北师大版八年级数学下册试题 第六章 平行四边形 单元测试卷 （含答案）

第六章 《平行四边形》单元测试卷
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的内角和是（　　）
A．360° B．900° C．1440° D．1800°
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．以下是排乱的证明过程：
①∵AE＝CF，∴BE＝FD；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD；
③∴DE＝BF，
④∴四边形EBFD是平行四边形．
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．①→②→③→④ B．①→④→②→③ C．②→①→④→③ D．②→④→①→③
3．在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，1）、B（4，0）为顶点构造平行四边形，下列各点能作为该平行四边形第四个顶点的有（　　）个．
E（﹣2，1）、F（5，1）、G（1，﹣1）、H（3，﹣1）、I（﹣3，1）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，是由6×6个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，将△ABC绕着边的中点旋转180°，爱观察与思考的小明发现以下结论不正确是（ ）
A．△ABC各边的中点都可通过网格确定；
B．△ABC绕着AC的中点旋转180°扫过的面积为13；
C．旋转前后的两个三角形可形成平行四边形；
D．△ABC绕着各边的中点旋转后的△A′B′C′都在网格的格点上．
5．如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（　　）
A．8 B．9
C．12 D．15
6．如图，在平行四边形中，，，，将绕点顺时针旋转一定角度后，得到，则平行四边形的对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，已知是等边三角形，点是边上一个动点(点不与重合)，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，过点作的平行线交于点，连接，下列四个结论中：①旋转角为；为等边三角形；③四边形为平行四边形；．其中正确的结论有（ ）
A． B． C． D．
8．如图，平行四边形的边在一次函数的图象上，己知C的坐标是，则过顶点D的正比例函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点E是△ABC内一点，∠AEB=90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB=6，EF=1，则线段AC的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，的周长为19，点，在边上，的角平分线垂直于，垂足为，的角平分线垂直于，垂足为，若，则的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
12．如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四边形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。
13．如图，的度数为_______．
14．如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是__________（填写相应序号）．
15．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是30，OE=3，则四边形ABFE的周长是_________．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝AC，E是AB边的中点，G，F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝13，BC＝10，GF＝5，则图中阴影部分的面积为 _____．
17．如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F．若动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿BC向终点C运动；与此同时，动点Q以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向终点B运动；当有其中一点到达终点时，另一点也将停止运动．当点P运动_________秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
18．如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是 ABCD内一动点，且S△PBC＝S△PAD，则PA＋PD的最小值为______．
三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）
19．如图，在4×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点三角形和格点四边形（顶点在格点上），所画图形的顶点均不与点A，B，C，D重合．
(1)在图1中画一个各边均为无理数的等腰直角△EFG．
(2)在图2中画一个对角线长度之比为：2的平行四边形MNPQ．
20．如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD．
(1)尺规作图：在AB上截取AE，使得AE＝AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，求证：△CDP为直角三角形．
（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证明：
∵AE＝AD，
∴　 　
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AED＝∠EDC，
∴　 　
∵CF平分∠BCD，
∴　 　
又∵AD∥CB，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠ADC+∠BCD＝90°，
∴　 　
∴∠CPD＝90°，
∴△CDP是直角三角形．
21．如图1，已知ABCD，∠A＝∠BEF＝a，E为AD边上一点，F为DC边上一点，BE＝EF．
(1)求证：∠ABE＝∠DEF
(2)如图1，若a＝45°，AE＝5， DE＝1， 求ABCD的面积；
(3)如图2，若a＝30°，AE＝4，DE＝2．求线段BE的长．
22．已知，如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．
(2)连结BD交AC于点O，若BD=12，AE=EF-CF，求EG的长．
23．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△ADE，点B，C的对应点分别是D，E．
(1)如图1，当点E恰好在AB上时，求∠BDE；
(2)如图2，若=60°，点F是AB中点，求证：四边形CEDF是平行四边形．
24．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．
(1)如图1所示，当∠DPA'＝10°时，∠A'PB＝　 　度；
(2)如图2所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；
(3)当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，求△BA'F周长的最小值．
答案
一、选择题。
C．C．B．B．A．C．C．C．B．A．C．B．
二、填空题。
13．．
14．③．
15．21．
16．30．
17．或．
18．．
三、解答题
19．
(1)
如图所示，，△EFG即为所求
(2)
如图所示，平行四边形MNPQ即为所求
20．(1)
解：图形如图所示：
(2)
解：∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AED＝∠EDC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF，
又∵AD∥CB，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠ADC+∠BCD＝90°，
∴∠CDP+∠DCP＝90°，
∴∠CPD＝90°，
∴△CDP是直角三角形．
故答案为：∠ADE＝∠AED，∠AED＝∠EDC，∠BCF＝∠DCF，∠CDP+∠DCP＝90°．
21．(1)证明：∵∠BED=∠A+∠ABE，∠BED=∠DEF+∠BEF，
∴∠A+∠ABE=∠DEF+∠BEF，
∵∠A＝∠BEF，
∴∠ABE＝∠DEF；
(2)过E作EH⊥AD交AB于H，
∵∠A= a＝45°，∠AEH=90°，AE＝5，
∴∠AHE=45°，
∴AH=AE=5，
∵，
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A+∠D=180°，∠CBG=∠A＝45°，
∴∠D=135°=∠EHB，
∵∠ABE＝∠DEF，BE=EF，
∴△BEH≌△EFD（AAS），
∴BH=DE=1，
∴AB=AH+BH=，
过点C作CG⊥AB交AB延长线于G，
∵∠CBG=45°，∠G=90°，
∴∠BCG=45°，
∴BG=CG，
∵，BC=AD=6，
∴，
∴ABCD的面积=；
(3)在AB上取点N，连接EN，使EN=AE，过点E作EM⊥AB于M，
∵AE=4，∠A=30°，
∴=2，，
∵EN=AE，EM⊥AB，
∴MN=AM=2，
由（2）得△EBN≌△FED，
∴BN=DE=2，
∴BM=4，
∴．
22．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
(2)连接BD交AC于点O，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝12，
∴OB＝OD＝6，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE＝EF－CF，
∴AE＋CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴．
23．(1)解：△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△ADE，点E恰好在AB上，
∴AB＝AD，∠EAD＝∠CAB＝30°，∠DEA＝∠BCA＝90°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180° 30°）＝75°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADE=∠ABC＝60°，
∴；
(2)连接BD，如图所示：
∵点F是边AB中点，
∴CF＝BA，
∵∠BAC＝30°，
∴BC＝BA，
∴CF＝BC，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△ADE，
∴∠CAE＝∠BAD＝60°，AC＝AE，DE＝BC，
∴DE＝CF，△BAD和△CAE为等边三角形，
∴CE＝CA，
∵点F为AB的中点，
∴DF⊥AB，
∴△AFD≌△BCA（AAS），
∴DF＝CA，
∴DF＝CE，
∵CF＝DE，DF=CE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
24．
(1)如图1中，
∵∠DPA′＝10°，
∴∠APA′＝180°﹣∠DPA′＝180°﹣10°＝170°，
由翻折的性质可知：∠A′PB＝∠APB＝×170°＝85°．
故答案为85．
(2)如图2中，作BH⊥AD于H．
在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝10，∠A＝60°，
∴AH＝5，BH＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵PA′⊥BC，
∴PA′⊥AD，
∴∠APA′＝90°，
∴∠HPB＝∠BPA′＝45°，
∴PH＝BH＝5，
∴PA＝AH+PH＝5+5．
(3)如图3中，作BH⊥AD于H，连接BP．
∵PA＝8，AH＝5，
∴PH＝8﹣5＝3，
∵BH＝5，
∴PB＝＝＝2，
由翻折可知：PA＝PA′＝8，FA＝FA′，
∴△BFA′的周长＝FA′+BF+BA′＝AF+BF+BA′＝AB+BA′＝10+BA′，
∴当BA′的长度最小时，△BFA′的周长最小，
∵BA′≥PB﹣PA′，
∴BA′≥2﹣8，
∴BA′的最小值为2﹣8，
∴△BFA′的周长的最小值为10+2﹣8＝2+2．