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第23章 旋转
1．（2021 新吴区二模）如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），M为AB边上的一动点，N（0，1），连接MN，将△ABO绕点O逆时针旋转一周，则MN的取值范围为 ≤MN≤5 ．2·1·c·n·j·y
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思路引导：如图，过点O作OF⊥AB于点F．利用面积法求出OF＝，以O为圆心，OF，OB为半径作圆，则点M的轨迹形成的图形是圆环（包括两个圆），求出MN的最大值和最小值，可得结论．【出处：21教育名师】
完整解答：解：如图，过点O作OF⊥AB于点F．
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∵A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵S△AOB＝ OA OB＝ AB OF，
∴OF＝，
以O为圆心，OF，OB为半径作圆，则点M的轨迹形成的图形是圆环（包括两个圆），
∴NM的最大值＝1+4＝5，NM的最小值＝﹣1＝，
∴≤MN≤5，
故答案为：≤MN≤5，
2．（2021秋 江岸区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB+AC＝a（a＞0），将CB绕C顺时针旋转120°得CD，当DA长的最小值为时，a的值为 ．
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思路引导：由旋转的性质可得BC＝CD，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )CD＝120°，∠ACH＝120°，AC＝CH＝x，由“SAS”可证△ABC≌△HDC，可得AB＝DH＝a﹣x，∠BAC＝∠DHC＝120°，由勾股定理和二次函数的性质可求解．
完整解答：解：如图，将AC绕C顺时针旋转120°得CH，连接AH，DH，过点C作CG⊥AH于G，
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设AC＝x，则AB＝a﹣x，
∵将CB绕C顺时针旋转120°得CD，
∴BC＝CD，∠BCD＝120°，
∵将AC绕C顺时针旋转120°得CH，
∴∠ACH＝120°，AC＝CH＝x，
∴∠CAH＝∠CHA＝30°，∠BCD＝∠ACH，
∴∠BCA＝∠DCH，
∵CG⊥AH，
∴CG＝CH＝，AG＝GH＝x，
∴AH＝x，
在△ABC和△HDC中，
，
∴△ABC≌△HDC（SAS），
∴AB＝DH＝a﹣x，∠BAC＝∠DHC＝120°，
∴∠AHD＝90°，
∴AD2＝DH2+AH2＝（a﹣x）2+3x2＝（2x﹣a）2+a2≥a2，
∵DA长的最小值为，
∴＝，
∴a＝，
故答案为．
3．（2021 泰山区模拟）如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB'C′，使点B的对应点B'落在AC上，在B'C'上取点D，使B'D＝2，那么点D到BC的距离等于 +1 ．21教育网
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思路引导：根据直角三角形的性质得到BC＝2，AC＝4，根据旋转的性质得到AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2，求得B′C＝2，延长C′B′交BC于F，解直角三角形即可得到结论．www-2-1-cnjy-com
完整解答：解：方法一：∵在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，
∴BC＝2 ，AC＝4，
∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，
∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2 ，
∴B′C＝2，
过D作DE⊥BC于E，延长C′B′交BC于F，
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∴∠CB′F＝∠AB′C′＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CFB′＝60°，B′F＝B′C＝，
∵B′D＝2，
∴DF＝2+，
∴DE＝DF＝×（2+）＝+1，
方法二：
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过B′作B′F⊥BC于F，B′H⊥DE于H，
则B′F＝HE，B′H＝EF，
在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，
∴BC＝2，AC＝4，
∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，
∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2，
∴B′C＝2，
∴B′F＝AB＝1，
∴HE＝1，
∵∠B′HD＝∠HEC＝90°，
∴∠HB′C＝∠C＝30°，
∴∠DB′H＝60°，
∴∠B′DH＝30°，
∴B′H＝1，DH＝，
∴DE＝+1，
故答案为：+1．
4．（2021 南皮县一模）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，P是AC边上一点，连接PB，将△PBC绕点B顺时针旋转，得到△DBE，点C，P的对应点分别是点E，D，点E在AB边上．
（1）若P是AC的中点，则DB＝ ；
（2）若PC＝1，则点D到AC的距离为 +1 ．
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思路引导：（1）利用勾股定理求出PB，可得结论．
（2）过点D作DH⊥AC于H，交AB于点F．分别求出FH，DF，可得结论．
完整解答：解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2，
∵P是AC的中点，
∴CP＝AC＝，
∴BP＝＝＝，
由旋转的性质可知，BD＝BP＝，
故答案为：．
（2）如图，过点D作DH⊥AC于H，交AB于点F．
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∵∠EDF＝∠A＝30°，DE＝PC＝1，
∴EF＝DE tan30°＝，DF＝2EF＝，
∴AF＝AB﹣BE﹣EF＝4﹣2﹣＝2﹣，
∵DH∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴HF＝1﹣．
∴DH＝HF+DF＝+1，
故答案为：+1．
5．（2021 新昌县模拟）如图，在矩形ABCD中，BC＝3AB．将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），得到矩形A'B'CD'，边B'C与AD相交于点E，边A'D'与AD的延长线相交于点F．在矩形A'B'CD'旋转过程中，当B'落在线段AD上时，＝ 2 ，当E是线段AF的三等分点时，＝ 4﹣或 ．
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思路引导：当B'落在线段AD上时，设AB＝CD＝x，则BC＝3x，然后利用旋转的性质好勾股定理求出B'D，然后求比值即可；【来源：21·世纪·教育·网】
当E是线段AF的三等分点时，分两种情况：①当AE＝时，②当AE＝时，分别进行讨论即可．
完整解答：解：当B'落在线段AD上时，解析如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠CDB＝90°，
当B'落在线段AD上时，此时点B'与点E重合，
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设AB＝CD＝x，则BC＝3x，
由旋转的性质可知：B'C＝BC＝3x，
在Rt△B'CD中，
B'D＝＝2x，
∴，
当E是线段AF的三等分点时，解析如下：
①当AE＝时，设AB＝x，AE＝y，则BC＝3x，EF＝2y，
过点F作FG⊥B'C交于点G，连接CF，
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∴FG＝CD'＝CD＝AB＝x，
∴S△BCF＝，
∴2y x＝EC x，
∴EC＝2y，
在Rt△EDC中，DE2+DC2＝EC2，
∴（3x﹣y）2+x2＝（2y）2，
∴，
令，
∴3t2+6t﹣10＝0，
解得：t1＝﹣1+，t2＝﹣1﹣（舍去），
∴；
②当AE＝时，
设AB＝x，AE＝2y，则EF＝y，
同理可求EC＝y，
在Rt△EDC中，DE2+DC2＝EC2，
∴（3x﹣2y）2+x2＝y2，
∴10﹣，
令，
∴3t2﹣12t+10＝0，
解得：t1＝2﹣，t2＝2+（舍去），
∴，
综上所述，当E是线段AF的三等分点时，的值为4﹣或，
故答案为：2，4﹣或．
6．（2021 雁塔区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，边AD，BC上分别有E、F两点，若直线EF恰好平分矩形ABCD的面积，且与AD的夹角为60°时，则AE的长度为 3﹣ ．21世纪教育网版权所有
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思路引导：如图，设AC交BD于点O，过点O作OH⊥AD于点H．求出AH，EH，可得结论．
完整解答：解：如图，设AC交BD于点O，过点O作OH⊥AD于点H．
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∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，
∵直线EF平分矩形的面积，
∴直线EF经过矩形的对角线的交点O，
∵OH∥AB，OD＝OB，
∴AH＝DH＝3，
∴OH＝AB＝2，
在Rt△OEH中，∠OEH＝60°，
∴EH＝＝，
∴AE＝AH＝EH＝3﹣．
故答案为：3﹣．
7．（2021 路桥区一模）如图，已知：Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠A＝30°，AC＝6．现将△CEF绕点C逆时针旋转α度，线段CF与直线AB交于点O，连接OE．则当OE＝OB时，线段OA的长为 3 ．
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思路引导：过点E作EH⊥CF于点H，由△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC≌△CEF，设OF＝x，则OC＝6﹣x，根据勾股定理分别表示出OB和OE的长度，然后列方程即可解决问题．．
完整解答：解：过点E作EH⊥CF于点H，
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∵△ABC≌△CEF，
∴CF＝AC＝6，∠A＝30°，
∴∠EFC＝90°﹣∠A＝60°，
设OF＝x，则OC＝6﹣x，
在Rt△OCB中，
OB2＝OC2﹣BC2＝（6﹣x）2﹣9，
在Rt△FEH中，
EH＝EF，FH＝EF，
∴OH＝﹣x，
在Rt△OEH中，
OE2＝EH2+OH2＝（x﹣）2+（）2，
又∵OE＝OB，
∴（x﹣）2+（）2＝（6﹣x）2﹣9，
解得：x＝2，
∴BO2＝7，
∴BO＝，
∴AO＝AB﹣BO＝3﹣，
故答案为：3．
8．（2021秋 二道区校级月考）如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到 AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，点D落在D′C′上，若AB＝6，BC＝8，BB′＝2，则D′D的长为 ．21cnjy.com
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思路引导：由∠BAB'＝∠DAD'，∠AD'D＝∠AB'B＝∠B，可证△BAB'∽△DAD'，根据对应边成比例可得．
完整解答：解：∵将 ABCD绕点A逆时针旋转到 AB′C′D′的位置，
∴∠BAB'＝∠DAD'，∠AD'D＝∠AB'B＝∠B，
∴△BAB'∽△DAD'，
∴，
∴DD'＝，
故答案为：．
9．（2021 双阳区一模）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，点A和B的坐标分别为（2，0），（0，﹣4），若将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为 （﹣2.2） ．
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思路引导：如图，过点C作CH⊥x轴于H．证明△AOB≌△CHA（AAS），推出CH＝OA＝2，AH＝OB＝4，可得结论．
完整解答：解：如图，过点C作CH⊥x轴于H．
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∵A（2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∵∠AHC＝∠AOB＝∠BCA＝90°，
∴∠CAH+∠BAO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CAH＝∠ABO，
在△AOB和△CHA中，
，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴CH＝OA＝2，AH＝OB＝4，
∴OH＝AH﹣OA＝2，
∴C（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
10．（2021 高要区 ( http: / / www.21cnjy.com )一模）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，其中点B与点E是对应点，点C与点D是对应点，且DC∥AB，若∠CAB＝65°，则∠CAE的度数为 15° ．
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思路引导：由旋转的性质可得AC＝AD，∠DAE＝∠CAB＝65°，由等腰三角形的性质可得∠ADC＝∠ACD＝65°，即可求解．
完整解答：解：∵DC∥AB，
∴∠CAB＝∠DCA＝65°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，
∴AC＝AD，∠DAE＝∠CAB＝65°，
∵∠ADC＝∠ACD＝65°，
∴∠DAC＝50°，
∴∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝15°，
故答案为：15°．
11．（2021春 高明区期末）如图，在平面 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°并放大得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°并放大得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O，…，依此规律，得到等腰直角三角形A2020OB2020，则点B2020的横坐标为 22020 ．
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思路引导：根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点B2020的坐标位置，进而得出答案．
完整解答：解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝1，
∴AB＝OA＝1，
∴B（1，1），
将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，
再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O＝2A1O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，﹣2），B2（﹣4，﹣4），B3（﹣8，8），B4（16，16），
∵2020÷4＝505，
∴点B2020与B同在一个象限内，
∵﹣4＝﹣22，8＝23，16＝24，
∴点B2020（22020，22020）．
故答案为：22020．
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12．（2021秋 江都区月考）在4×4正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形网格中，已有3个小方格涂黑，要从13个白色小方格中选出一个也涂黑，使所有黑色部分组成的图形为轴对称图形，这样的白色小方格有 3 个．
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思路引导：根据轴对称图形的定义，画出图形即可．
完整解答：解：如图，这样的小正方形有三个，
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故答案为：3．
13．（2021 庆元县模拟）如图1是一款 ( http: / / www.21cnjy.com )铲车模型．其起物装置由悬臂与大铲斗所组成，图2是其简化示意图．铲斗AB长1米，离地面高度为0.25米，前悬臂BC长为2米，后悬臂CD长为2米，前悬臂与后悬臂张角为α（α不超过120°）．起物开始状态时AB∥CD，∠BCD＝120°，在起物过程中，铲斗始终与地面平行，后悬臂CD的旋转角为β（β不超过90°）．
（1）铲斗离地面的最大高度为 （3.25+） 米．
（2）铲斗最外端点A离点D的最远距离为 （2+1） 米．
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思路引导：（1）当α＝120°，β＝90°时，铲斗离地面为最大高度，据此进行分析计算即可；
（2）根据题意可得：当AB与D在同一水平线且α＝120°时，铲斗最外端离D有最远距离，再进行计算即可．
完整解答：解：（1）由题意知：当α＝120°，β＝90°时，铲斗离地面为最大高度，
如图，使得B'E⊥EC'，CH⊥BH，AF⊥DG，
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∵α＝120°，B'C'＝2，
∴∠B'C'E＝60°，C'E＝1，
∵AB∥CD，α＝120°，BC＝2，
∴BH＝1，CH＝DF＝，
∵铲斗AB离地面高度为0.25米，即FG＝0.25米，后悬臂CD长为2米，即CD＝C'D＝2米，
∴铲斗离地面的最大高度为：
EG＝EC'+C'D+DF+FG＝1+2++0.25＝（3.25+）米，
故答案为：3.25+；
（2）由题意得：当AB与D在同一水平线且α＝120°时，铲斗最外端离D有最远距离，
如图，过C作CM⊥BD，
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∵AB与D在同一水平线上，AD平行于地面，∠BCD＝120°，BC＝CD＝2，
∴CM＝1，BM＝MD＝，
∵铲斗AB长为1米，
∴铲斗最外端点A离点D的最远距离为：
AD＝AB+BM+MD＝1++＝（2+1）米，
故答案为：2+1．
14．（2021春 城阳区期中）如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，以点O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转120°，得到△OA1B1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到△OA2021B2021，那么点A2021的坐标是 （1，﹣） ．www.21-cn-jy.com
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思路引导：从一般到特殊探究规律，利用规律解决问题即可．
完整解答：解：由题意，第一次旋转A1（1，），
第二次旋转A2（1．﹣），
第三次旋转A3（﹣2，0），
，
3次应该循环，
∵2021÷3＝673 2，
∴A2021的坐标与A2相同，
∴A2021（1，﹣）．
故答案为：（1，﹣）．
15．（2021 黄梅县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是 ．21·cn·jy·com
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思路引导：图，以AB为边向下作 ( http: / / www.21cnjy.com )等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解决问题．
完整解答：解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．
∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF≌△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵∠BAK＝60°，
∴∠EAK＝60°，
∵∠AEK＝90°，
∴∠AKE＝30°，
∵TA＝TK，
∴∠TAK＝∠AKT＝30°，
∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝60°，
∵AB＝AK＝2，
∴AE＝AK＝1，
∴EK＝AE＝，
∴AF的最小值为．
故答案为：．
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16．（2021 洪洞县三模）如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A'B'C，连接AA'，BB'，并延长BB'交AA'于点D，则B'D的长为 ．2-1-c-n-j-y
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思路引导：以B为坐标原点，建立 ( http: / / www.21cnjy.com )平面直角坐标系，可得点A和点B的坐标，由旋转的性质可得点A′和点B′的坐标，利用待定系数法即可求出直线AA′和BB′的解析式，再联立两个解析式求出点D的坐标，即可根据勾股定理求出DB和BB′D的长度，然后作差即可得到B′D的长度．21*cnjy*com
完整解答：解：如图，由∠ABC＝90°，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，
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∵AB＝8，BC＝6，
∴A（0，8），B（0，0），C（﹣6，0），
由旋转可知：A′B′＝AB＝8，B′C＝BC＝6，∠A′B′C＝∠ABC＝90°，
∴A′（﹣14，6），B′（﹣6，6），
设直线AA′的解析式为：y＝k1x+b1，
，
解得，
∴直线AA′的解析式为：y＝x+8；
设直线BB′的解析式为：y＝k2x，
∴﹣6k2＝6，
解得k2＝﹣1，
∴直线BB′的解析式为：y＝﹣x，
∴，
解得，
∴D（﹣7，7），
∴BD＝＝7，BB′＝＝6，
∴B′D＝BD﹣BB′＝．
故答案为：．
17．（2021 芜湖模拟）如图1，含30°和45°角的两块直角三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12cm．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）阴影部分的周长为 （） cm（结果保留根号）；
（2）如图2，点P为边EF（BC）的中点，现将直角三角板ABC绕点P按逆时针方向旋转角度α，设边AB与EF相交于点Q，则在0°≤α≤90°的变化过程中，点Q移动的路径长度为 cm（结果保留根号）．
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思路引导：（1）在Rt△ABC和Rt△DEF中，利用三角函数求出其余两边长即可；
（2）根据题意可知，点Q是往返路径，当0°≤α≤60°时，点Q从E开始向F运动，且当α＝60°时，此时AB⊥EF，求出EQ＝3cm，当60°≤α≤90°时，点Q向点E作回头运动，当α＝90°时，点Q停止运动，求出点Q返回运动的路径长为3﹣（6﹣2）＝2﹣3（cm），即可求出点Q运动的总路径长．
完整解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝12cm，
∴AC＝6cm，AB＝tan60°×AC＝6（cm），
在Rt△DEF中，∠DEF＝45°，EF＝12cm，
∴DE＝DF＝sin45°×EF＝×12＝6（cm），
∴阴影部分的周长为：BD+AB+DF+AC＝6+6+6+6＝6+6+12（cm）；
故答案为：（6+6+12）；
（2）当0°≤α≤60°时，点Q从E开始向F运动，且当α＝60°时，此时AB⊥EF，
在Rt△BQP中，∠B＝30°，BP＝6cm，
∴PQ＝BP＝3cm，
∴EQ＝3cm，
当60°≤α≤90°时，点Q向点E作回头运动，当α＝90°时，点Q停止运动，
在Rt△BQP中，∠B＝30°，BP＝6cm，
∴PQ＝tan30°×BP＝2（cm），
∴EQ＝EP﹣PQ＝6﹣2（cm），
∴点Q返回运动的路径长为3﹣（6﹣2）＝2﹣3（cm），
∴点Q的运动路径为3+2﹣3＝2（cm），
故答案为：2．
18．（2021 碑林区校级模拟）如图，在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝AD＝3，AB＝AE＝5，连接BD、CE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中，当∠DBA最大时，S△ACE＝ 6 ．21·世纪*教育网
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思路引导：先确定D的轨迹为以A圆心、AD为半径的圆，再由sin∠ABD＝＝分析出当∠DBA最大时，AH最大，再由直角三角形斜边大于直角边得在旋转的过程中，AD≥AH，即AH≤3，也即AD⊥BD时，AH取得最大值3，算出此时△ABD面积为＝6，再通过取BD中点G，连接AG并延长至F，使得FG＝AG，证明△CAE的面积＝△BAD的面积．21*cnjy*com
完整解答：解：如图，将△ADE绕点A旋转一周，D的轨迹为以A圆心、AD为半径的圆，过A作BD垂线交BD延长线于H，
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∵sin∠ABD＝＝，
∴当∠DBA最大时，AH最大，
在旋转的过程中，AD≥AH，
∴AH≤3，
即AD⊥BD时，AH取得最大值3，
此时在直角三角形ABD中，BD＝＝4，
∴△ABD面积为＝6，
如图，取BD中点G，连接AG并延长至F，使得FG＝AG，
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∵BG＝DG，∠BGF＝∠DGA，FG＝AG，
∴△BFG≌△DAG（SAS），
∴AD＝BF＝AC，∠F＝∠2，△BFG的面积＝△AGD的面积，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠1+∠2+∠CAE＝180°，
∵∠F+∠1+∠ABF＝180°，
∴∠CAE＝∠ABF，
∵AE＝AB，
∴△CAE≌△FBA（SAS），
∴△CAE的面积＝△FBA的面积＝△BFG的面积+△BAG的面积＝△BFG的面积+△DAG的面积＝△BAD的面积，21教育名师原创作品
∴△ACE面积为＝6．
故答案为：6．
19．（2021 西湖区校级三模）如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝ 4 ．在点D运动过程中，CE的最小值 2 ．
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思路引导：以AC为边作正△AFC，并作FH⊥AC，垂足为点H，连接FD、CE，在Rt△ACB中，BC＝＝4，由△FAD≌△CAE，得CE＝FD，CE最小即是FD最小，此时FD＝CH＝AC＝2，故CE的最小值是2．
完整解答：解：以AC为边作正△AFC，并作FH⊥AC，垂足为点H，连接FD、CE，如图：
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在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，
∴BC＝＝＝4，
∵∠DAE＝∠FAC＝60°，
∴∠FAD＝∠CAE，
∵正△AFC，等边三角形ADE，
∴AD＝AE，AF＝AC，
在△FAD和△CAE中，
，
∴△FAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝FD，
∴CE最小即是FD最小，
∴当FD⊥BD时，FD最小，此时∠FDC＝∠DCH＝∠CHF＝90°，
∴四边形FDCH是矩形，
∴FD＝CH＝AC＝2，
∴CE的最小值是2．
故答案为：4，2．
20．（2021 河北区模拟）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是BC边的中点，F是直线DE上的动点．连接CF，将线段CF逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是 ．【版权所有：21教育】
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思路引导：如图，作直线BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因为∠CDF是定值，推出点G在直线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短．
完整解答：解：如图，作直线BG．
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∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠FCG＝∠DCB＝90°，
∴∠BCG＝∠DCF，
∵CG＝CF，
∴△CBG≌△CDF，
∴∠CBG＝∠CDF，
∵∠CDF是定值，
∴点G在直线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，
根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短，
此时tan∠EBG＝＝，设EG＝m，则BG＝2m，
在Rt△BEG中，∵BE2＝BG2+EG2，
∴1＝m2+4m2，
∴m＝（负根已经舍弃），
∴EG的最小值为，
故答案为．
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第23章 旋转
1．（2021 新吴区二模）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），M为AB边上的一动点，N（0，1），连接MN，将△ABO绕点O逆时针旋转一周，则MN的取值范围为 ．21·cn·jy·com
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2．（2021秋 江岸区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB+AC＝a（a＞0），将CB绕C顺时针旋转120°得CD，当DA长的最小值为时，a的值为 ．21*cnjy*com
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3．（2021 泰山区模拟）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB'C′，使点B的对应点B'落在AC上，在B'C'上取点D，使B'D＝2，那么点D到BC的距离等于 ．
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4．（2021 南皮县一模）如图，在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，P是AC边上一点，连接PB，将△PBC绕点B顺时针旋转，得到△DBE，点C，P的对应点分别是点E，D，点E在AB边上．21教育名师原创作品
（1）若P是AC的中点，则DB＝ ；
（2）若PC＝1，则点D到AC的距离为 ．
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5．（2021 新昌县模拟）如图，在矩形ABCD中，BC＝3AB．将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），得到矩形A'B'CD'，边B'C与AD相交于点E，边A'D'与AD的延长线相交于点F．在矩形A'B'CD'旋转过程中，当B'落在线段AD上时，＝ ，当E是线段AF的三等分点时，＝ ．【来源：21cnj*y.co*m】
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6．（2021 雁塔区校级模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，边AD，BC上分别有E、F两点，若直线EF恰好平分矩形ABCD的面积，且与AD的夹角为60°时，则AE的长度为 ．21·世纪*教育网
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7．（2021 路桥区一 ( http: / / www.21cnjy.com )模）如图，已知：Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠A＝30°，AC＝6．现将△CEF绕点C逆时针旋转α度，线段CF与直线AB交于点O，连接OE．则当OE＝OB时，线段OA的长为 ．
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8．（2021秋 二道区校级月考）如图，将 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD绕点A逆时针旋转到 AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，点D落在D′C′上，若AB＝6，BC＝8，BB′＝2，则D′D的长为 ．21教育网
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9．（2021 双阳区一模）如图，在平面 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系中，点A和B的坐标分别为（2，0），（0，﹣4），若将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为 ．www-2-1-cnjy-com
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10．（2021 高要区一模）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，其中点B与点E是对应点，点C与点D是对应点，且DC∥AB，若∠CAB＝65°，则∠CAE的度数为 ．www.21-cn-jy.com
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11．（2021春 高明区期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°并放大得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°并放大得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O，…，依此规律，得到等腰直角三角形A2020OB2020，则点B2020的横坐标为 ．2-1-c-n-j-y
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12．（2021秋 江都区月考）在4× ( http: / / www.21cnjy.com )4正方形网格中，已有3个小方格涂黑，要从13个白色小方格中选出一个也涂黑，使所有黑色部分组成的图形为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．21*cnjy*com
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13．（2021 庆元县模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图1是一款铲车模型．其起物装置由悬臂与大铲斗所组成，图2是其简化示意图．铲斗AB长1米，离地面高度为0.25米，前悬臂BC长为2米，后悬臂CD长为2米，前悬臂与后悬臂张角为α（α不超过120°）．起物开始状态时AB∥CD，∠BCD＝120°，在起物过程中，铲斗始终与地面平行，后悬臂CD的旋转角为β（β不超过90°）．
（1）铲斗离地面的最大高度为 米．
（2）铲斗最外端点A离点D的最远距离为 米．
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14．（2021春 城阳区期中）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，以点O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转120°，得到△OA1B1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到△OA2021B2021，那么点A2021的坐标是 ．21世纪教育网版权所有
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15．（2021 黄梅县模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是 ．2·1·c·n·j·y
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16．（2021 洪洞县三模）如图所示，在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A'B'C，连接AA'，BB'，并延长BB'交AA'于点D，则B'D的长为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
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17．（2021 芜湖模拟）如图1，含30°和45°角的两块直角三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12cm．【出处：21教育名师】
（1）阴影部分的周长为 cm（结果保留根号）；
（2）如图2，点P为边EF ( http: / / www.21cnjy.com )（BC）的中点，现将直角三角板ABC绕点P按逆时针方向旋转角度α，设边AB与EF相交于点Q，则在0°≤α≤90°的变化过程中，点Q移动的路径长度为 cm（结果保留根号）．
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18．（2021 碑林区校级模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝AD＝3，AB＝AE＝5，连接BD、CE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中，当∠DBA最大时，S△ACE＝ ．21cnjy.com
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19．（2021 西湖区校级三模）如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝ ．在点D运动过程中，CE的最小值 ．【版权所有：21教育】
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20．（2021 河北区模拟）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是BC边的中点，F是直线DE上的动点．连接CF，将线段CF逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是 ．
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