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第21章 一元二次方程
1．（2021秋 牡丹江月考）若等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2﹣22x+120＝0的两个解，则等腰△ABC底边上的高为 8或 ．
思路引导：先利用因式分解法解方程，再根据等腰三角形的概念分情况，利用勾股定理求解即可．
完整解答：解：∵x2﹣22x+120＝0，
∴（x﹣10）（x﹣12）＝0，
则x﹣10＝0或x﹣12＝0，
解得x＝10或x＝12，
①若等腰三角形的腰长为10，则底边长度为12，此时底边上的高为＝8；
②若等腰三角形的腰长为12，则底边长度为10，此时底边上的高为＝；
综上，等腰△ABC底边上的高为8或，
故答案为：8或．
2．（2021 黔西南州）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则该三角形的周长为 12 ．21教育网
思路引导：先求出方程的解，再根据三角形的三边关系判断能否组成三角形，最后求出三角形的周长即可．
完整解答：解：解方程x2﹣8x+15＝0得：x＝3或5，
当第三边为3时，2+3＝5，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
当第三边为5时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是2+5+5＝12，
故答案为：12．
3．（2021秋 东莞市月考）已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣4x+3＝0的一个根，则这个三角形的周长为 8 ．【来源：21·世纪·教育·网】
思路引导：先求出方程的解，再利用三角形的三边关系可以判断出三角形的第三边长是3，最后求出周长即可．
完整解答：解：x2﹣4x+3＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
所以x1＝1，x2＝3．
∵1+2＞3 不成立，
∴由三角形的三边关系可知它的第三边长为3，
∴三角形周长为2+3+3＝8．
故答案为：8．
4．（2021 山西模拟）某菜农在2020年 ( http: / / www.21cnjy.com )11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏 5 天．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
完整解答：解：设需要将采摘的黄瓜储藏x天出售，
（6+0.5x）（400﹣10x）﹣40x﹣1600＝1175，
解得，x1＝5，x2＝15（舍去），
即若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏5天．
故答案是：5．
5．（2021 呼和浩特一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x1+x2＝ 2 ；若+＝﹣8，则a＝ ± ．
思路引导：根据根与系数的关系求得：x1+x2＝2，x1 x2＝a2，然后将其代入所求的代数式求值即可．
完整解答：解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2+4a2＞0．
∴a是任意实数．
根据题意知，x1+x2＝2，x1 x2＝﹣a2，
则由+＝﹣8得：＝＝﹣8．
解得a＝±．
故答案是：2；±．
6．（2021春 乳山市期末）关于x ( http: / / www.21cnjy.com )的方程mx2﹣4x﹣5＝0的两个实数根分别为x1和x2，若x1＝n，且mn2﹣4n+m＝6，则x12+x22的值为 26 ．
思路引导：先将x1＝n代入方程得出mn ( http: / / www.21cnjy.com )2﹣4n＝5，再根据mn2﹣4n+m＝6可得m＝1，据此可还原方程，由根与系数的关系知x1+x2＝4，x1x2＝﹣5，代入x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2计算即可得出答案．
完整解答：解：∵关于x的方程mx2﹣4x﹣5＝0的两个实数根分别为x1和x2，且x1＝n，
∴mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，
∵mn2﹣4n+m＝6，
∴5+m＝6，
解得m＝1，
则方程为x2﹣4x﹣5＝0，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣5，
∴x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝42﹣2×（﹣5）
＝16+10
＝26，
故答案为：26．
7．（2021春 崇川区期末）目前以5G ( http: / / www.21cnjy.com )等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2020年底有5G用户2万户，计划到2022年底全市5G用户数累积到达到9.5万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x的值为 120% ．
思路引导：设全市5G用户数年平均增 ( http: / / www.21cnjy.com )长率为x，根据该市2020年底及计划到2022年底全市5G用户数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．www-2-1-cnjy-com
完整解答：解：设全市5G用户数年平均增长率为x，
依题意，得：2（1+x）2＝9.5，
解得：x1≈1.2＝120%，x2≈﹣3.2（不合题意，舍去）．
故答案为：120%．
8．（2021春 嘉兴期末）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有 8 个班级．【版权所有：21教育】
思路引导：设八年级有x个班，根据“各 ( http: / / www.21cnjy.com )班均组队参赛，赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
完整解答：解：设八年级有x个班，
依题意得：x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
则该校八年级有8个班级．
故答案为：8．
9．（2021春 房山区期末）若关于x的方程x2+6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜9 ．【出处：21教育名师】
思路引导：根据根的判别式求出Δ＝62﹣4×1×m＞0，再求出不等式的解集即可．
完整解答：解：∵关于x的方程x2+6x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝62﹣4×1×m＝36﹣4m＞0，
解得：m＜9，
故答案为：m＜9．
10．（2021春 莱芜区期末）某校九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2450张相片，则全班共有 50 名学生．
思路引导：设全班有x名同学，则每人送出（x﹣1）张相片，共送出x（x﹣1）张相片，进而可列出方程，解方程即可求出答案．
完整解答：解：设全班有x名同学，则每人送出（x﹣1）张相片，
根据题意得x（x﹣1）＝2450，
即x2﹣x﹣2450＝0，
（x﹣50）（x+49）＝0，
解得x1＝50，x2＝﹣49（舍去）．
即全班有50名学生．
故答案是：50．
11．（2021秋 三水区月考）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 14 ．
思路引导：先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可．
完整解答：解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14，
故答案为：14．
12．（2020 大庆）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：
①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为 3 ．
思路引导：根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．
完整解答：解：∵x2﹣2x﹣a＝0，
∴Δ＝4+4a，
∴①当a＞﹣1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，
③方程的根为x＝＝1±，
∵a＞﹣1，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，
④当a＞3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，
故答案为3．
13．（2019秋 金湖县期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 9 cm2．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：设小长方形的长为xcm，宽为xcm，根据大长方形的周长结合图形可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据正方形的面积公式即可得出结论．21·世纪*教育网
完整解答：解：设小长方形的长为xcm，宽为xcm，
根据题意得：（x+2×x） x＝135，
解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
则x＝3．
所以3×3＝9（cm 2）．
故答案为：9．
14．（2020秋 常州期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 ②③④ （填序号）21*cnjy*com
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
思路引导：①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，
③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q ( http: / / www.21cnjy.com )＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，
④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
完整解答：解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝，x2＝，
若x1＝2x2，则，＝×2，
即，﹣×2＝0，
∴＝0，
∴＝0，
∴3＝﹣b
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac．
若2x1＝x2时，则，×2＝，
即，则，×2﹣＝0，
∴＝0，
∴﹣b+3＝0，
∴b＝3，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac．
故④正确，
故答案为：②③④
15．（2019 简阳市 模拟）设α、β是方 ( http: / / www.21cnjy.com )程x2+2013x﹣2＝0的两根，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝ ﹣6056 ．21cnjy.com
思路引导：根据α、β是方程x2+2013x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )2＝0的两实数根，把x＝α与x＝β代入得到关系式，利用根与系数得到关系式，原式变形后代入计算即可求出值．
完整解答：解：∵α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两实数根，
∴α2+2013α﹣2＝0，β2+2013β﹣2＝0，α+β＝﹣2013，αβ＝﹣2，
则（α2+2016α﹣1）（ ( http: / / www.21cnjy.com )β2+2016β﹣1）＝（α2+2013α﹣2+3α+1）（β2+2013β﹣2+3β+1）＝（3α+1）（3β+1）＝9αβ+3（α+β）+1＝﹣18﹣6039+1＝﹣6056．
故答案为：﹣6056．
16．（2019秋 沭阳县期中）如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为 ±3或﹣5 ．www.21-cn-jy.com
思路引导：分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案．
完整解答：解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，
则k2﹣9＝0，
解得k＝±3，
②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根，
即Δ＝b2﹣4ac＝0，
即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0
解得：k＝﹣5．
故答案为±3或﹣5．
17．（2020 龙泉驿区模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是 8 ．2·1·c·n·j·y
思路引导：利用根与系数的关系得x1+x2＝ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2k，x1 x2＝k2+k+3，k≤﹣3，再将（x1﹣1）2+（x2﹣1）2化简为（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2），代入即可求解．
完整解答：解：∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，
∴x1+x2＝﹣2k，x1 x2＝k2+k+3，
∵Δ＝4k2﹣4（k2+k+3）＝﹣4k﹣12≥0，解得k≤﹣3，
∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2
＝x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1
＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2
＝（﹣2k）2﹣2（k2+k+3）﹣2（﹣2k）+2
＝2k2+2k﹣4
＝2（k+）2﹣，
∵k≤﹣3，2×（﹣3+）2﹣＝8，
∴2（k+）2﹣≥8，
故（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是8．
故答案为：8．
18．（2020 黄州区校级模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝ ﹣． 2-1-c-n-j-y
思路引导：由二次方程有实根，得到△≥0 ( http: / / www.21cnjy.com )，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比．21*cnjy*com
完整解答：解：∵方程有实根，
∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，
化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，
∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，
∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝﹣，
所以＝﹣．
故答案为﹣．
19．（2013 锦江区模拟）已知a是方程x2﹣2013x+1＝0一个根，求a2﹣2012a+的值为 2012 ．21·cn·jy·com
思路引导：根据一元二次方程的解的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义得到a2﹣2013a+1＝0，则a2＝2013a﹣1，然后把a2＝2013a﹣1代入原式可化简得原式＝a+﹣1，然后通分后再次代入后化简即可．21教育名师原创作品
完整解答：解：∵a是方程x2﹣2013x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2013a+1＝0，
∴a2＝2013a﹣1，
∴原式＝2013a﹣1﹣2012a+＝a+﹣1
＝﹣1
＝﹣1
＝2013﹣1
＝2012．
故答案为：2012．
20．（2009春 丽水期末）已知a，b是方程x2+（m+2）x+1＝0的两根，则（a2+ma+1）（b2+mb+1）的值为 4 ．21世纪教育网版权所有
思路引导：可以将代数式（a2+m ( http: / / www.21cnjy.com )a+1）（b2+mb+1）变形为含有两根和、两根积的形式，再利用根与系数的关系，将两根和、两根积的值代入即可求得．
完整解答：解：∵a，b是方程x2+（m+2）x+1＝0的两根，
∴a+b＝﹣（m+2），ab＝1，
a2+（m+2）a+1＝0，b2+（m+2）b+1＝0，
∴a2+1＝﹣（m+2）a，b2+1＝﹣（m+2）b，
∴（a2+ma+1）（b2+mb+1）＝[﹣（m+）a+ma][﹣（m+2）b+mb]＝（﹣2a） （﹣2b）＝4ab＝4×1＝4．
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第21章 一元二次方程
1．（2021秋 牡丹江月考）若等腰△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC两边的长分别是一元二次方程x2﹣22x+120＝0的两个解，则等腰△ABC底边上的高为 ．
2．（2021 黔西南州）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则该三角形的周长为 ．21世纪教育网版权所有
3．（2021秋 东莞市月考）已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣4x+3＝0的一个根，则这个三角形的周长为 ．www-2-1-cnjy-com
4．（2021 山西模拟）某菜农在2020 ( http: / / www.21cnjy.com )年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏 天．21*cnjy*com
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5．（2021 呼和浩特一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x1+x2＝ ；若+＝﹣8，则a＝ ．
6．（2021春 乳山市期末）关于x的方程 ( http: / / www.21cnjy.com )mx2﹣4x﹣5＝0的两个实数根分别为x1和x2，若x1＝n，且mn2﹣4n+m＝6，则x12+x22的值为 ．
7．（2021春 崇川区期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2020年底有5G用户2万户，计划到2022年底全市5G用户数累积到达到9.5万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x的值为 ．
8．（2021春 嘉兴期末）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有 个班级．【出处：21教育名师】
9．（2021春 房山区期末）若关于x的方程x2+6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．2-1-c-n-j-y
10．（2021春 莱芜区期末）某校九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2450张相片，则全班共有 名学生．【来源：21cnj*y.co*m】
11．（2021秋 三水区月考）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 ．【版权所有：21教育】
12．（2020 大庆）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：
①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为 ．
13．（2019秋 金湖县期末）五 ( http: / / www.21cnjy.com )个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 cm2．
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14．（2020秋 常州期中）如果 ( http: / / www.21cnjy.com )关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）21·cn·jy·com
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
15．（2019 简阳市 模拟）设α、β是方 ( http: / / www.21cnjy.com )程x2+2013x﹣2＝0的两根，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝ ．21cnjy.com
16．（2019秋 沭阳县期中）如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为 ．www.21-cn-jy.com
17．（2020 龙泉驿区 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟）已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是 ．21教育网
18．（2020 黄州区校级模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝ 2·1·c·n·j·y
19．（2013 锦江区模拟）已知a是方程x2﹣2013x+1＝0一个根，求a2﹣2012a+的值为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
20．（2009春 丽水期末）已知a，b是方程x2+（m+2）x+1＝0的两根，则（a2+ma+1）（b2+mb+1）的值为 ．
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