【分题型强化训练】第二十一章 一元二次方程(解答题篇)(原卷版+解析版)

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名称 【分题型强化训练】第二十一章 一元二次方程(解答题篇)(原卷版+解析版)
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资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2022-10-21 19:50:49

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第21章 一元二次方程
1.(2021 金平区模拟)已知关于x的一元二次方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0.
(1)求证:无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)等腰三角形ABC中,AB=3,若AC、BC为方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0的两个实数根,求k的值.21世纪教育网版权所有
思路引导:(1)证明Δ>0即可;
(2)根据△ABC是等腰三角形分类讨论即可.
完整解答:(1)证明:∵Δ=(k+1)2﹣4(2k﹣3)
=k2+2k+1﹣8k+12
=k2﹣6k+13
=(k﹣3)2+4>0,
∴无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)解:当AB=3为腰时,则AC或BC有一条边为腰,
x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0的解为3,
∴9﹣3(k+1)+2k﹣3=0,
解得:k=3,
当AB=3为底时,则AC,BC为腰,
方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0有两个相等的实数根,
由(1)得无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根,故这种情况不存在;
综上所述,k=3.
2.(2021春 响水县校级期末) ( http: / / www.21cnjy.com )(1)x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2(k+1)x+k2+2=0的两实根,且(x1+1) (x2+1)=8,求k的值.21教育网
(2)已知:α,β(α>β)是一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根,设s1=α+β,s2=α2+β2,…,sn=αn+βn.21·cn·jy·com
根据根的定义,有α2﹣α﹣1=0,β2﹣β﹣1=0,将两式相加,得(α2+β2)﹣(α+β)﹣2=0,于是,得s2﹣s1﹣2=0.www-2-1-cnjy-com
根据以上信息,解答下列问题:
①利用配方法求出α,β的值,并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出s1,s2的值.
②猜想:当n≥3时,直接写出sn,sn﹣1,sn﹣2之间满足的数量关系.
思路引导:(1)先根据根与系数的关系得到 ( http: / / www.21cnjy.com )x1+x2=2(k+1),x1x2=k2+2,再变形已知条件得到k2+2+2(k+1)+1=8,解得k1=﹣3,k2=1,然后根据判别式的意义确定k的值.【版权所有:21教育】
(2)①此小题只需对x2﹣x=1配方解得x的值即为α,β的值,再由s1=α+β,s2=α2+β2求得s1,s2的值;
②此小题可猜想得到sn=sn﹣1+sn﹣2,再根据根的定义证明即可.
完整解答:解:(1)由已知定理得:x1+x2=2(k+1),x1x2=k2+2,
∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=2(k+1)+k2+2+1=8,
即k2+2k﹣3=0,解得:k1=﹣3,k2=1,
当k1=﹣3时,Δ=4(k+1)2﹣4(k2+2)=42﹣4×11<0,
∴k1=﹣3舍去,
当k2=1时,Δ=4(k+1)2﹣4(k2+2)=(﹣4)2﹣4×3>0,
∴k的值为1;
(2)①移项,得x2﹣x=1,
配方,得x2﹣2×x×+()2=1+()2,即(x﹣)2=,
开平方,得x﹣=±,即x=,
所以α=,β=.
于是,s1=1,s2=3.
②猜想:sn=sn﹣1+sn﹣2.
证明:根据根的定义,α2﹣α﹣1=0,
两边都乘以αn﹣2,得 αn﹣αn﹣1﹣αn﹣2=0①,
同理,βn﹣βn﹣1﹣βn﹣2=0②,
①+②,得(αn+βn)﹣(αn﹣1+βn﹣1)﹣(αn﹣2+βn﹣2)=0,
因为sn=αn+βn,sn﹣1=αn﹣1+βn﹣1,sn﹣2=αn﹣2+βn﹣2,
所以sn﹣sn﹣1﹣sn﹣2=0,即sn=sn﹣1+sn﹣2.
3.(2021 靖西市模拟)某驻 ( http: / / www.21cnjy.com )村工作队,为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚下,围一块面积为600m2的矩形试验茶园,便于成功后大面积推广.如图所示,茶园一面靠墙,墙长32m,另外三面用68m长的篱笆围成,其中一边开有一扇2m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽.
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导:设当茶园垂直于墙的一边长为xm时,则另一边的长度为(68+2﹣2x)m,根据茶园的面积为600m2,列出方程并解答.【来源:21cnj*y.co*m】
完整解答:解:设茶园垂直于墙的一边长为x m,则另一边的长度为(68+2﹣2x)m.
根据题意,得:
x(68+2﹣2x)=600.
整理,得x2﹣35x+300=0,
解得x1=15,x2=20.
当x=15时,70﹣2x=40>32,不符合题意舍去;
当x=20时,70﹣2x=30,符合题意.
答:这个茶园的长和宽分别为30m、20m.
4.(2020秋 岳阳期末)已知一本数 ( http: / / www.21cnjy.com )学书长为26cm,宽为18.5cm,厚为1cm.一张长方形包书纸如图所示,它的面积为1408cm2,虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形,求正方形的边长.
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导:由图中给出的矩形,用折叠进去的宽度表示出矩形的长和宽,然后根据矩形的面积为1408cm2列出方程,求解即可
完整解答:解:设正方形的边长为xcm,由题意得(18.5×2+1+2x)(26+2x)=1408,
化简得x2+32x﹣105=0,
解得x1=3,x2=﹣35(不合题意,舍去).
答:正方形的边长为3cm.
5.(2021 碑林区校级开学)第十四届 ( http: / / www.21cnjy.com )全运会将于2021年9月15日至9月27日在陕西举行,铁一中分校学生为了迎接这一盛事,亲自设计并生产一种“铁一迎全运”的纪念徽章,并将这种纪念徽章在网上进行销售.平均每天可售出30枚,每枚盈利50元.为了扩大销售,增加盈利,现采取了降价措施,在每枚盈利不少于32元的前提下,销售一段时间后,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2枚,若每枚商品降价a(a为正数)元.2-1-c-n-j-y
(1)用含a的代数式表示平均每天销售的数量,并写出a的取值范围;
(2)若该网店每天销售利润为2100元时,求a的值.
思路引导:(1)根据题意和题目中的数据,可以用含a的代数式表示平均每天销售的数量,并写出a的取值范围;【出处:21教育名师】
(2)根据题意和(1)中的结果,可以列出相应的方程,从而可以得到a的值.
完整解答:解:(1)由题意可得,
每天销售的数量为(30+2a)枚,
∵每枚盈利不少于32元,
∴a≤50﹣32,
即a≤18,
答:平均每天销售的数量为(30+2a)枚,a的取值范围是0<a≤18;
(2)由题意可得,
(50﹣a)(30+2a)=2100,
解得a1=15,a2=20,
由(1)知0<a≤18,故a=20不符合题意,舍去,
∴a=15,
答:该网店每天销售利润为2100元时,a的值是15.
6.(2021 娄底模拟)为 ( http: / / www.21cnjy.com )提高教学质量,市教育局准备采购若干套投影设备升级各学校教学硬件,经考察,某公司有A、B两种型号的投影设备可供选择.
(1)该公司2021年年初每套A型投影设备的售价为2.5万元,经过连续两次降价,年底每套售价为1.6万元,求每套A型投影设备平均下降率n;
(2)2021年年底市教 ( http: / / www.21cnjy.com )育局经过招标,决定采购并安装该公司A,B两种型号的投影设备共80套,采购专项经费总计不超过112万元,采购合同规定:每套A型投影设备售价为1.6万元,每套B型投影设备售价为1.5(1﹣n)万元,则A型投影设备最多可购买多少套?21·世纪*教育网
思路引导:(1)该每套A型投影设备年平均 ( http: / / www.21cnjy.com )下降率n,则第一次降价后的单价是原价的(1﹣n),第二次降价后的单价是原价的(1﹣n)2,根据题意列方程解答即可.
(2)设A型投影设备可购买m套,则B型投影设备可购买(80﹣m)套,根据采购专项经费总计不超过112万元列出不等式并解答;
完整解答:解:(1)依题意得:2.5(1﹣n)2=1.6,
则(1﹣n)2=0.64,
所以1﹣n=±0.8,
所以n1=0.2=20%,n2=1.8(不合题意,舍去).
答:每套A型投影设备年平均下降率n为20%;
(2)设A型投影设备可购买m套,则B型投影设备可购买(80﹣m)套,
依题意得:1.6m+1.5×(1﹣20%)×(80﹣m)≤112,
整理,得1.6m+96﹣1.2m≤112,
解得m≤40,
即A型投影设备最多可购买40套.
7.(2021 碑林区校级开学)今年是 ( http: / / www.21cnjy.com )我国脱贫胜利年,我国在扶贫方面取得了巨大的成就,技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈.该电子器件厂生产一种电脑显卡,2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个,2020年,2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术,降低成本,2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个.21cnjy.com
(1)这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同,求平均每年下降的百分率;
(2)2021年某赛格电脑城以出厂价购 ( http: / / www.21cnjy.com )进若干个此类电脑显卡,以200元/个销售时,平均每天可销售20个.为了减少库存,该电脑城决定降价销售.经调查发现,单价每降低5元,每天可多售出10个,如果每天盈利1150元,单价应降低多少元?
思路引导:(1)设平均下降率为x ( http: / / www.21cnjy.com ),利用2021年该类电脑显卡的出厂价=2019年该类电脑显卡的出厂价×(1﹣下降率)2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其符合题意的值即可得出结论;
(2)设单价应降低m元,则 ( http: / / www.21cnjy.com )每个的销售利润为(38﹣m)元,每天可售出(20+2m)个,利用每天销售该电脑显卡获得的利润=每个的销售利润×日销售量,即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,结合要减少库存即可得出结论.
完整解答:解:(1)设平均下降率为x,
依题意得:200(1﹣x)2=162,
解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去).
答:平均下降率为10%.
(2)设单价应降低m元,则每个的销售利润为(200﹣m﹣162)=(38﹣m)元,每天可售出20+×10=(20+2m)个,
依题意得:(38﹣m)(20+2m)=1150,
整理得:m2﹣28m+195=0,
解得:m1=15,m2=13.
∵要减少库存,
∴m=15.
答:单价应降低15元.
8.(2021 沙坪坝区校级开学) ( http: / / www.21cnjy.com )为做好开学前后新冠肺炎疫情防控工作,保障广大师生员工生命安全和身体健康,重庆某中学决定向某医药生产厂家购买防疫物资.学校原计划订购84消毒液和医用酒精共5000瓶,已知消毒液每瓶单价24元,酒精每瓶单价20元.
(1)据悉,学校计划购买防疫物资的总资金不超过112000元,那么原计划最多购买消毒液多少瓶?
(2)后来,学校决定就以11 ( http: / / www.21cnjy.com )2000元的总资金,按照(1)中消毒液的最大数量进行购买.但学校后勤处通过调查统计发现医用酒精的需求量更大,于是学校接受了后勤处的建议,在原计划的基础上消毒液少订购了10a瓶,医用酒精多订购了原计划的a%,医药生产厂家决定对医用酒精给予优惠,单价降低5a%元,消毒液单价不变,最终学校花费和原计划一样多就完成了订购,求a(a≠0)的值.
思路引导:(1)设原计划购买消毒液x瓶 ( http: / / www.21cnjy.com ),则原计划购买医用酒精(5000﹣x)瓶,根据学校计划购买防疫物资的总资金不超过112000元,即可得出关于x的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论;
(2)根据最终学校花费和原计划一样多就完成了订购,即可得出关于a的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
完整解答:解:(1)设原计划购买消毒液x瓶,则原计划购买医用酒精(5000﹣x)瓶,
依题意,得:24x+20(5000﹣x)≤112000,
解得:x≤3000.
答:原计划最多购买消毒液3000瓶.
(2)依题意,得:24×(3000﹣10a)+(20﹣5a%)×(5000﹣3000)(1+a%)=112000,
解得:a1=60,a2=0(不合题意,舍去).
答:a的值为60.
9.(2021 日照)某药店新进一批桶装消 ( http: / / www.21cnjy.com )毒液,每桶进价35元,原计划以每桶55元的价格销售,为更好地助力疫情防控,现决定降价销售.已知这种消毒液销售量y(桶)与每桶降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示:
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)在这次助力疫情防控活动中,该药店仅获利1760元.这种消毒液每桶实际售价多少元?
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b,将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式,即可求解;
(2)根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于x的一元二次方程,通过解方程即可求解.
完整解答:解:(1)设y与销售单价x之间的函数关系式为:y=kx+b,
将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式得:,
解得:,
故函数的表达式为:y=10x+100;
(2)由题意得:(10x+100)×(55﹣x﹣35)=1760,
整理,得x2﹣10x﹣24=0.
解得x1=12,x2=﹣2(舍去).
所以55﹣x=43.
答:这种消毒液每桶实际售价43元.
10.(2021 宜昌模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟)大学生小王成立的农产品公司预计用3年时间实现三种农产品售出a万元的目标.2018年,出售产品A和B的销售额是C产品的2倍、4倍.随后两年,A产品每年都增加b万元,预计A产品三年总售价为54万元时达成目标:B产品销售额从2019年开始逐年按同一百分数递减,依此规律,在2020年只需售出5万元,即可顺利达成;C产品2019年销售额在前一年基础上的增长率是A产品2019年销售额增长率的1.5倍,2020年的销售额比该产品前两年的销售总和还多4万元,若这样,C产品也可以如期售完.经测算,这三年的A产品、C产品的销售总额之比达到3:2.
(1)这三年用于C产品的销售额达到多少万元?
(2)求B产品逐年递减的百分数.
思路引导:(1)由A产品三年总售价为54万元时达成目标以及这三年的A产品、C产品的销售总额之比达到3:2可得答案;
(2)设2018年,C产品的销售额为x万元, ( http: / / www.21cnjy.com )则A产品的销售额为2x万元,B产品的销售额是4x万元,根据“A产品三年总售价为54万元、这三年用于C产品的销售额达到36万元”列方程组,解得x,由x=5得出2018年B产品的销售额为20万元,设从2019年开始,B产品的销售额逐年递减的百分数为y,根据“B产品销售额在2020年只需售出5万元”列方程求解可得.
完整解答:解:(1)54×=36(万元),
答:这三年用于C产品的销售额达到36万元;
(2))设2018年,C产品的销售额为x万元,则A产品的销售额为2x万元,B产品的销售额是4x万元,
根据题意,得:,
解得:,
由x=5得,2018年B产品的销售额为20万元,
设从2019年开始,B产品的销售额逐年递减的百分数为y,
由题意,得:20(1﹣y)2=5,
解得:y1=0.5,y2=1.5(舍)
答:B产品逐年递减的百分数为50%.
11.(2021秋 海陵区校级月考)已知关于x的一元二次方程x2﹣2(k+1)x+k2+k+3=0(k为常数).
(1)若方程的两根为菱形相邻两边长,求k的值;
(2)是否存在满足条件的常数k,使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长,若存在,求k的值;若不存在,说明理由.
思路引导:(1)根据菱形的性质知四边相等,方程的两根为菱形相邻两边长,得Δ=0,求出k;
(2)根与系数的关系求出两根之和、两根之积,根据菱形的两对角线互相垂直平分,由勾股定理列等式,求出k.
完整解答:解:(1)∵方程的两根为菱形相邻两边长,
∴此方程有两个相等的的实数根,
∴Δ=0,
∴[﹣2(k+1)]2﹣4(k2+k+3)=0,
4(k2+2k+1)﹣4k2﹣4k﹣12=0,
4k2+8k+4﹣4k2﹣4k﹣12=0,
4k﹣8=0,
k=2,
(2)不存在,
∵该方程的两解是菱形的两对角线长,
∴a+b=2(k+1),ab=k2+k+3,
设菱形的两对角线长a,b.
∵菱形的两对角线互相垂直平分,
∴由勾股定理得,+=4,
+=4,
b2+a2=16,
∴b2+2ab+a2﹣2ab=16,
(a+b)2﹣2ab=16,
[2(k+1)]2﹣2(k2+k+3)=16,
解得k=,
∵Δ=4k﹣8,
∴4k﹣8≥0.
∴k≥2,
∵k=<2,
∴不存在满足条件的常数k.
12.(2021春 东至县期末 ( http: / / www.21cnjy.com ))山清水秀的东至县三条岭已成为游客最喜欢的旅游地之一,其中“蔡岭”在2019年“五一”小长假期间,接待游客达2万人次,预计在2021年“五一”小长假期间,接待游客2.88万人次,在蔡岭,一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益,经测算知,该小面成本价为每碗10元,借鉴以往经验,若每碗卖15元,平均每天将销售120碗,若价格每提高0.5元,则平均每天少销售4碗,每天店面所需其他各种费用为168元.
(1)求出2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率;
(2)为了更好地维护东至县形象,物价局规 ( http: / / www.21cnjy.com )定每碗售价不得超过20元,则当每碗售价定为多少元时,店家才能实现每天净利润600元?(净利润=总收入﹣总成本﹣其它各种费用)【来源:21·世纪·教育·网】
思路引导:(1)可设年平均增长率 ( http: / / www.21cnjy.com )为x,根据等量关系:2019年五一长假期间,接待游客达209万人次,在202091年五一长假期间,接待游客将达2.88万人次,列出方程求解即可;
(2)可设每碗售价定为y元时,店家才能实现每天利润600元,根据利润的等量关系列出方程求解即可.
完整解答:解:(1)可设年平均增长率为x,依题意有
2(1+x)2=2.88,
解得x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(舍去).
答:年平均增长率为20%;
(2)设每碗售价定为y元时,店家才能实现每天利润600元,依题意得:
(y﹣10)[120﹣(y﹣15)]﹣168=600,
解得y1=18,y2=22,
∵每碗售价不得超过20元,
∴y=18.
答:当每碗售价定为18元时,店家才能实现每天利润600元.
13.(2021 九龙坡区 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟)节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标,规划提出要在2030年前实现“碳达峰”,到2060年实现“碳中和”发展.为响应国家号召,某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建,该计划拟定2021年,工厂改建和重建数量共100座,且改建座数不低于重建座数的4倍.21*cnjy*com
(1)按拟定计划,2021年至少要改建多少座工厂?
(2)经财政实际预算,2021年改建 ( http: / / www.21cnjy.com )与重建工厂的平均费用之比为1:2,且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算,将花费资金156亿元.为加快实现“碳达峰”的目标,该省政府计划加大投入,计划指出2022年用于工厂改建和重建的费用将在2021年实际预算的基础上增加10a%,另外2022年改建与重建工厂的平均费用将比2021年分别增加a%和5a%,改建与重建工厂的座数将比2021年分别增加5a%和8a%,求a的值.
思路引导:(1)设2021年改建x座工厂,则重建工厂为(100﹣x)座,根据改建座数不低于重建座数的4倍列出不等式求解即可;
(2)设2021年改建一座工 ( http: / / www.21cnjy.com )厂花费y亿元,重建一座为2y亿元,根据将花费资金156亿元列出方程求出y;再根据2022年改建和重建的费用和等于2021年实际预算的基础上增加10a%,列出方程求出a.
完整解答:解:(1)设2021年改建x座工厂,则重建工厂为(100﹣x)座,
根据题意得:x≥4(100﹣x),
解得:x≥80,
∴至少改建80座工厂;
(2)由(1)得:2021年改建工厂80座,则此时重建工厂20座,
设改建一座工厂花费y亿元,重建一座为2y亿元,
根据题意得:80y+20×2y=156,
解得y=1.3,
∴2y=2.6,
由题意得:1.3(1+a%)×80(1+5a%)+2.6(1+5a%)×20(1+8a%)=156(1+10a%),
解得:a=10.
14.(2021春 渝中区校级月考)202 ( http: / / www.21cnjy.com )0年某地由于各种因素的影响,猪肉价格持续走高,同时其他肉类的价格也有一定程度的上涨,引起了当地政府的高度关注.某超市11月份的猪肉销量是牛肉销量的3倍,且猪肉价格为每千克70元,牛肉价格为每千克120元.
(1)若该超市11月份猪肉、牛肉的总销售额不低于26.4万元,则11月份的猪肉销量至少多少千克?
(2)由于12月份香肠腊肉等传统美食的制作,使得市场的猪肉需求量加大,政府也投放大量储备猪肉对价格进行调控,12月份猪肉的销量比11月份猪肉的最低销量增长了15a%,12月份的猪肉价格比11月份降低了a%,12月份牛肉的销量与11月份牛肉的最低销量相等,且价格比11月份降低了a%.最终该超市12月份猪肉和牛肉的销售额比11月份这两种肉的最低销售额增加了a%,求a的值.
思路引导:(1)设11月份的 ( http: / / www.21cnjy.com )羊肉的销量为x千克,则猪肉的销量为3x千克,根据总价=单价×数量结合该超市11月份猪肉、羊肉的总销售额不低于26.4万元,即可得出关于x的一元一次不等式,解之即可得出x的取值范围,进而可得出3x的取值范围,取其中的最小值即可得出结论;
(2)根据总价=单价×数量结合该超市12月份猪肉和羊肉的销售额比11月份这两种肉的销售额增加了a%,即可得出关于a的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
完整解答:解:(1)设11月份的羊肉的销量为x千克,则猪肉的销量为3x千克,
依题意,得:70×3x+120x≥264000,
解得:x≥800,
∴3x≥2400.
答:11月份的猪肉销量至少为2400千克.
(2)依题意,得:70(1﹣a%)×2400(1+15a%)+800×120×(1﹣a%)=264000×(1+a%),
整理,得:357a2﹣5355a=0,
解得:a1=20,a2=0(舍去).
答:a的值为20.
15.(2021 兴化市模拟) ( http: / / www.21cnjy.com )某商店销售一款工艺品,每件的成本是30元,为了合理定价,投放市场进行试销:据市场调查,销售单价是40元时,每天的销售量是80件,而销售单价每提高1元,每天就少售出2件,但要求销售单价不得超过55元.2·1·c·n·j·y
(1)若销售单价为每件45元,求每天的销售利润;
(2)要使每天销售这种工艺品盈利1200元,那么每件工艺品售价应为多少元?
思路引导:(1)根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量,即可求出结论;
(2)设每件工艺品售价为x元,则每天 ( http: / / www.21cnjy.com )的销售量是[80﹣2(x﹣40)]件,根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.
完整解答:解:(1)(45﹣30)×[80﹣(45﹣40)×2]=1050(元).
答:每天的销售利润为1050元.
(2)设每件工艺品售价为x元,则每天的销售量是[80﹣2(x﹣40)]件,
依题意,得:(x﹣30)[80﹣2(x﹣40)]=1200,
整理,得:x2﹣110x+3000=0,
解得:x1=50,x2=60(不合题意,舍去).
答:每件工艺品售价应为50元.
16.(2021 湖北模拟)某区各 ( http: / / www.21cnjy.com )街道居民积极响应“创文明社区”活动,据了解,某街道居民人口共有7.5万人,街道划分为A,B两个社区,B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍.
(1)求A社区居民人口至少有多少万人?
(2)街道工作人员调查A,B两个社区居民对 ( http: / / www.21cnjy.com )“社会主义核心价值观”知晓情况发现:A社区有1.2万人知晓,B社区有1万人知晓,为了提高知晓率,街道工作人员用了两个月的时间加强宣传,A社区的知晓人数平均月增长率为m%,B社区的知晓人数第一个月增长了m%,第二个月增长了2m%,两个月后,街道居民的知晓率达到76%,求m的值.
思路引导:(1)设A社区居民人口有x万人,根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可;
(2)A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×76%,据此列出关于m的方程并解答.
完整解答:解:(1)设A社区居民人口有x万人,则B社区有(7.5﹣x)万人,
依题意得:7.5﹣x≤2x,
解得x≥2.5.
即A社区居民人口至少有2.5万人;
(2)依题意得:1.2(1+m%)2+1×(1+m%)×(1+2m%)=7.5×76%
设m%=a,方程可化为:
1.2(1+a)2+(1+a)(1+2a)=5.7
化简得:32a2+54a﹣35=0
解得a=0.5或a=﹣(舍)
∴m=50
答:m的值为50.
17.(2020秋 白银期末)某水果商场经销一种高档水果,原价每千克50元,连续两次降价后每千克32元,若每次下降的百分率相同21*cnjy*com
(1)求每次下降的百分率;
(2)若每千克盈利10元,每天可售 ( http: / / www.21cnjy.com )出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,商场决定采取适当的涨价措施,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,且要尽快减少库存,那么每千克应涨价多少元?21教育名师原创作品
思路引导:(1)设每次降价的百分率为a,(1﹣a)2为两次降价的百分率,50降至32就是方程的平衡条件,列出方程求解即可;
(2)根据题意列出一元二次方程,然后求出其解,最后根据题意确定其值.
完整解答:解:(1)设每次下降的百分率为a,根据题意,得:
50(1﹣a)2=32,
解得:a=1.8(舍)或a=0.2,
答:每次下降的百分率为20%;
(2)设每千克应涨价x元,由题意,得
(10+x)(500﹣20x)=6000,
整理,得 x2﹣15x+50=0,
解得:x1=5,x2=10,
因为要尽快减少库存,所以x=5符合题意.
答:该商场要保证每天盈利6000元,那么每千克应涨价5元.
18.(2021 市中区校级一模)今年 ( http: / / www.21cnjy.com )奉节脐橙喜获丰收,某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售.经核算,每箱成本为40元,统一零售价定为每箱50元,可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售.www.21-cn-jy.com
(1)问最多打几折销售,才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%?
(2)该村最开始几天每天可卖5000箱,因脐橙的保鲜周期短,需要尽快打开销路,减少积压,村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%,这样每天可多销售m%;为了保护农户的收益与种植积极性,政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励,结果该村每天脐橙销售的利润为49000元,求m的值.
思路引导:(1)设打x折销售,根据利润率=≥10%,列方程可得结论;
(2)等量关系为:(售价﹣成本)×销售量=利润;原售价基础上每箱降价3m%,每天可多销售m%,依此列出方程,解方程即可.
完整解答:解:(1)设打x折销售,才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%,
由题意得:≥10%,
x≥8.8,
答:最多打8.8折销售,才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%;
(2)由题意得:5000(1+m%)[50(1﹣3m%)+m﹣40]=49000,
5(1+)(50﹣m+m﹣40)=49,
m2﹣5m﹣6=0,
m1=6,m2=﹣1(舍).
19.(2021 越秀区校级二模 ( http: / / www.21cnjy.com ))已知:如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,当其中一点到达终点后,另外一点也随之停止运动.
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于4cm2?
(2)在(1)中,△PQB的面积能否等于7cm2?请说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导:(1)经过x秒钟,△PBQ ( http: / / www.21cnjy.com )的面积等于4cm2,根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,表示出BP和BQ的长可列方程求解;
(2)看△PBQ的面积能否等于7cm2,只需令×2x(5﹣x)=7,化简该方程后,判断该方程的△与0的关系,大于或等于0则可以,否则不可以.
完整解答:解:(1)设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2,根据题意得(5﹣x)×2x=4,
整理得:x2﹣5x+4=0,
解得:x=1或x=4(舍去).
答:1秒后△PBQ的面积等于4cm2;
(2)仿(1)得(5﹣x)2x=7.
整理,得x2﹣5x+7=0,因为b2﹣4ac=25﹣28<0,
所以,此方程无解.
所以△PBQ的面积不可能等于7cm2.
20.(2021 广州模拟)如图所示,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.
(1)点P从点A开始沿AB ( http: / / www.21cnjy.com )边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A,B同时出发,线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分?若能,求出运动时间;若不能说明理由.
(2)若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm ( http: / / www.21cnjy.com )/s的速度移动,点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动,P、Q同时出发,问几秒后,△PBQ的面积为1cm2?
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导:(1)设经过x秒,线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分,根据面积之间的等量关系和判别式即可求解;
(2)分三种情况:①点P在线段AB上, ( http: / / www.21cnjy.com )点Q在线段CB上(0<t≤4);②点P在线段AB上,点Q在线段CB上(4<t≤6);③点P在射线AB上,点Q在射线CB上(t>6);进行讨论即可求解.
完整解答:解:(1)设经过x秒,线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知:AP=x,BQ=2x,则BP=6﹣x,
∴(6﹣x) 2x=××6×8,
∴x2﹣6x+12=0,
∵b2﹣4ac<0,
此方程无解,
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分;
(2)设t秒后,△PBQ的面积为1
①当点P在线段AB上,点Q在线段CB上时
此时0<t≤4
由题意知:(6﹣t)(8﹣2t)=1,
整理得:t2﹣10t+23=0,
解得:t1=5+(不合题意,应舍去),t2=5﹣,
②当点P在线段AB上,点Q在线段CB的延长线上时
此时4<t≤6,
由题意知:(6﹣t)(2t﹣8)=1,
整理得:t2﹣10t+25=0,
解得:t1=t2=5,
③当点P在线段AB的延长线上,点Q在线段CB的延长线上时
此时t>6,
由题意知:(t﹣6)(2t﹣8)=1,
整理得:t2﹣10t+23=0,
解得:t1=5+,t2=5﹣,(不合题意,应舍去),
综上所述,经过5﹣秒、5秒或5+秒后,△PBQ的面积为1.
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第21章 一元二次方程
1.(2021 金平区模拟)已知关于x的一元二次方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0.
(1)求证:无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)等腰三角形ABC中,AB=3,若AC、BC为方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0的两个实数根,求k的值.21cnjy.com
2.(2021春 响水县校级期末)( ( http: / / www.21cnjy.com )1)x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2(k+1)x+k2+2=0的两实根,且(x1+1) (x2+1)=8,求k的值.2-1-c-n-j-y
(2)已知:α,β(α>β)是一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根,设s1=α+β,s2=α2+β2,…,sn=αn+βn.
根据根的定义,有α2﹣α﹣1=0,β2﹣β﹣1=0,将两式相加,得(α2+β2)﹣(α+β)﹣2=0,于是,得s2﹣s1﹣2=0.
根据以上信息,解答下列问题:
①利用配方法求出α,β的值,并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出s1,s2的值.
②猜想:当n≥3时,直接写出sn,sn﹣1,sn﹣2之间满足的数量关系.
3.(2021 靖西市模拟)某驻村工作 ( http: / / www.21cnjy.com )队,为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚下,围一块面积为600m2的矩形试验茶园,便于成功后大面积推广.如图所示,茶园一面靠墙,墙长32m,另外三面用68m长的篱笆围成,其中一边开有一扇2m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽.
( http: / / www.21cnjy.com / )
4.(2020秋 岳阳期末)已知一本数学 ( http: / / www.21cnjy.com )书长为26cm,宽为18.5cm,厚为1cm.一张长方形包书纸如图所示,它的面积为1408cm2,虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形,求正方形的边长.
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5.(2021 碑林区校级开学)第十四 ( http: / / www.21cnjy.com )届全运会将于2021年9月15日至9月27日在陕西举行,铁一中分校学生为了迎接这一盛事,亲自设计并生产一种“铁一迎全运”的纪念徽章,并将这种纪念徽章在网上进行销售.平均每天可售出30枚,每枚盈利50元.为了扩大销售,增加盈利,现采取了降价措施,在每枚盈利不少于32元的前提下,销售一段时间后,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2枚,若每枚商品降价a(a为正数)元.21*cnjy*com
(1)用含a的代数式表示平均每天销售的数量,并写出a的取值范围;
(2)若该网店每天销售利润为2100元时,求a的值.
6.(2021 娄底模拟)为提高教学质量,市 ( http: / / www.21cnjy.com )教育局准备采购若干套投影设备升级各学校教学硬件,经考察,某公司有A、B两种型号的投影设备可供选择.
(1)该公司2021年年初每套A型投影设备的售价为2.5万元,经过连续两次降价,年底每套售价为1.6万元,求每套A型投影设备平均下降率n;
(2)2021年年底市教育局经 ( http: / / www.21cnjy.com )过招标,决定采购并安装该公司A,B两种型号的投影设备共80套,采购专项经费总计不超过112万元,采购合同规定:每套A型投影设备售价为1.6万元,每套B型投影设备售价为1.5(1﹣n)万元,则A型投影设备最多可购买多少套?
7.(2021 碑林区校级开学)今 ( http: / / www.21cnjy.com )年是我国脱贫胜利年,我国在扶贫方面取得了巨大的成就,技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈.该电子器件厂生产一种电脑显卡,2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个,2020年,2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术,降低成本,2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个.【来源:21cnj*y.co*m】
(1)这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同,求平均每年下降的百分率;
(2)2021年某赛格电脑城 ( http: / / www.21cnjy.com )以出厂价购进若干个此类电脑显卡,以200元/个销售时,平均每天可销售20个.为了减少库存,该电脑城决定降价销售.经调查发现,单价每降低5元,每天可多售出10个,如果每天盈利1150元,单价应降低多少元?www.21-cn-jy.com
8.(2021 沙坪坝区校级开学)为做好开学 ( http: / / www.21cnjy.com )前后新冠肺炎疫情防控工作,保障广大师生员工生命安全和身体健康,重庆某中学决定向某医药生产厂家购买防疫物资.学校原计划订购84消毒液和医用酒精共5000瓶,已知消毒液每瓶单价24元,酒精每瓶单价20元.
(1)据悉,学校计划购买防疫物资的总资金不超过112000元,那么原计划最多购买消毒液多少瓶?
(2)后来,学校决定就以112000元的总 ( http: / / www.21cnjy.com )资金,按照(1)中消毒液的最大数量进行购买.但学校后勤处通过调查统计发现医用酒精的需求量更大,于是学校接受了后勤处的建议,在原计划的基础上消毒液少订购了10a瓶,医用酒精多订购了原计划的a%,医药生产厂家决定对医用酒精给予优惠,单价降低5a%元,消毒液单价不变,最终学校花费和原计划一样多就完成了订购,求a(a≠0)的值.
9.(2021 日照)某药店新进一批桶装消毒 ( http: / / www.21cnjy.com )液,每桶进价35元,原计划以每桶55元的价格销售,为更好地助力疫情防控,现决定降价销售.已知这种消毒液销售量y(桶)与每桶降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示:
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)在这次助力疫情防控活动中,该药店仅获利1760元.这种消毒液每桶实际售价多少元?
( http: / / www.21cnjy.com / )
10.(2021 宜昌模拟)大 ( http: / / www.21cnjy.com )学生小王成立的农产品公司预计用3年时间实现三种农产品售出a万元的目标.2018年,出售产品A和B的销售额是C产品的2倍、4倍.随后两年,A产品每年都增加b万元,预计A产品三年总售价为54万元时达成目标:B产品销售额从2019年开始逐年按同一百分数递减,依此规律,在2020年只需售出5万元,即可顺利达成;C产品2019年销售额在前一年基础上的增长率是A产品2019年销售额增长率的1.5倍,2020年的销售额比该产品前两年的销售总和还多4万元,若这样,C产品也可以如期售完.经测算,这三年的A产品、C产品的销售总额之比达到3:2.21教育名师原创作品
(1)这三年用于C产品的销售额达到多少万元?
(2)求B产品逐年递减的百分数.
11.(2021秋 海陵区校级月考)已知关于x的一元二次方程x2﹣2(k+1)x+k2+k+3=0(k为常数).2·1·c·n·j·y
(1)若方程的两根为菱形相邻两边长,求k的值;
(2)是否存在满足条件的常数k,使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长,若存在,求k的值;若不存在,说明理由.
12.(2021春 东至县期末)山清水秀的东 ( http: / / www.21cnjy.com )至县三条岭已成为游客最喜欢的旅游地之一,其中“蔡岭”在2019年“五一”小长假期间,接待游客达2万人次,预计在2021年“五一”小长假期间,接待游客2.88万人次,在蔡岭,一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益,经测算知,该小面成本价为每碗10元,借鉴以往经验,若每碗卖15元,平均每天将销售120碗,若价格每提高0.5元,则平均每天少销售4碗,每天店面所需其他各种费用为168元.
(1)求出2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率;
(2)为了更好地维护东至县 ( http: / / www.21cnjy.com )形象,物价局规定每碗售价不得超过20元,则当每碗售价定为多少元时,店家才能实现每天净利润600元?(净利润=总收入﹣总成本﹣其它各种费用)21世纪教育网版权所有
13.(2021 九龙坡区 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟)节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标,规划提出要在2030年前实现“碳达峰”,到2060年实现“碳中和”发展.为响应国家号召,某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建,该计划拟定2021年,工厂改建和重建数量共100座,且改建座数不低于重建座数的4倍.21教育网
(1)按拟定计划,2021年至少要改建多少座工厂?
(2)经财政实际预算,2021年改建 ( http: / / www.21cnjy.com )与重建工厂的平均费用之比为1:2,且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算,将花费资金156亿元.为加快实现“碳达峰”的目标,该省政府计划加大投入,计划指出2022年用于工厂改建和重建的费用将在2021年实际预算的基础上增加10a%,另外2022年改建与重建工厂的平均费用将比2021年分别增加a%和5a%,改建与重建工厂的座数将比2021年分别增加5a%和8a%,求a的值.21·cn·jy·com
14.(2021春 渝中区校级月考)20 ( http: / / www.21cnjy.com )20年某地由于各种因素的影响,猪肉价格持续走高,同时其他肉类的价格也有一定程度的上涨,引起了当地政府的高度关注.某超市11月份的猪肉销量是牛肉销量的3倍,且猪肉价格为每千克70元,牛肉价格为每千克120元.【来源:21·世纪·教育·网】
(1)若该超市11月份猪肉、牛肉的总销售额不低于26.4万元,则11月份的猪肉销量至少多少千克?
(2)由于12月份香肠腊肉等传统美食的制作,使得市场的猪肉需求量加大,政府也投放大量储备猪肉对价格进行调控,12月份猪肉的销量比11月份猪肉的最低销量增长了15a%,12月份的猪肉价格比11月份降低了a%,12月份牛肉的销量与11月份牛肉的最低销量相等,且价格比11月份降低了a%.最终该超市12月份猪肉和牛肉的销售额比11月份这两种肉的最低销售额增加了a%,求a的值.21·世纪*教育网
15.(2021 兴化市模拟)某商 ( http: / / www.21cnjy.com )店销售一款工艺品,每件的成本是30元,为了合理定价,投放市场进行试销:据市场调查,销售单价是40元时,每天的销售量是80件,而销售单价每提高1元,每天就少售出2件,但要求销售单价不得超过55元.www-2-1-cnjy-com
(1)若销售单价为每件45元,求每天的销售利润;
(2)要使每天销售这种工艺品盈利1200元,那么每件工艺品售价应为多少元?
16.(2021 湖北模拟)某区各 ( http: / / www.21cnjy.com )街道居民积极响应“创文明社区”活动,据了解,某街道居民人口共有7.5万人,街道划分为A,B两个社区,B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍.【版权所有:21教育】
(1)求A社区居民人口至少有多少万人?
(2)街道工作人员调查A,B ( http: / / www.21cnjy.com )两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现:A社区有1.2万人知晓,B社区有1万人知晓,为了提高知晓率,街道工作人员用了两个月的时间加强宣传,A社区的知晓人数平均月增长率为m%,B社区的知晓人数第一个月增长了m%,第二个月增长了2m%,两个月后,街道居民的知晓率达到76%,求m的值.
17.(2020秋 白银期末)某水果商场经销一种高档水果,原价每千克50元,连续两次降价后每千克32元,若每次下降的百分率相同
(1)求每次下降的百分率;
(2)若每千克盈利10元,每天可 ( http: / / www.21cnjy.com )售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,商场决定采取适当的涨价措施,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,且要尽快减少库存,那么每千克应涨价多少元?
18.(2021 市中区校级一模)今 ( http: / / www.21cnjy.com )年奉节脐橙喜获丰收,某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售.经核算,每箱成本为40元,统一零售价定为每箱50元,可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售.
(1)问最多打几折销售,才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%?
(2)该村最开始几天每天可卖5000箱,因脐橙的保鲜周期短,需要尽快打开销路,减少积压,村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%,这样每天可多销售m%;为了保护农户的收益与种植积极性,政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励,结果该村每天脐橙销售的利润为49000元,求m的值.
19.(2021 越秀区校级二模)已 ( http: / / www.21cnjy.com )知:如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,当其中一点到达终点后,另外一点也随之停止运动.【出处:21教育名师】
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于4cm2?
(2)在(1)中,△PQB的面积能否等于7cm2?请说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com / )
20.(2021 广州模拟)如图所示,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.
(1)点P从点A开始沿AB边向B以 ( http: / / www.21cnjy.com )1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A,B同时出发,线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分?若能,求出运动时间;若不能说明理由.
(2)若P点沿射线AB方向从A点出发 ( http: / / www.21cnjy.com )以1cm/s的速度移动,点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动,P、Q同时出发,问几秒后,△PBQ的面积为1cm2?21*cnjy*com
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