD≌△B1DC，
∴∠A1DC＝∠B1CD，
∴FC＝FD，
∴△FCD为等腰三角形；
（2）解：根据题意，若β＝2α，当△A1CD≌△B1DC时，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠A1CD＝∠B1DC，
∴180°﹣α＝β﹣180°，
∵β＝2α，
∴180°﹣α＝2α﹣180°，
∴α＝120°，
故答案为：120°．
4．（2021秋 仙桃校级月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0），点A的坐标为（5，2）．如果将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA'，求点A'的坐标．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：过A作AC⊥x轴， ( http: / / www.21cnjy.com )过A′作A′D⊥x轴，由旋转的性质得到AB＝A′B，且∠ABA′为90°，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ABC与三角形A′BD全等，利用全等三角形对应边相等得到BD＝AC，A′D＝BC，根据A与B的坐标求出OD与A′D的长，即可确定出A′的坐标
完整解答：解：过A作AC⊥x轴，过A′作A′D⊥x轴，由旋转的性质得到AB＝A′B，且∠ABA′＝90°，www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠ABC+∠A′BD＝90°，
∵∠A′BD+∠A′＝90°，
∴∠ABC＝∠A′，
在△A′BD和△ABC中，
，
∴△A′BD≌△ABC（AAS），
∴BD＝AC，A′D＝BC，
∵B（1，0），A（5，2），
∴OB＝1，OC＝5，AC＝2，
∴OD＝OB+BD＝1+2＝3，A′D＝BC＝OC﹣OB＝5﹣1＝4，
则A′坐标为（3，﹣4）．
5．（2021 宁波模拟）将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．21教育名师原创作品
（1）如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE．
①求证：BE平分∠AEC．
②取BC的中点P，连接PH，求证：PH∥CG．
③若BC＝2AB＝2，求BG的长．
（2）若点A，E，D第二次在同一直线上，BC＝2AB＝4，直接写出点D到BG的距离．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）①根据旋转的性质得到CB＝CE，求得∠EBC＝∠BEC，根据平行线的性质得到∠EBC＝∠BEA，于是得到结论；
②如图1，过点B作CE的 ( http: / / www.21cnjy.com )垂线BQ，根据角平分线的性质得到AB＝BQ，求得CG＝BQ，根据全等三角形的性质得到BH＝GH，根据三角形的中位线定理即可得到结论；
③如图2，过点G作BC的垂线GM，解直角三角形即可得到结论．
（2）如图3，连接DB，DG，过G作GP⊥BC交BC的延长线于P，GN⊥DC交DC的延长线于N，根据旋转的性质得到CE＝BC＝4，CD＝AB＝2，解直角三角形得到NG＝1，PG＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．
完整解答：（1）①证明：∵矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，
∴CB＝CE，
∴∠EBC＝∠BEC，
又∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠BEA，
∴∠BEA＝∠BEC，
∴BE平分∠AEC；
②证明：如图1，过点B作CE的垂线BQ，
∵BE平分∠AEC，BA⊥AE，BQ⊥CE，
∴AB＝BQ，
∴CG＝BQ，
∵∠BQH＝∠GCH＝90°，BQ＝AB＝CG，∠BHQ＝∠GHC，
∴△BHQ≌△GHC（AAS），
∴BH＝GH，
即点H是BG中点，
又∵点P是BC中点，
∴PH∥CG；
③解：如图2，过点G作BC的垂线GM，
∵BC＝2AB＝2，
∴BQ＝1，
∴∠BCQ＝30°，
∵∠ECG＝90°，
∴∠GCM＝60°，
∵CG＝AB＝CD＝1，
∴GM＝，CM＝，
∴BG＝＝＝；
（2）解：如图3，连接DB，DG，过G作GP⊥BC交BC的延长线于P，GN⊥DC交DC的延长线于N，21*cnjy*com
∵BC＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∵将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，
∴CE＝BC＝4，CD＝AB＝2，
∵点A，E，D第二次在同一直线上，
∴∠CDE＝90°，
∴CD＝CE，
∴∠DEC＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∴∠NCG＝30°，CG＝2，
∴NG＝1，PG＝，
∴S△DBG＝S△DBC+S△DCG+S△BCG＝5+2，BG＝＝2，
∴DM＝＝+．
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
6．（2020秋 斗门区期末）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC．以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，连接DF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：DF＝DE；
（2）如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2＝AD2+EC2．
思路引导：（1）先根据∠DBE＝∠ABC可知∠ABD+∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，再由图形旋转的性质可知BE＝BF，∠ABF＝∠CBE，故可得出∠DBF＝∠DBE，由全等三角形的性质即可得出△DBE≌△DBF，故可得出结论；
（2）把△CBE逆时针旋转90°，由于△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点C与点A重合，∠FAB＝∠BCE＝45°，所以∠DAF＝90°，由（1）证DE＝DF，再根据勾股定理即可得出结论．
完整解答：（1）证明：∵∠DBE＝∠ABC，
∴∠ABD+∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，
∵△ABF由△CBE旋转而成，
∴BE＝BF，∠ABF＝∠CBE，
∴∠DBF＝∠DBE，
在△DBE与△DBF中，
，
∴△DBE≌△DBF（SAS），
∴DF＝DE；
（2）证明：∵将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE＝45°，
∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AF重合，
∴AF＝EC，
∴∠FAB＝∠BCE＝45°，
∴∠DAF＝90°，
在Rt△ADF中，DF2＝AF2+AD2，
∵AF＝EC，
∴DF2＝EC2+AD2，
同（1）可得DE＝DF，
∴DE2＝AD2+EC2．
7．（2021 北海二模）如图，在平 ( http: / / www.21cnjy.com )面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）将△ABC向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
完整解答：解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．点B1的坐标为（﹣1，2）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．点C2的坐标为（4，1）．
8．（2021 江西模拟）如图，在平面直角 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称．21·cn·jy·com
（1）直接写出点B1，B2，B3的坐标；
（2）连接A1B2求A1B2的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）由题意OB1＝B1B1＝B2B3＝2，由此可得结论．
（2）求出A1，B2坐标，利用勾股定理求解．
完整解答：解：（1）由题意，，△OA1B1，△B2A2B1，△B2A3B3都是等边三角形，边长为2，【来源：21·世纪·教育·网】
∴OB1＝B1B1＝B2B3＝2，
∴B1（2，0），B2（4，0），B3（6，0）．
（2）如图，过点A1作A1H⊥OB1．
∵A1O＝A1B1，
∴OH＝HB1＝1，
∴A1H＝＝＝，
∴A1（1，），
∵B2（4，0），
∴A1B2＝＝＝2．
( http: / / www.21cnjy.com / )
9．（2021 沙坪坝区校级开学）如图1， ( http: / / www.21cnjy.com )已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）已知∠EFD＝70°，则∠B＝ 35° ．
（2）求证：FH平分∠GFD．
（3）在（1）的条件下，若∠FQH＝30°， ( http: / / www.21cnjy.com )将△FHQ绕着点F顺时针旋转，如图2．若当边FH转至线段EF上时停止转动，记旋转角为α，请直接写出当α为多少度时，QH与△EBF的某一边平行？
思路引导：（1）利用AB∥CD，得到∠B＝∠BFD，又∠B＝∠EFB，由此得到∠EFB＝∠BFD＝∠EFD＝35°；
（2）由（1）知∠EFB＝∠BFD，利用FH ( http: / / www.21cnjy.com )⊥FB，得到∠BFD+∠DFH＝90°，∠EFB+∠GFH＝90°，再由等角的余角相等得到∠DFH＝∠GFH即可求解；
（3）按QH分别和△EBF的三边平行三种情况分类讨论即可．
完整解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠EFB＝∠B，
∴∠EFB＝∠BFD，
∴∠EFB＝∠EFD＝＝35°，
∴∠B＝35°，
故答案为：35°；
（2）∵FH⊥FB，
∴∠HFB＝90°，
∴∠BFD+∠HFD＝90°，
∴∠EFB+∠GFH＝90°，
∵∠EFB＝∠BFD，
∴∠HFD＝∠GFH，
∴FH平分∠GFD；
（3）情况一：QH与△EFB的BF边平行时，如下图，
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
当为左图时，
∵BF∥HQ，
∴∠H+∠BFH＝180°，
又∵∠H＝60°，
∴∠BFH＝120°，
此时的旋转角α＝∠BFQ＝120°﹣∠HFQ＝120°﹣90°＝30°，
当为右图时，
此时∠HFB＝∠H＝60°，
旋转角α＝∠BFD+∠DFG+∠GFQ＝360°﹣（∠HFB+∠HFQ）＝360°﹣（60°+90°）＝210°；21cnjy.com
情况二：QH与△EFB的BE边平行时，如下图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
此时∠B＝∠BFD＝35°，∠DFQ＝∠Q＝30°，
∴旋转角α＝∠BFQ＝∠BFD+∠DFQ＝30°+35°＝65°；
情况三：QH与△EFB的边EF平行时，如下图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
此时∠QFG＝∠Q＝30°，
∴旋转角α＝∠BFQ＝∠BFD+∠DFG+∠QFG＝35°+110°+30°＝175°，
综上，旋转角α的度数为30°或65°或175°或210°．
10．（2021 雁塔区校级开学）问题探究 ( http: / / www.21cnjy.com )：（1）如图①，点M是矩形ABCD内一点，请你在图①中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分．
问题解决：（2）如图②，在平面直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )，四边形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，BC⊥OB，OB＝6，BC＝CD＝4．开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处．为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且使这条路所在的直线l将四边形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）连接AC，BD中心点位P，过P点的直线分矩形为相等的两部分．
（2）假如存在，过点D的直线只 ( http: / / www.21cnjy.com )要作DA⊥OB与点A，求出P点的坐标，设直线PH的表达式为y＝kx+b，解出点H的坐标，求出斜率k和b．若k和b存在，直线就存在．
完整解答：解：（1）如图①连接AC、BD交于P则P为矩形对称中心．作直线MP，直线MP即为所求．
（2）如图②存在直线l，过点D作DA⊥OB于点A，则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心，
∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可，
易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分．
从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，
即直线PH为所求直线l，
设直线PH的表达式为y＝kx+b且点P（4，2），
∴2＝4k+b即b＝2﹣4k，
∴y＝kx+2﹣4k，
∵D（2，4），
∴直线OD的表达式为y＝2x，
∴，
解得．
∴点H的坐标为（，），
把x＝2代入直线PH的解析式y＝kx+2﹣4k，得y＝2﹣2k，
∴PH与线段AD的交点F（2，2﹣2k），
∴0＜2﹣2k＜4，
∴﹣1＜k＜1．
∴S△DHF＝（4﹣2+2k） （2﹣）＝××2×4，
∴解得k＝（k＝舍去），
∴b＝8﹣2，
∴直线l的表达式为y＝x+8﹣2．
( http: / / www.21cnjy.com / )
11．（2021 福建模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△DAE，且点E恰好落在线段AB上．2·1·c·n·j·y
（1）依照题意补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程与做法）；
（2）若点P是DE上一点，CE、AP的延长线相交于点F，若∠APE＝∠DBE，求证：B、F、D三点共线．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）如图，取AE＝AC，然后过点E作DE⊥AB，取DE＝BC即可；
（2）根据三角形内角和为180°可证∠DFP＝∠DEB，然后借助四边形内角和是360°即可证明．
完整解答：解：（1）如图所示，△DAE即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）∵∠APE＝∠DBE，且∠APE＝∠DPF，
∴∠DPF＝∠DBE，
∵∠FDE+∠DPF+∠DFP＝180°，
∠BDE+∠DEB+∠DBE＝180°，
∴∠DFP＝∠DEB，
在四边形BEPF中，
∠DEB+∠BFP＝360°﹣（∠DBE+∠EPF）＝360°﹣（∠DPF+∠EPF）＝180°，
∴∠DFP+∠BFP＝180°，
∴B、F、D三点共线．
12．（2021 鼓楼区校级开学）如图，△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，且点A、C、E在同一直线上．若AB＝6，AC＝4，求∠BAD的度数和AD的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：直接利用旋转的性质得出AD＝DE，∠ADE＝60°，AB＝CE，进而利用等边三角形的判定与性质得出答案．
完整解答：解：∵把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，
∴AD＝DE，∠ADE＝60°，AB＝CE，
∵∠BDC+∠BAC＝60°+120°＝180°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ABD＝∠DCE，
∴∠ACD+∠DCE＝180°，
∴A，C，E在一条直线上，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝120°﹣60°＝60°；
∴AE＝AD＝AC+EC＝AC+AB＝10．
( http: / / www.21cnjy.com / )
13．（2021秋 海淀区校级月考）已知∠AOB＝45°，H为射线OA上一定点，OH＝1+，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转135°，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：∠OMP＝∠OPN；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP，写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）根据题意画出图形即可；
（2）证明∠OPM+∠OPN＝135°，∠OMP+∠OPM＝135°，即可证得结论；
（3）过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2，证明△PDM≌△NCP（AAS），Rt△OCN≌Rt△QDP（HL），设PD＝OD＝a，则PO＝a，根据PO＝2DH，建立方程求解即可．
完整解答：解：（1）依题意补全图形如图1所示为所求；
（2）∵线段PM绕点P顺时针旋转135°得到线段PN，
∴∠OPM+∠OPN＝135°，
∵∠POM+∠OMP+∠OPM＝180°，∠POM＝45°，
∴∠OMP+∠OPM＝135°，
∴∠OMP＝∠OPN；
（3）OP＝时，总有ON＝QP，证明如下：
过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2，
∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°，
由（2）得∠OMP＝∠OPN，
∴∠PMD＝∠NPC，
在△PDM与△NCP中，
，
∴△PDM≌△NCP（AAS），
∴PC＝MD，PD＝NC，
∵ON＝QP，
∴Rt△OCN≌Rt△QDP（HL），
∴OC＝DQ，
设PD＝OD＝a，则PO＝a，
∵DH＝OH﹣OD，
MH＝HQ＝MD+DH，
DQ＝MQ﹣MD＝2（MD+DH）﹣MD＝2DH+MD，
∴OC＝2DH+MD，
∴PO＝2DH+MD﹣PC＝2DH，
∴a＝2（1+﹣a），
解得：a＝1，
∴OP＝．
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
14．（2021春 卧龙区期末）如图①，我们把一副两个三角板如图摆放在一起，其中OA，OD在一条直线上，∠B＝45°，∠C＝30°，
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图②，将图①中的△OAB以点O为旋转中心旋转到△OA'B'的位置，求当∠AOA'为多少度时，OB'平分∠COD；
（3）如图③，两个三角尺的直角边 ( http: / / www.21cnjy.com )OA，OD摆放在同一条直线上，另一条直角边OB，OC也在同一条直线上，将△OAB绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当AB∥CD时，旋转角的度数是 105°或285° ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）由平角的性质可求解；
（2）由旋转的性质可得∠AOB＝∠A'OB'＝45°，由角的数量关系可求解；
（3）分两种情况讨论，如图③﹣1中，当A'B'与OD相交于点E时，如图③﹣2中，当A'B'与AO相交于点F时，由平行线的性质可求解．
完整解答：解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
（2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，
∴∠AOB＝∠A'OB'＝45°，
∵∠COD＝60°，OB′平分∠COD，
∴∠COB'＝30°，
∴∠COA'＝∠A'OB'﹣∠COB'＝15°，
∴∠A'OB＝∠COB﹣∠COA'＝60°，
∴∠AOA'＝∠AOB+∠A'OB＝105°；
（3）如图③﹣1中，当A'B'与OD相交于点E时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵A'B'∥CD，
∴∠D＝∠A'EO＝60°，
∵∠A'EO＝∠B'+∠EOB'，
∴∠EOB'＝60°﹣45°＝15°，
∴∠BOB'＝105°，
如图③﹣2中，当A'B'与AO相交于点F时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵A'B'∥CD，
∴∠D＝∠A'FO＝60°，
∴∠A'OF＝180°﹣∠A'FO﹣∠A'＝75°，
∴旋转的角度＝360°﹣75°＝285°，
综上所述：旋转的角度为105°或285°．
故答案为：105°或285°．
15．（2021春 沈河区期末）思维启迪
（1）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D在AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为E，点F是BC中点，则EF的长度为 1 ．www.21-cn-jy.com
思维探索
（2）如图2，等边三角形ABC的边长为4，AD⊥BC垂足为D，点E是AC的中点，点M是AD的中点，点N是BE的中点，求MN的长．
（3）将（2）中的△CDE绕C点旋转，其他条件不变，当点D落在直线AC上时，画出图形，并直接写出MN长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）可证出EF是△BCD的中位线，从而有EF＝＝1；
（2）取AB中点F，连接MF，NF，证明出△MNF是等边三角形，从而MN＝MF＝1；
（3）分两种情况：当点D在线段A ( http: / / www.21cnjy.com )C上时，取AE的中点F，取BC的中点G，证出△MNF是直角三角形，利用勾股定理即可求出MN，当点D在AC延长线上时，连接AE，取AE的中点F，证出∠MFN﹣120°，再过点N作NG⊥MF于G，解直角三角形即可．
完整解答：解：（1）∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴点E是CD的中点，
∵点F是BC中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF＝＝1．
故答案为：1；
（2）如图2，取AB中点F，连接MF，NF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点M是AD的中点，点F是AB的中点，
∴MF是△ABD的中位线，
∴MF∥BD，MF＝，
∴∠AFM＝∠ABD＝60°，
∵点N是BE的中点，F是AB的中点，
∴NF是△ABE的中位线，
∴NF∥AE，NF＝，
∴∠BFN＝∠BAC＝60°，
∵BD＝AE，
∴MF＝FN，
∴∠NFM＝180°﹣∠BFN﹣∠AFM＝60°，
∴△MNF是等边三角形，
∴MN＝FN＝，
∴AE＝2，
∴MN＝1；
（3）如图，当点D在线段AC上时，取AE的中点F，取BC的中点G，
连接MF、DF、NG、FN，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠DCE＝∠BAC＝60°，
∴AB∥CE，
∵DF是△ACE的中位线，FN是△ABE的中位线，DG是△ABC的中位线，
∴DF∥CE，FN∥AB，DG∥AB，NG∥CE，
∴点F、D、N、G四点共线，
∴DG＝FN＝2，DF＝1，MF＝1，
∴DM＝DF＝DN＝1，
∴∠DMN＝∠DNM，∠MDF＝∠DFM，
∵∠DMN+∠DNM+∠MDF+∠DFM＝180°，
∴∠NMF＝90°，
在Rt△MNF中，由勾股定理得：
MN＝，
当点D在AC延长线上时，连接AE，取AE的中点F，连接FM，FN，过点N作NG⊥MF于G，
( http: / / www.21cnjy.com / )
同理FM＝1，FN＝2，
∵∠EFN＝∠BAE，
∴∠NFM＝60°+∠EFM＝∠BAE+∠EAC+60°＝120°，
∴∠NFG＝60°，
∴FG＝，NG＝，
∵GM＝2，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：
MN＝，
综上所述：MN＝或．
16．（2021春 江岸区校级月考）△ABC中，∠A＝45°，∠CBA＝α，点D在边AB上，将线段CD逆时针旋转β得到CE，连接DE．
（1）当α＝45°，β＝90°时，求证：AD2+DB2＝DE2．
（2）当α＝30°，β＝120°时，若CE＝BE，求的值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）根据SAS证明△ACD≌△BCE，可证出AD＝BE，∠DBE＝90°，结合勾股定理即可；
（2）在BD的延长线上取点G，使CG＝CB ( http: / / www.21cnjy.com )，转化为图1，同理可得∠G＝∠CBE＝30°，借助特殊的直角三角形表示出AD和AB的长度即可解决问题．
完整解答：证明：（1）如图1，连接BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE，
∵∠A＝＝∠CBA＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴BE2+BD2＝DE2，
∴AD2+BD2＝DE2；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）在BD的延长线上取点G，使CG＝BC
∴∠CBA＝∠G＝30°，
由（1）同理得△CGD≌△CBE，
∴∠G＝∠CBE＝30°，
∴设CE＝BE＝CD＝a，∠DCB＝90°，
∴CB＝，BD＝2a，
作CH⊥AB于H，
∴CH＝AH＝，DH＝，BH＝，
∴AD＝，AB＝，
∴．
17．（2021 醴陵市模拟）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．2-1-c-n-j-y
（1）连结CQ，求证：AP＝CQ；
（2）若正方形的边长为4，且PC＝3AP，求线段PQ的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）由四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD是正方形，可得AB＝BC，∠ABC＝90°．由图形旋转，可得BP＝BQ，∠PBQ＝90°．从而，可证△APB≌△CQB，故AP＝CQ．
（2）如图．由四边形ABCD是正方形，∠PAM＝45°，故△PAM是等腰直角三角形且AM＝PM．由勾股定理，可得AC＝，故AP＝，进而推断出AM＝PM＝1．由勾股定理，可得BP＝．那么，由勾股定理可得PQ＝．
完整解答：解：如图，过点P作PM⊥AB于M．
（1）由题意得：PB＝QB，∠PBQ＝∠2+∠3＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠1+∠2＝90°．
∴∠1＝∠3．
在△APB和△CQB中，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴△ABP≌△CBQ（SAS）．
∴AP＝CQ．
（2）由（1）知：∠ABC＝90°，AB＝CB．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴．
又∵PC＝3AP，
∴AC＝AP+PC＝AP+3AP＝4AP＝．
∴AP＝．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAM＝45°．
∵PM⊥AB于M，
∴∠PMA＝∠PMB＝90°．
∴∠APM＝180°﹣∠AMP﹣∠PAM＝180°﹣90°﹣45°＝45°．
∴∠PAM＝∠APM
∴AM＝PM．
在Rt△APM中，∠AMP＝90°，
∴AP2＝AM2+PM2．
∴．
∴AM＝PM＝1．
∴BM＝AB﹣AM＝4﹣1＝3．
在Rt△PMB中，∠PMB＝90°，
∴．
∴PB＝QB＝．
在Rt△PBQ中，∠PBQ＝90°，
∴．
( http: / / www.21cnjy.com / )
18．（2021 延庆区一模）在 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．
（1）如图1，点E在BC边上．
①依题意补全图1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；
（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系． ( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）①根据要求画出图形即可；
②过点F作FH⊥CB，交CB ( http: / / www.21cnjy.com )的延长线于H．证明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解决问题即可；
（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可21教育网
完整解答：解（1）图形如图所示．
过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，
∵∠DEF＝∠C＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
，
∴△DEC≌△EFH（AAS），
∴EC＝FH＝2，CD＝BC＝EH＝6，
∴HB＝EC＝2，
∴Rt△FHB中，BF＝＝＝2．
（2）结论：BF+BD＝BE．
( http: / / www.21cnjy.com / )
理由：过点F作FH⊥CB，交CB于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝6，∠ACB＝90°，
∵∠DEF＝∠ACB＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
，
∴△DEC≌△EFH（AAS），
∴EC＝FH，CD＝BC＝EH，
∴HB＝EC＝HF，
∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝HE，BF＝BH，
∵HE+BH＝BE，
∴BF+BD＝BE．
19．（2021 深圳模拟）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．
（1）求点F到直线CA的距离；
（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）并求出该图形的面积；
②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长． ( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）如图，过点F作FH⊥AC于H．解直角三角形求出FH即可解决问题．
（2）①根据要求作出图形即可，根据S阴＝S扇形ACF﹣S△AE′C+S△EFC﹣S扇形ECE′，计算即可．21*cnjy*com
②如图2中，过点E作EH⊥CF于H，设OE＝OB＝x．利用勾股定理构建方程，求解即可．
完整解答：解：（1）如图，过点F作FH⊥AC于H．
( http: / / www.21cnjy.com / )
在Rt△FCH中，∠FHC＝90°，CF＝CA＝2BC＝2，
∴FH＝CF＝1．
（2）①旋转运动所形成的平面图形，如图所示，
S阴＝S扇形ACF﹣S△AE′C+S△EFC﹣S扇形ECE′＝﹣＝；
②如图2中，过点E作EH⊥CF于H，设OE＝OB＝x．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵EF＝BC＝1，∠CEF＝90°，∠ECF＝30°，
∴CF＝2EF＝2，∠F＝60°，
∴FH＝EF cos60°＝，EH＝EF sin60°＝，
∵∠B＝90°，OB＝x，BC＝1，
∴OC＝，
∵EO2＝OH2+HE2，
∴（）2+（﹣）2＝x2，
解得x2＝，
∴OC＝＝，
∴OF＝CF﹣OC＝2﹣＝．
20．（2021 中江县模拟）如图，在等 ( http: / / www.21cnjy.com )边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD＝1，求AD，CD的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出△ADE是等边三角形即可；
（2）利用四边形的内角和即可求出结论；
（3）先求出CD，再用勾股定理即可求出结论．
完整解答：（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE
∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，
∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，
∵△ABC为等边三角形
∴∠BAC＝60°
∴∠DAE＝60°
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE，
（2）∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°
∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°，
（3）∵△ADE为等边三角形
∴∠ADE＝60°
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°
又∵∠DCE＝90°
∴DE＝2CE＝2BD＝2，
∴AD＝DE＝2
在Rt△DCE中，．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第23章 旋转
1．（2021秋 沈阳月考）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O是坐标原点，AO＝AB＝5，OB＝6．【出处：21教育名师】
（1）求点A的坐标；
（2）将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，求点O的对应点O′的坐标．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
2．（2021秋 鼓楼区校级月考）在如图所示的网格中按要求画出图形，并回答问题：
（1）画出△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
( http: / / www.21cnjy.com / )
3．（2021 海港区模拟）如图，C ( http: / / www.21cnjy.com )、D、E三点在线段AB上，且AC＝CE＝ED＝DB＝1，将线段AC绕点C按顺时针方向旋转α度（0＜α＜180），点A的对应点为点A1.同时将线段DB绕点D按逆时针方向旋转β度（0＜β＜360），点B的对应点为点B1，连接A1D和B1C．21世纪教育网版权所有
（1）若β＝α（如图1），A1D和B1C的交点为F．
①求证：△A1CD≌△B1DC．
②求证：△FCD为等腰三角形．
（2）若β＝2α，当△A1CD≌△B1DC时，α＝ ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
4．（2021秋 仙桃校级月考）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0），点A的坐标为（5，2）．如果将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA'，求点A'的坐标．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
5．（2021 宁波模拟）将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．21教育网
（1）如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE．
①求证：BE平分∠AEC．
②取BC的中点P，连接PH，求证：PH∥CG．
③若BC＝2AB＝2，求BG的长．
（2）若点A，E，D第二次在同一直线上，BC＝2AB＝4，直接写出点D到BG的距离．
( http: / / www.21cnjy.com / )
6．（2020秋 斗门区期末）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC．以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，连接DF．www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：DF＝DE；
（2）如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2＝AD2+EC2．
7．（2021 北海二模）如图，在平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）将△ABC向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；2·1·c·n·j·y
（2）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
8．（2021 江西模拟）如图，在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称．www-2-1-cnjy-com
（1）直接写出点B1，B2，B3的坐标；
（2）连接A1B2求A1B2的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
9．（2021 沙坪坝区校级开学）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图1，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）已知∠EFD＝70°，则∠B＝ ．
（2）求证：FH平分∠GFD．
（3）在（1）的条件下，若∠F ( http: / / www.21cnjy.com )QH＝30°，将△FHQ绕着点F顺时针旋转，如图2．若当边FH转至线段EF上时停止转动，记旋转角为α，请直接写出当α为多少度时，QH与△EBF的某一边平行？21·cn·jy·com
10．（2021 雁塔区校级开学）问题 ( http: / / www.21cnjy.com )探究：（1）如图①，点M是矩形ABCD内一点，请你在图①中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分．
问题解决：（2）如图②，在 ( http: / / www.21cnjy.com )平面直角坐标系中，四边形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，BC⊥OB，OB＝6，BC＝CD＝4．开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处．为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且使这条路所在的直线l将四边形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
11．（2021 福建模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△DAE，且点E恰好落在线段AB上．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）依照题意补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程与做法）；
（2）若点P是DE上一点，CE、AP的延长线相交于点F，若∠APE＝∠DBE，求证：B、F、D三点共线．21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
12．（2021 鼓楼区校 ( http: / / www.21cnjy.com )级开学）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，且点A、C、E在同一直线上．若AB＝6，AC＝4，求∠BAD的度数和AD的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
13．（2021秋 海淀区校级月考）已知∠AOB＝45°，H为射线OA上一定点，OH＝1+，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转135°，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：∠OMP＝∠OPN；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP，写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
14．（2021春 卧龙区期末）如图①，我们把一副两个三角板如图摆放在一起，其中OA，OD在一条直线上，∠B＝45°，∠C＝30°，21*cnjy*com
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图②，将图①中的△OAB以点O为旋转中心旋转到△OA'B'的位置，求当∠AOA'为多少度时，OB'平分∠COD；
（3）如图③，两个三角尺的直角边O ( http: / / www.21cnjy.com )A，OD摆放在同一条直线上，另一条直角边OB，OC也在同一条直线上，将△OAB绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当AB∥CD时，旋转角的度数是 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
15．（2021春 沈河区期末）思维启迪
（1）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D在AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为E，点F是BC中点，则EF的长度为 ．
思维探索
（2）如图2，等边三角形ABC的边长为4，AD⊥BC垂足为D，点E是AC的中点，点M是AD的中点，点N是BE的中点，求MN的长．
（3）将（2）中的△CDE绕C点旋转，其他条件不变，当点D落在直线AC上时，画出图形，并直接写出MN长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
16．（2021春 江岸区校级月考）△ABC中，∠A＝45°，∠CBA＝α，点D在边AB上，将线段CD逆时针旋转β得到CE，连接DE．21*cnjy*com
（1）当α＝45°，β＝90°时，求证：AD2+DB2＝DE2．
（2）当α＝30°，β＝120°时，若CE＝BE，求的值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
17．（2021 醴陵市模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．
（1）连结CQ，求证：AP＝CQ；
（2）若正方形的边长为4，且PC＝3AP，求线段PQ的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
18．（2021 延庆区一模）在正方形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．
（1）如图1，点E在BC边上．
①依题意补全图1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；
（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．
( http: / / www.21cnjy.com / )
19．（2021 深圳模拟）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求点F到直线CA的距离；
（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）并求出该图形的面积；
②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
20．（2021 中江县模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD＝1，求AD，CD的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
