北师大版七年级数学下册试题 第四章 《三角形》单元测试卷 （含答案）

第四章 《三角形》单元测试卷
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（　　）
A．90° B．120° C．135° D．150°
2．如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（ ）
A．25 B．38 C．70 D．135
4．如图，已知，平分，若，，则的度数是（ ）
A．50° B．44° C．34° D．30°
5．如图，，，若根据“ASA”判定，那么要补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，垂足分别为D，E，，交于点H，已知，，则的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A2020为顶点的底角度数是（　）
A．（）2020 75° B．（）2020 65°
C．（）2021 75 D．（）2021 65°
8．如图，在外找一个点（与点A不重合），并以为一边作，使之与全等，且不是等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是中线，过点B作BF⊥AE于点F，过点C作CD⊥BC交BF的延长线于点D．下列结论：①BE＝CE；②AE＝BD；③∠BAE＝∠CBD；④∠EAC＝∠BAE；⑤BC＝2CD．正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全等于△PBQ，则此时t的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．如图，在ADE和ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．
二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。
13．已知a，b，c为△ABC三边的长，化简＝_______．
14．在中给定下面几组条件：
①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；
②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；
③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；
④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．
若根据每组条件画图，则能够唯一确定的是___________（填序号）.
15．如图，BA 和CA 分别是ABC的内角平分线和外角平分线，BA 是∠A BD的角平分线，CA 是∠A CD的角平分线，BA 是∠A BD的角平分线，CA 是∠A CD的角平分线，…，若∠A=a，则∠A =______；_______．
16．如图，在等边中，是的平分线，点是的中点，点是上的一个动点，连接，，当的值最小时，的度数为__________．
17．如图，已知的面积为15，AD平分，于点D，则的面积是______．
18．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B＋∠D＝180°，若BE＝3，CE＝4，S△ACE＝14，则S△ACD＝________．
三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）
19．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5，AC=3．
（1）边BC的取值范围是 ；
（2）△ABD与△ACD的周长之差为 ；
（3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高．
20．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，点D是AC边的中点，延长BD至点E，使得DE＝BD，连结CE．
（1）求证：△ABD≌△CED．
（2）当BC＝5，CD＝3时，求△BCE的周长．
21．芳芳同学要证，她先用下列尺规作图步骤作图：①；②以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接；③过点作，垂足为点．并写出了如下不完整的已知和求证．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按芳芳的想法写出证明过程．
22．探索归纳：
(1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则________．
(2)如图2，已知中，，剪去后成四边形，则__________．
(3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想与的关系是___________．
(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系并说明理由．
23．数学模型（“一线三等角”模型）
(1)如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥AD于点D，CE⊥AD于点E．求证：△ABD≌△CAE．
(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．若CE＝a，BD＝b，求DE的长度（用含a，b的代数式表示）；
(3)如图3，D，E是直线上的动点，若△ABF和△ACF都是等边三角形，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，试判断△DEF的形状，并说明理由．
24．如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t＜3）．
(1)用含t的代数式表示PC的长度．
(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
答案
一、选择题。
C．D．B．C．D．A． A．C．D．C．A．C．
二、填空题。
13．2c．
14．①③④．
15．，．
16．60°．
17．．
18．8．
三、解答题
19．
解：（1）∵△ABC中AB=5，AC=3，
∴，
即，
故答案为：；
（2）∵△ABD的周长为，
△ACD的周长为，
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴，
∴-()=，
故答案为：；
（3）设AC边上的高为，
根据题意得：,
即，
解得．
20．
（1）证明：∵AB＝BC，点D是AC边的中点，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDE＝90°．
又∵DE＝BD，
∴△ABD≌△CED（SAS）；
（2）解：∵BD＝＝＝4，
∴BE＝2BD＝8．
又∵CE＝AB＝BC＝5，
∴BC+CE+BE＝5+5+8＝18，即△BCE的周长为18．
21．
（1）∵以点B为圆心，BC长为半径画弧
∴BC=BE
根据已知条件第一句话，得到AE=BF
故答案为：BE；BF；
（2）证明：∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠FBC．
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE=BC，
在△ABE与△FCB中，
∴△ABE≌△FCB，
∴AE=BF
22．
(1)解：如下图所示：
在△AEF中，由外角性质可知：∠1=∠A+∠EFA=90°+∠EFA，∠2=∠A+∠AEF=90°+∠AEF，
∴∠1+∠2=(90°+∠EFA)+( 90°+∠AEF)=180°+∠EFA+∠AEF，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠A=90°，∠EFA+∠AEF=180°-∠A=90°，
∴∠1+∠2=180°+90°=270°．
(2)解：如下图所示：
在△AEF中，由外角性质可知：∠1=∠A+∠EFA，∠2=∠A+∠AEF，
∴∠1+∠2=(∠A+∠EFA)+( ∠A+∠AEF)=(∠A +∠EFA+∠AEF)+∠A=180°+40°=220°．
(3)解：由(1)、(2)中思路，由三角形外角性质可知：
∠1=∠A+∠EFA，∠2=∠A+∠AEF，
∴∠1+∠2=(∠A+∠EFA)+( ∠A+∠AEF)=(∠A +∠EFA+∠AEF)+∠A=180°+∠A，
∴与的关系是：∠1+∠2=180°+∠A．
(4)解：与的关系为：，理由如下：
如图，
∵是由折叠得到的，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴与的关系．
23．
(1)证明：∵∠1+∠2＝∠2+∠C＝90°，
∴∠1＝∠C，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
(2)解：∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝180°﹣α＝∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∵CE＝a，BD＝b，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE＝a+b；
(3)解：△DEF是等边三角形，理由如下：
∵△ABF和△ACF都是等边三角形
∴AB＝AC，
由（2）知：△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，
∵△ACF是等边三角形，△ABF是等边三角形，
∴∠CAF＝60°，AB＝AF，
∴∠ABD+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
即∠DBF＝∠FAE，
在△BDF和△AEF中，
，
∴△BDF≌△AEF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝∠AFD+∠BFD＝60°，
∴△DEF是等边三角形．
24．
(1)由题意得：PB＝2t，
则PC＝6﹣2t；
故答案为：6﹣2t；
(2)理由是：当t＝a＝1时，PB＝CQ＝2，
∴PC＝6﹣2＝4，
∵∠B＝∠C，
∴AC＝AB＝8，
∵D是AB的中点，
∴BD＝AB＝4，
∴BD＝PC＝4，
在△CQP和△BPD中，
∵，
∴△CQP≌△BPD（SAS）；
(3)∵点P、Q的运动速度不相等，
∴PB≠CQ，
当△BPD与△CQP全等，且∠B＝∠C，
∴BP＝PC＝3，CQ＝BD＝4，
∵BP＝2t＝3，CQ＝at＝4，
∴t＝，
∴a＝4，a＝，
∴当a＝时，能够使△BPD与△CQP全等．