14.2.1平方差公式 课件（24张PPT）
文档属性
| 名称 | 14.2.1平方差公式 课件（24张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 6.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-23 00:10:44 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
14.2.1平方差公式
人教版八年级上册
教学目标
1、理解并掌握公式的结构特征，会用平方差公式运算。
2、经历探索平方差公式的过程，学会观察、发现规律并归纳、概括，
3、体验数学活动充满着创造性和探索性，并在数学活动中体验成功的喜悦
重点：平方差公式的推导和应用
难点：理解平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式。
复习回顾
多项式与多项式是如何相乘的？
(x ＋ 3)( x＋5)
=x2
＋5x
＋3x
＋15
=x2
＋8x
＋15.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
新知讲解
①(x ＋ 1)( x–1)；
②(m ＋ 2)( m–2)；
③(2m＋ 1)(2m–1)；
④(5y ＋ z)(5y–z).
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
做一做
x2 – 12
m2–22
(2m)2 – 12
(5y)2 – z2
这些计算结果有什么特点？
想一想
新知讲解
(a+b)(a b)=
a2 b2
两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.
公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2
2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
平方差公式
新知讲解
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
(a+b)(a–b)=(a)2–(b)2
相同为a
相反为b，–b
适当交换
合理加括号
平方差公式
新知讲解
公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项
式或者多项式；
2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另
一项互为相反数；
3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
(a+b)(a– b)=
a2– b2.
温馨提示
新知讲解
你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？
思考
新知讲解
方法一：设矩形EBNM的面积+矩形ADFE的面积=S.
S= = .
A
D
F
E
B
N
M
(a-b)b+(a-b)a
a2-b2
新知讲解
方法二：剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，如图.
S=S四边形AEBN = .
A
D(M)
N
E
B
N
M
B
(a-b)(a+b)
新知讲解
(1)(3x+2)(3x-2)； (2)(-x+2y)(-x-2y).
3x
例 运用平方差公式计算：
(1)中，可以将 看作a，将 看作b，计算结果是 . (2)中，可以将 看作a，将 看作b，计算结果是 .
2
9x2 -4
-x
2y
x2 -4y2
(2) 原式= (–x)2 – (2y)2
= x2 – 4y2.
解： (1)原式=(3x)2–22
=9x2–4；
易错警示：
当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.
强化练习
【课本P108 练习 第1题】
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）(x＋2)(x－2) ＝x2－2
（2）(－3a－2)(3a－2) ＝9a2－4
强化练习
运用平方差公式计算：
（1）( x-y)( x+y); （2）(xy+1)(xy-1);
（3）(2a-3b)(3b+2a); （4）(-2b-5)(2b-5);
【课本P112 第1题】
例题讲解
例2 计算:
(1) 102×98; (2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) .
= 1002–22
解: (1) 102×98
=10000 – 4
=(100＋2)(100–2)
=9996；
= y2–4–y2–4y+5
(2)(y+2)(y–2)– (y–1)(y+5)
= y2–22–(y2+4y–5)
= – 4y + 1.
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
强化练习
【课本P108 练习 第2题】
3.运用平方差公式计算：
（1）(a＋3b)(a－3b) （2）(3＋2a)(－3＋2a)
强化练习
【课本P108 练习 第2题】
3.运用平方差公式计算：
（3）51×49 （4）(3x＋4)(3x－4) －(2x＋3)(3x－2)
例题讲解
例3 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2–1–(9–n2)
＝10n2–10.
∵(10n2–10)÷10=n2–1.
n为正整数，
∴n2–1为整数
强化练习
4.如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2
=[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)]
=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)
=4n×2
=8n
因为8n是8的倍数，所以结论成立.
课堂小结
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
1.符号表示：(a+b)(a–b)=a2–b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.
拓展提高
1、先化简，再求值：(x+1)(x–1) +x2(1–x) +x3，其中x＝2.
解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3
=2x2–1.
将x＝2代入上式，
原式=2×22–1=7.
拓展提高
2、解方程组
(x+2)2-(y-3)2 = (x+y)(x-y)，
x-3y = 2.
【课本P112 第9题】
拓展提高
3、已知x≠1，计算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3，
(1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝ 1–x4
(1)观察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
1–xn+1
–63
2n＋1–2
x100–1
谢谢
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兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin
14.2.1平方差公式
人教版八年级上册
教学目标
1、理解并掌握公式的结构特征，会用平方差公式运算。
2、经历探索平方差公式的过程，学会观察、发现规律并归纳、概括，
3、体验数学活动充满着创造性和探索性，并在数学活动中体验成功的喜悦
重点：平方差公式的推导和应用
难点：理解平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式。
复习回顾
多项式与多项式是如何相乘的？
(x ＋ 3)( x＋5)
=x2
＋5x
＋3x
＋15
=x2
＋8x
＋15.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
新知讲解
①(x ＋ 1)( x–1)；
②(m ＋ 2)( m–2)；
③(2m＋ 1)(2m–1)；
④(5y ＋ z)(5y–z).
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
做一做
x2 – 12
m2–22
(2m)2 – 12
(5y)2 – z2
这些计算结果有什么特点？
想一想
新知讲解
(a+b)(a b)=
a2 b2
两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.
公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2
2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
平方差公式
新知讲解
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
(a+b)(a–b)=(a)2–(b)2
相同为a
相反为b，–b
适当交换
合理加括号
平方差公式
新知讲解
公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项
式或者多项式；
2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另
一项互为相反数；
3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
(a+b)(a– b)=
a2– b2.
温馨提示
新知讲解
你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？
思考
新知讲解
方法一：设矩形EBNM的面积+矩形ADFE的面积=S.
S= = .
A
D
F
E
B
N
M
(a-b)b+(a-b)a
a2-b2
新知讲解
方法二：剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，如图.
S=S四边形AEBN = .
A
D(M)
N
E
B
N
M
B
(a-b)(a+b)
新知讲解
(1)(3x+2)(3x-2)； (2)(-x+2y)(-x-2y).
3x
例 运用平方差公式计算：
(1)中，可以将 看作a，将 看作b，计算结果是 . (2)中，可以将 看作a，将 看作b，计算结果是 .
2
9x2 -4
-x
2y
x2 -4y2
(2) 原式= (–x)2 – (2y)2
= x2 – 4y2.
解： (1)原式=(3x)2–22
=9x2–4；
易错警示：
当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.
强化练习
【课本P108 练习 第1题】
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）(x＋2)(x－2) ＝x2－2
（2）(－3a－2)(3a－2) ＝9a2－4
强化练习
运用平方差公式计算：
（1）( x-y)( x+y); （2）(xy+1)(xy-1);
（3）(2a-3b)(3b+2a); （4）(-2b-5)(2b-5);
【课本P112 第1题】
例题讲解
例2 计算:
(1) 102×98; (2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) .
= 1002–22
解: (1) 102×98
=10000 – 4
=(100＋2)(100–2)
=9996；
= y2–4–y2–4y+5
(2)(y+2)(y–2)– (y–1)(y+5)
= y2–22–(y2+4y–5)
= – 4y + 1.
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
强化练习
【课本P108 练习 第2题】
3.运用平方差公式计算：
（1）(a＋3b)(a－3b) （2）(3＋2a)(－3＋2a)
强化练习
【课本P108 练习 第2题】
3.运用平方差公式计算：
（3）51×49 （4）(3x＋4)(3x－4) －(2x＋3)(3x－2)
例题讲解
例3 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2–1–(9–n2)
＝10n2–10.
∵(10n2–10)÷10=n2–1.
n为正整数，
∴n2–1为整数
强化练习
4.如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2
=[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)]
=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)
=4n×2
=8n
因为8n是8的倍数，所以结论成立.
课堂小结
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
1.符号表示：(a+b)(a–b)=a2–b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.
拓展提高
1、先化简，再求值：(x+1)(x–1) +x2(1–x) +x3，其中x＝2.
解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3
=2x2–1.
将x＝2代入上式，
原式=2×22–1=7.
拓展提高
2、解方程组
(x+2)2-(y-3)2 = (x+y)(x-y)，
x-3y = 2.
【课本P112 第9题】
拓展提高
3、已知x≠1，计算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3，
(1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝ 1–x4
(1)观察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
1–xn+1
–63
2n＋1–2
x100–1
谢谢
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https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin