2.3 等腰三角形 课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
等腰三角形
动脑筋
如图,把一张长方形纸片按图中的虚线对折,
AC和AB有什么关系 这个三角形有什么特点
然后沿着虚线剪去一部分,再把它展开,
得△ABC。
说一说
定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
边：等腰三角形中,相等的两条边叫做腰，
另一条边叫做底边。
角：等腰三角形中,两腰的夹角叫做顶角，
腰和底边的夹角叫做底角。
探究
任意画一个等腰三角形ABC， 其中AB =AC，如图, 作△ABC 关于顶角平分线AD 所在直线的轴反射， 由于∠1 =∠2，AB=AC，因此：
射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线 ；
线段AB的像是线段AC，线段AC的像是线段 ；
点B的像是点C，点C的像是点 ；
线段BC的像是线段CB。
从而等腰三角形ABC关于直线 对称。
AB
AB
B
AD
探究
由于点D 的像是点D, 因此线段DB 的像是线段 ， 从而AD 是底边BC上的 。
由于射线DB的像是射线DC, 射线DA的像是射线 , 因此∠BDA=∠CDA= °, 从而AD是底边BC上的 。
由于射线BA 的像是射线CA , 射线BC 的像是射线 ,因此∠B ∠C
DC
中点
DA
90
高
CB
=
结论
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
在△ABC中，
∵ AC=AB（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
几何语言：
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
在△ABC中，AB=AC, 点 D在BC上
1、∵AD ⊥ BC
∴∠ = ∠ ，
= 。
2、∵AD是中线，
∴ ⊥ ，
∠ =∠ 。
3、∵AD是角平分线，
∴ ⊥ ，
= 。
几何语言：
BAD CAD
BD CD
BD CD
BAD CAD
AD BC
AD BC
在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ ABC各角的度数 。
解：∵在△ABC中，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∵在△ABD中，BD=AD
∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠A+∠ABD,
即∠BDC=2∠A
∵ 在△BDC中，BD=BC
∴∠BDC=∠BCD,
∠A+2∠ACB=180°
即 ∠A+4∠A=180°
∴∠A=36°
∠ABC=∠BCA=2∠A=72°
牛刀小试
如图（1）在等腰△ABC中，AB=AC, ∠A=36°,则∠B = ,∠C= 。
变式练习
1、如图（2）在等腰△ABC中，∠A=50°,则∠B = ，∠C= 。
2、如图（3）在等腰△ABC中，∠A=120°则∠B = ，∠C= 。
72 °
72 °
65°
65°
30°
30°
图（1）
图（2）
图（3）
想一想
如图，△ABC是等边三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之间有什么关系呢？
因为△ABC 是等边三角形，
所以AB＝BC＝AC,
从而∠C＝∠A＝∠B
由三角形内角和定理可得：
∠A＝∠B＝∠C＝60°
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°
结论
由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线。
例1 已知：如图,在△ABC中,AB=AC,点D, E在边BC上, 且AD=AE，求证：BD=CE.
证明：作AF⊥BC,垂足为点F, 则AF是等腰三角形ABC 和等腰三角形ADE 底边上的高, 也是底边上的中线。
∴ BF = CF，
DF=EF，
∴ BF－DF=CF－EF，
即BD=CE
举
例
如图三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身, 使点A恰好在铅垂线上。
(1) AD与BC是否垂直,试说明理由;
(2) 这时BC处于水平位置,为什么
议一议
练习
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，BC= 4，求∠BAD的度数及DC的长。
答：∠BAD=24.5°
DC=2
2.如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD= 80°，AD=AP，求∠DPC的度数。
答：∠DPC =20°
中考 试题
1.等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形周长为（ ）
A.9cm B.12cm C.9cm或12cm D.14cm
B
解析
另一边长为2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三边关系定理，故选5
∴周长为5+5+2=12cm
中考 试题
2.若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A.50° B.80° C.65°或50° D.50°或80°
解析
因为50°可作为等腰三角形的一顶角或一底角，故选D
D
小结与复习
本节课你学习了等腰三角形的哪些重要性质
我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
探究
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？
我测量后发现AB与AC相等
3cm
3cm
事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C
沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，
则∠1=∠2.
又∠B=∠C，
由三角形内角和的性质得∠ADB=∠ADC.
D
1
2
沿AD所在直线折叠，
由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，
所以射线DB与射线DC重合，
射线AB与射线AC重合
从而点B与点C重合，
于是AB=AC
结论
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)。
结论
三个角都是60°的三角形是等边三角形。
由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC。求证：△ADE为等腰三角形。
举
例
证明 ∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C
又∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴ ∠ADE=∠AED
于是△ADE为等腰三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？
动脑筋
如图，在等腰三角形ABC中，
AB=AC
由三角形内角和定理得
∠A+∠B+∠C=180°
如果顶角∠A=60°，
则∠B+∠C=180°-60°=120°
又 AB=AC，
∴ ∠B=∠C
∴ ∠B=∠C=∠A=60°
∴ △ABC是等边三角形
由此得到另一条等边三角形的判定定理：
结论
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
例3 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE。求证：△ADE是等边三角形。
举
例
证明 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠C= 60°
∵∠EAD=∠BAC= 60°
又 AD=AE，
∴△ADE是等边三角形
（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
作业
谢 谢