14.1.1 直角三角形三边的关系 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 14.1.1 直角三角形三边的关系 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 439.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-23 21:51:44 | ||
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文档简介
14.1.1 直角三角形三边的关系
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，AB在数轴上，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则M表示的数为( )
A．2.1 B．－1 C． D．＋1
2．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
3．如图，点A表示的实数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
4．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，
7．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AD=8，AB=7，则BC+CD等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．如图甲，直角三角形的三边a，b，c，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为1的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（ ）
A．2， B．4， C．， D．2，
9．《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（ ）
A．16 B．17 C．25 D．64
10．如图，点P是以A为圆心，AB为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P表示的实数是（ ）
A．-2 B．-2.2 C．- D．-+1
11．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
12．如图，在中，，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，，则长为（ ）
A．2 B． C．6 D．8
二、填空题
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC∶BC=1∶7，AB=100米，则AC=_________米．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，则点C到AB的距离是_______．
15．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．
16．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若，，，则AE的长是____________．
17．观察下列各组勾股数
（1）3，4，5
（2）5，12，13；
（3）7，24，25：
（4）9，40，41
照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为 ___．
三、解答题
18．如图，笔直的公路上A、B两点相距22km，C、D为公交公司两停车场，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知CA=6km，DB=16km，现在要在公路的AB段上建一个加油站M，使得C、D公交公司两停车场到加油站M的距离CM=DM，则加油站M应建在离B点多远处？
19．如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：．
20．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明：a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．
参考答案
1--10BCBAB ABABD 11--12AD
13．
14．
15．
16．
17．
18．解：∵使得C、D公交公司两停车场到加油站M的距离相等，
∴CM=DM，
∵CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，
∴∠A =∠B=90°，
∴AC2+AM2=CM2，BM2+BD2=MD2，
∴AC2+AM2=BM2+BD2，
设BM=xkm，AM=(22-x)km，CA=6km，DB=16km，
∴，
解得，
加油站M应建在离B点6km远．
19．证明：如图，连结BD ，
∵，
∴．
∴在△EAC和△DBC中，，
∴．
∴ ．
又∵，
∴ ．
∴ 在中，，
∴．
∵ 在中，，
∴ ．
20．解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；
（2）由图可知：
（b﹣a）2＝3，4×ab＝13﹣3＝10，
∴2ab＝10，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，AB在数轴上，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则M表示的数为( )
A．2.1 B．－1 C． D．＋1
2．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
3．如图，点A表示的实数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
4．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，
7．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AD=8，AB=7，则BC+CD等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．如图甲，直角三角形的三边a，b，c，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为1的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（ ）
A．2， B．4， C．， D．2，
9．《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（ ）
A．16 B．17 C．25 D．64
10．如图，点P是以A为圆心，AB为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P表示的实数是（ ）
A．-2 B．-2.2 C．- D．-+1
11．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
12．如图，在中，，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，，则长为（ ）
A．2 B． C．6 D．8
二、填空题
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC∶BC=1∶7，AB=100米，则AC=_________米．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，则点C到AB的距离是_______．
15．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．
16．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若，，，则AE的长是____________．
17．观察下列各组勾股数
（1）3，4，5
（2）5，12，13；
（3）7，24，25：
（4）9，40，41
照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为 ___．
三、解答题
18．如图，笔直的公路上A、B两点相距22km，C、D为公交公司两停车场，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知CA=6km，DB=16km，现在要在公路的AB段上建一个加油站M，使得C、D公交公司两停车场到加油站M的距离CM=DM，则加油站M应建在离B点多远处？
19．如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：．
20．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明：a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．
参考答案
1--10BCBAB ABABD 11--12AD
13．
14．
15．
16．
17．
18．解：∵使得C、D公交公司两停车场到加油站M的距离相等，
∴CM=DM，
∵CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，
∴∠A =∠B=90°，
∴AC2+AM2=CM2，BM2+BD2=MD2，
∴AC2+AM2=BM2+BD2，
设BM=xkm，AM=(22-x)km，CA=6km，DB=16km，
∴，
解得，
加油站M应建在离B点6km远．
19．证明：如图，连结BD ，
∵，
∴．
∴在△EAC和△DBC中，，
∴．
∴ ．
又∵，
∴ ．
∴ 在中，，
∴．
∵ 在中，，
∴ ．
20．解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；
（2）由图可知：
（b﹣a）2＝3，4×ab＝13﹣3＝10，
∴2ab＝10，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．