第十四章 轴对称.doc[上学期]
文档属性
| 名称 | 第十四章 轴对称.doc[上学期] |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 211.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2006-04-01 19:32:00 | ||
图片预览
文档简介
第十四章 轴对称
14.1 轴对称
教学目标
知识技能
1．在生活中认识轴对称，理解轴对称的概念，了解轴对称图形的性质；
2．掌握线段垂直平分线的概念及其性质；
3．掌握作图形轴对称图的方法．
数学思考
1．通过丰富的生活实例认识轴对称，能识别简单的轴对称图形及其对称轴；
2．探究线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力；
3．在探究过程中，培养学生观察、分析和归纳能力．
情感态度
1．通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高；
2．在探究的过程中，更大程度的激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力．
教学重点和难点
重点：
1．轴对称图形的概念以及轴对称的性质；
2．线段垂直平分线的性质．
难点：
1．找出轴对称图形的对称轴；
2．体验轴对称的特征；
3．探索轴对称图形对称轴的作法．
教学过程与流程设计
1．观察图形，认识轴对称图形
把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现什么共同的特点？
轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫过轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
课堂练习1：
下列图形是轴对称图形吗？如果是，你能指出它的对称轴吗？
2．观察，认识图形关于轴对称
观察下面的每对图形有什么共同特点？
像上面这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条折线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
课堂练习2：
下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，使者找出它们的对称轴，并找出一对对称点．
3．自己动手，小组合作，探究两个图形对称的性质，学习垂直平分线的定义
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段A A′、B B′、CC′与直线MN有什么关系？ 简单证明你的结论．
对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．
垂直平分线：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
思考：（1）线段是轴对称图形吗？如果是，找出它的对称轴；如果不是，说明理由．
（2）如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点连线的_____．轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的_________ ．
4．自主探究垂直平分线的性质
在一张半透明的纸上作一条线段AB，将线段AB对折，使A、B重合，画出折痕l，即直线l是线段AB的垂直平分线．在直线l上取点P1，P2，P3，分别量出P1，P2，P3到A与B的距离，你有什么发现？
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
课堂练习3：
如图，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D．BE＝6，求△BCE的周长．
再次讨论，探究垂直平分线性质定理的逆定理是否成立？
下图是由一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋做成的一个简易的“弓”，现在要使“箭”从木棒中央的孔射出去，怎样才能保证射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
课堂练习3：
5．从例题学习中，学习线段垂直平分线的作法
例 如图，点A和点B关于某条直线称轴对称，你能作出这条直线吗？
作法：如图
课堂练习4：
6．课堂小结
（1）学习本内容中，你有什么收获？
（2）还有什么疑问吗？
7．作业：
习题14.1：第5题（作业本），其他做在课本上
14.2 轴对称变换
教学目标
知识技能
1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换；
2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形；
3．在平面直角坐标系中，探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，利用这个规律作出关于x轴、y轴对称的图形．
数学思考
1．经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际中的应用；
2．在探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律的过程中，发展学生数形结合的思维意识．
情感态度
1．鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣；
2．在探索规律的过程中，提高学生的求知欲和强烈的好奇心．
教学重点和难点
重点：
1．能够作出简单平面图形的轴对称图形；
2．理解图形上的点的坐标的变化和图形的轴对称变换之间的关系；
3．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识．
难点：
1．作出简单平面图形的轴对称图形；
2．用坐标表示轴对称．
教学过程与流程设计
1．自己动手，体会轴对称变换的含义
在一张纸的左边部分，画出一个图形，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，可以得到两个图形，这两个图形关于折线对称．连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分．
类似，可以作出许多美丽的图案．
归纳规律：
像上面这样，有一个平面图形对到它的对称图形叫做轴对称变换．
2．从实践中，探讨如何作出一个图形关于一条直线对称的图形
例 如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形．
作法：如图
归纳：
课堂练习1：
（1）如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形．
（2）用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合．
3．探究轴对称的简单应用
如果，要在燃气管道l上修建一个气站，分别向A、B两镇供气．气站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
（学生自主探究完成此问题，要求完成132页的思考题）
4．用坐标表示轴对称
学生任意写出几个点的坐标，在平面直角坐标系中作出这些点的对称点，并求出他们对称点的坐标，总结规律．
规律：
（1）点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）
（2）点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）
例 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1）、B（－2，1）、C（－2，5）、D（－5，4），分别作出于四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．
课堂练习2：
5．探究图形关于平行于x轴或y轴的直线对称的规律
如图，分别作出PQR关于直线x=1（记为m）和直线y=－1（几位n）对称的图形．你能发现他们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？
6．课堂小结
（1）学习本内容中，你有什么收获？
（2）还有什么疑问吗？
7．作业
习题14.2 第四题（作业本）其他做在课本
14.3等腰三角形
教学目标：
知识技能
了解等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质定理及推论，会用定理及推论解决简单问题．
数学思考
培养学生探究思维、逻辑思维能力，探索引辅助线的规律．
情感态度与价值观：
渗透"实践--理论--实践"的辩证唯物主义思想，培养探究分析数学知识方法的兴趣，养成踏实细致、严谨科学的学习习惯．
教学重点与难点
重点：理解等腰三角形的性质定理、推论，并能用它们解决简单的问题．
难点：引辅助线证明定理和推论1的应用．
教学过程与流程设计
引导性材料：
1． 学生把等腰三角形的两腰叠在一起，发现它的两个底角重合，这说明等腰三角形具有什么性质？（等腰三角形的两个底角相等）（演示叠合过程）
2． 教师用等腰三角形纸片演示两腰叠合，再把纸片展开．
提问：你能发现等腰三角形还有什么特性吗
（引入课题，明确目标）（显示教学目标）
教学设计：
问题1：怎样来证明“等腰三角形的两个底角相等”呢？
已知：如图，△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
（方法1）证明：作顶角的平分线AD.
在△BAD和△CAD中.
AB=AC （已知）
∠1=∠2 （辅助线作法）
AD=AD （公共边）
∴△BAD≌△CAD（SAS）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
问题2：上述命题还有哪些证法？
方法2：作底边BC上的高AD. （证明过程由学生口述）
方法3：作底边BC上的中线AD.（证明过程由学生口述）
（演示）：等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）
观察上述三种方法，思考如下问题：
（1） 在等腰△ABC中，如果AD是顶角的平分线，那么AD是否平分底边？是否垂直于底边？
（2） 在等腰△ABC中，如果AD是底边上的高，那么AD是否平分顶角？是否平分底边？
（3） 在等腰△ABC中，如果AD是底边上的中线，那么AD是否平分顶角？是否垂直于底边？
推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边．
（等腰三角形的顶角平分线、底边上中线、底边上的高互相重合．）
练习：填空，在△ABC中，
（1） ∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠ ＝∠ ， = ．
（2） ∵AB=AC，AD是中线，
∴ ⊥ ，∠ ＝∠ ．
（3） ∵AB=AC，AD是角平分线，
∴ ⊥ ， = ．
问题2：等边三角形是特殊的等腰三角形，除具有等腰三角形的性质外，还有特殊的性质吗？
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.（学生完成证明）
已知：如图，△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°
证明：∵ AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角），
∵AC=BC，
∴∠A=∠B（等边对等角），
∴∠A=∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），
∴∠A=∠B=∠C=60°
例题解析：
例1：填空，1.在△ABC中，AB=AC．
（1） 若∠A=50°，则∠B= °，∠C= °；
（2） 若∠B=45°，则∠A= °，∠C= °；
（3） 若∠B=∠A，则∠A= °，∠C= °；
（4） 若∠B=2∠A，则∠A= °，∠C= °．
2．等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是 ．
3．等腰三角形的一个角是120°，则它的底角是 ．
例2：已知，如图(6)，房顶的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．
解：在△ABC中，
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C （等底对等角），
∴∠B=∠C=（180°－∠BAC）=40°,
（三角形内角和定理），
又∵AD⊥BC（已知），
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合），
∵∠BAC=100°，
(7) ∴
课堂练习：
已知：如图(7)中的三角形测平架中，AB=AC，在BC的中点挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点恰好在重锤线上．
求证：（1）AD⊥BC；
（2）这时BC处于水平位置，为什么？
课堂小结：
1． 等腰三角形的性质定理：“等边对等角”，揭示了同一个三角形中边与角之间的关系；
2． 等腰三角形性质定理的推论1、推论2；
3． 由推论1知，等腰三角形“底边上的三条主要线段互相重合”，这条线段具有三种不同的“身份”，因此，它是推证两条线段相等、角相等以及两条直线互相垂直必须关注的“热线”．
4． 掌握证明几何命题的完整过程，以及不同辅助线的添法，从中体验数学知识的美妙．
作业：习题14.3 第6、7题（作业本），其他课本
A
B
C
A ′
B ′
C ′
M
N
P
14.1 轴对称
教学目标
知识技能
1．在生活中认识轴对称，理解轴对称的概念，了解轴对称图形的性质；
2．掌握线段垂直平分线的概念及其性质；
3．掌握作图形轴对称图的方法．
数学思考
1．通过丰富的生活实例认识轴对称，能识别简单的轴对称图形及其对称轴；
2．探究线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力；
3．在探究过程中，培养学生观察、分析和归纳能力．
情感态度
1．通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高；
2．在探究的过程中，更大程度的激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力．
教学重点和难点
重点：
1．轴对称图形的概念以及轴对称的性质；
2．线段垂直平分线的性质．
难点：
1．找出轴对称图形的对称轴；
2．体验轴对称的特征；
3．探索轴对称图形对称轴的作法．
教学过程与流程设计
1．观察图形，认识轴对称图形
把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现什么共同的特点？
轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫过轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
课堂练习1：
下列图形是轴对称图形吗？如果是，你能指出它的对称轴吗？
2．观察，认识图形关于轴对称
观察下面的每对图形有什么共同特点？
像上面这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条折线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
课堂练习2：
下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，使者找出它们的对称轴，并找出一对对称点．
3．自己动手，小组合作，探究两个图形对称的性质，学习垂直平分线的定义
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段A A′、B B′、CC′与直线MN有什么关系？ 简单证明你的结论．
对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．
垂直平分线：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
思考：（1）线段是轴对称图形吗？如果是，找出它的对称轴；如果不是，说明理由．
（2）如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点连线的_____．轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的_________ ．
4．自主探究垂直平分线的性质
在一张半透明的纸上作一条线段AB，将线段AB对折，使A、B重合，画出折痕l，即直线l是线段AB的垂直平分线．在直线l上取点P1，P2，P3，分别量出P1，P2，P3到A与B的距离，你有什么发现？
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
课堂练习3：
如图，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D．BE＝6，求△BCE的周长．
再次讨论，探究垂直平分线性质定理的逆定理是否成立？
下图是由一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋做成的一个简易的“弓”，现在要使“箭”从木棒中央的孔射出去，怎样才能保证射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
课堂练习3：
5．从例题学习中，学习线段垂直平分线的作法
例 如图，点A和点B关于某条直线称轴对称，你能作出这条直线吗？
作法：如图
课堂练习4：
6．课堂小结
（1）学习本内容中，你有什么收获？
（2）还有什么疑问吗？
7．作业：
习题14.1：第5题（作业本），其他做在课本上
14.2 轴对称变换
教学目标
知识技能
1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换；
2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形；
3．在平面直角坐标系中，探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，利用这个规律作出关于x轴、y轴对称的图形．
数学思考
1．经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际中的应用；
2．在探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律的过程中，发展学生数形结合的思维意识．
情感态度
1．鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣；
2．在探索规律的过程中，提高学生的求知欲和强烈的好奇心．
教学重点和难点
重点：
1．能够作出简单平面图形的轴对称图形；
2．理解图形上的点的坐标的变化和图形的轴对称变换之间的关系；
3．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识．
难点：
1．作出简单平面图形的轴对称图形；
2．用坐标表示轴对称．
教学过程与流程设计
1．自己动手，体会轴对称变换的含义
在一张纸的左边部分，画出一个图形，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，可以得到两个图形，这两个图形关于折线对称．连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分．
类似，可以作出许多美丽的图案．
归纳规律：
像上面这样，有一个平面图形对到它的对称图形叫做轴对称变换．
2．从实践中，探讨如何作出一个图形关于一条直线对称的图形
例 如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形．
作法：如图
归纳：
课堂练习1：
（1）如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形．
（2）用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合．
3．探究轴对称的简单应用
如果，要在燃气管道l上修建一个气站，分别向A、B两镇供气．气站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
（学生自主探究完成此问题，要求完成132页的思考题）
4．用坐标表示轴对称
学生任意写出几个点的坐标，在平面直角坐标系中作出这些点的对称点，并求出他们对称点的坐标，总结规律．
规律：
（1）点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）
（2）点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）
例 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1）、B（－2，1）、C（－2，5）、D（－5，4），分别作出于四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．
课堂练习2：
5．探究图形关于平行于x轴或y轴的直线对称的规律
如图，分别作出PQR关于直线x=1（记为m）和直线y=－1（几位n）对称的图形．你能发现他们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？
6．课堂小结
（1）学习本内容中，你有什么收获？
（2）还有什么疑问吗？
7．作业
习题14.2 第四题（作业本）其他做在课本
14.3等腰三角形
教学目标：
知识技能
了解等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质定理及推论，会用定理及推论解决简单问题．
数学思考
培养学生探究思维、逻辑思维能力，探索引辅助线的规律．
情感态度与价值观：
渗透"实践--理论--实践"的辩证唯物主义思想，培养探究分析数学知识方法的兴趣，养成踏实细致、严谨科学的学习习惯．
教学重点与难点
重点：理解等腰三角形的性质定理、推论，并能用它们解决简单的问题．
难点：引辅助线证明定理和推论1的应用．
教学过程与流程设计
引导性材料：
1． 学生把等腰三角形的两腰叠在一起，发现它的两个底角重合，这说明等腰三角形具有什么性质？（等腰三角形的两个底角相等）（演示叠合过程）
2． 教师用等腰三角形纸片演示两腰叠合，再把纸片展开．
提问：你能发现等腰三角形还有什么特性吗
（引入课题，明确目标）（显示教学目标）
教学设计：
问题1：怎样来证明“等腰三角形的两个底角相等”呢？
已知：如图，△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
（方法1）证明：作顶角的平分线AD.
在△BAD和△CAD中.
AB=AC （已知）
∠1=∠2 （辅助线作法）
AD=AD （公共边）
∴△BAD≌△CAD（SAS）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
问题2：上述命题还有哪些证法？
方法2：作底边BC上的高AD. （证明过程由学生口述）
方法3：作底边BC上的中线AD.（证明过程由学生口述）
（演示）：等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）
观察上述三种方法，思考如下问题：
（1） 在等腰△ABC中，如果AD是顶角的平分线，那么AD是否平分底边？是否垂直于底边？
（2） 在等腰△ABC中，如果AD是底边上的高，那么AD是否平分顶角？是否平分底边？
（3） 在等腰△ABC中，如果AD是底边上的中线，那么AD是否平分顶角？是否垂直于底边？
推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边．
（等腰三角形的顶角平分线、底边上中线、底边上的高互相重合．）
练习：填空，在△ABC中，
（1） ∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠ ＝∠ ， = ．
（2） ∵AB=AC，AD是中线，
∴ ⊥ ，∠ ＝∠ ．
（3） ∵AB=AC，AD是角平分线，
∴ ⊥ ， = ．
问题2：等边三角形是特殊的等腰三角形，除具有等腰三角形的性质外，还有特殊的性质吗？
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.（学生完成证明）
已知：如图，△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°
证明：∵ AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角），
∵AC=BC，
∴∠A=∠B（等边对等角），
∴∠A=∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），
∴∠A=∠B=∠C=60°
例题解析：
例1：填空，1.在△ABC中，AB=AC．
（1） 若∠A=50°，则∠B= °，∠C= °；
（2） 若∠B=45°，则∠A= °，∠C= °；
（3） 若∠B=∠A，则∠A= °，∠C= °；
（4） 若∠B=2∠A，则∠A= °，∠C= °．
2．等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是 ．
3．等腰三角形的一个角是120°，则它的底角是 ．
例2：已知，如图(6)，房顶的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．
解：在△ABC中，
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C （等底对等角），
∴∠B=∠C=（180°－∠BAC）=40°,
（三角形内角和定理），
又∵AD⊥BC（已知），
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合），
∵∠BAC=100°，
(7) ∴
课堂练习：
已知：如图(7)中的三角形测平架中，AB=AC，在BC的中点挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点恰好在重锤线上．
求证：（1）AD⊥BC；
（2）这时BC处于水平位置，为什么？
课堂小结：
1． 等腰三角形的性质定理：“等边对等角”，揭示了同一个三角形中边与角之间的关系；
2． 等腰三角形性质定理的推论1、推论2；
3． 由推论1知，等腰三角形“底边上的三条主要线段互相重合”，这条线段具有三种不同的“身份”，因此，它是推证两条线段相等、角相等以及两条直线互相垂直必须关注的“热线”．
4． 掌握证明几何命题的完整过程，以及不同辅助线的添法，从中体验数学知识的美妙．
作业：习题14.3 第6、7题（作业本），其他课本
A
B
C
A ′
B ′
C ′
M
N
P