14.1.2 直角三角形的判定 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 14.1.2 直角三角形的判定 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 475.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-23 21:56:29 | ||
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文档简介
14.1.2 直角三角形的判定
一、单选题
1．一个三角形的三边的长分别是15cm，20cm，25cm，则这个三角形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
2．已知，在中，，，D为BC边上的点，，，则DC的长是（ ）．
A．6 B．9 C．12 D．15
3．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
4．下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是（ ）
A．8、15、17 B．10、24、25 C．9、15、20 D．9、80、81
5．直角三角形两直角边长分别是a，b，斜边为c，斜边上的高为h，则，，h为边的三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形
C．如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形
D．如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠A＝90°
7．下列结沦中，错误的有( )
①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；
③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若(x﹣y)2+M=(x+y)2成立，则M=4xy．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图，大正方形是由49个边长为l的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．如图所示，点为的边上一点，，，，，则________.
10．如图，每个小正方形的边长都相等，，，是小正方形的顶点，则的度数为______．
11．满足下列条件的△ABC中，能构成直角三角形的有_________个．
①a：b：c=7:25:24；②∠A=∠B-∠C；③∠A:∠B:∠C=5:12:13；④a=1.2b=1.5c=0.9
12．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长BD为4米，中午测得它的影长AD为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形_________．（填“能”或“不能”）
13．若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为1cm,则这个三角形是___________．
14．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是______．
15．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为_________．
16．若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为___．
三、解答题
17．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，求四边形ABCD的面积．
18．点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标．
19．如图，在正方形网格中，若小方格的边长均为1，试判断的形状，并说明理由．
20．若的三边a、b、c，满足，试判断的形状．
21．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．
22．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
23．已知三角形的三边分别为a，b，c，且．
（1）请判断这个三角形的形状；
（2）试找出一组直角三角形的三边的长，使它的最小边不小于20，另两边的差为2，三边均为正整数．
24．如图，已知在中，于点D，．
（1）求的长；
（2）求证：是直角三角形．
参考答案
1．A
【解析】∵15 +20 =25 ，
∴此三角形是直角三角形，
∴三角形的面积为=.
故答案为A.
2．B
【解析】解：如图所示：
∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：DC9，
故选：B．
3．D
【解析】当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有:C、D,E,H四个;
当AB是直角边,A是直角顶点时,第三个顶点是F点;
当AB是直角边,B是直角顶点时,第三个顶点是G.
因而共有6个满足条件的顶点.
故选D.
4．A
【解析】解：A．，
∴能构成直角三角形，故选项正确；
B．∵，
∴不能构成直角三角形，故选项错误；
C．∵，
∴不能构成直角三角形，故选项错误；
D．∵，
∴不能构成直角三角形，故选项错误．
故选A．
5．B
【解析】解：根据题意可知：
a2＋b2＝c2，ab＝ch，
∵（c＋h）2＝c2＋2ch＋h2，
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，
∴（a＋b）2＋h2＝（c＋h）2，
∴三角形是直角三角形．
故选：B．
6．D
【解析】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项B中如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项C中如果 a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项D中如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；
故选D．
7．C
【解析】①分两种情况讨论：当3和4为直角边时，斜边为5；当4为斜边时，另一直角边是，所以错误；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，应∠C=90°，所以错误；
③最大角∠C=×6=90°，这个三角形是一个直角三角形，正确；
④若（x-y）2+M=（x+y）2成立，则M=（x+y）2-（x-y）2=4xy，正确．
故选C．
8．B
【解析】解：根据勾股定理，得
AB2=4+16=20，AC2=1+4=5，AD2=1+9=10，BC2=25，BD2=1+9=10，CD2=9+16=25，
根据勾股定理的逆定理，则可以构成直角三角形的有△ABC和△ABD．
故选B．
9．84
【解析】在中，由于，
所以为直角三角形，且，所以也是直角三角形，
在中，根据勾股定理，得，
所以.
所以.
10．
【解析】解：如图，连接 ，
设小正方形的边长为 ，由勾股定理得：
，
，
，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：．
11．2
【解析】①，
∴能构成直角三角形；
②∵∠A=∠B-∠C，，
，
∴能构成直角三角形；
③∵∠A:∠B:∠C=5:12:13，，
，
∴不能构成直角三角形；
④，
，
，
∴不能构成直角三角形，
∴能构成直角三角形的是①②，
故答案为：2．
12．能
【解析】解：由勾股定理得：
由题意可得：
∵，即
∴为直角三角形，
故答案为：能
13．直角三角形
【解析】因为三角形的周长为12cm，一边长为3cm，
所以另两边之和为9cm，
又因为它们的差为1cm，
所以这两边长分别为5cm、4cm，
因为52＝42＋32，
所以三角形是直角三角形.
故答案是直角三角形.
14．
【解析】由题意，设这个三角形的三边长分别为
则
解得
则这个三角形的三边长分别为
又
这个三角形是直角三角形，且两直角边长分别为
则它的面积是
故答案为：．
15．24
【解析】解：连接BD，
∵∠DAB＝90°，AB＝3，AD＝4，
∴BD5，
∵52+122＝132，
∴∠DBC＝90°，
∴四边形ABCD的面积5×123×4＝24．
故答案为：24．
16．②③．
【解析】解：（1）根据勾股定理得出，所以不成立，即不满足两边之和大于第三边，本选项错误；
（2）直角三角形的三边有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在，，三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有成立，即，即，（由a+b＞c），则不等式成立，从而满足两边之和＞第三边，则以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；
（3），，这三个数中一定最大，，，
又∵2ab=2ch=4S△ABC，
∴，根据勾股定理的逆定理，即以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形．故正确；
（4）若以，，的长为边的3条线段能组成直角三角形，
假设a=3，b=4，c=5，
∵，
∴以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误．
故答案为：②③．
17．36
【解析】解：连结AC，在△ABC中，
∵∠B=90°，AB=4，BC=3，
∴AC＝，
S△ABC＝AB BC＝×4×3＝6，
在△ACD中， ∵AD=12，AC=5，CD=13，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD＝AC AD＝×5×12＝30．
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=6+30=36．
18．点的坐标为或
【解析】设点的坐标为，分两种情况：
①当点为直角顶点时，点在轴正半轴，
作轴于，轴于，轴于，如图所示：
由勾股定理，得，
即，解得，
∴点的坐标为．
②当点为直角顶点时，点在轴负半轴，作轴于，轴于，如图所示：
由勾股定理，得，
即，解得，
∴点的坐标为．
综上所述，如果是直角三角形，那么点的坐标为或．
19．直角三角形，理由见解析
【解析】解：是直角三角形．理由如下：
根据勾股定理得，，，；
，
，
∴是直角三角形．
20．是等腰直角三角形
【解析】的三边a、b、c，满足，
，
，
，，
是等腰直角三角形．
21．
【解析】延长AD到E使AD=DE，连接CE，
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD，
∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，
在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，
∴AC2=AE2+CE2， ∴∠E=90°，
由勾股定理得：CD=，
∴BC=2CD=2，
答：BC的长是2．
22．西北或东南
【解析】如图，根据题意，得
PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），QR＝30（海里）．
∵242+182＝302，
即PQ2+PR2＝QR2，
∴∠QPR＝90°．
由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，则∠SPR＝45°，即“海天”号沿西北或东南方向航行．
23．（1）直角三角形；（2）20、99、101
【解析】解：（1）∵， ，， ，
∴，
∴这个三角形是直角三角形；
（2）取，即，．
∴．．
24．（1）12、25；（2）见解析
【解析】解：（1）∵于点D，
∴和是直角三角形，
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∴；
（2）证明：∵，
∴，
，
∴是直角三角形．
一、单选题
1．一个三角形的三边的长分别是15cm，20cm，25cm，则这个三角形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
2．已知，在中，，，D为BC边上的点，，，则DC的长是（ ）．
A．6 B．9 C．12 D．15
3．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
4．下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是（ ）
A．8、15、17 B．10、24、25 C．9、15、20 D．9、80、81
5．直角三角形两直角边长分别是a，b，斜边为c，斜边上的高为h，则，，h为边的三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形
C．如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形
D．如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠A＝90°
7．下列结沦中，错误的有( )
①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；
③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若(x﹣y)2+M=(x+y)2成立，则M=4xy．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图，大正方形是由49个边长为l的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．如图所示，点为的边上一点，，，，，则________.
10．如图，每个小正方形的边长都相等，，，是小正方形的顶点，则的度数为______．
11．满足下列条件的△ABC中，能构成直角三角形的有_________个．
①a：b：c=7:25:24；②∠A=∠B-∠C；③∠A:∠B:∠C=5:12:13；④a=1.2b=1.5c=0.9
12．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长BD为4米，中午测得它的影长AD为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形_________．（填“能”或“不能”）
13．若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为1cm,则这个三角形是___________．
14．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是______．
15．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为_________．
16．若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为___．
三、解答题
17．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，求四边形ABCD的面积．
18．点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标．
19．如图，在正方形网格中，若小方格的边长均为1，试判断的形状，并说明理由．
20．若的三边a、b、c，满足，试判断的形状．
21．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．
22．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
23．已知三角形的三边分别为a，b，c，且．
（1）请判断这个三角形的形状；
（2）试找出一组直角三角形的三边的长，使它的最小边不小于20，另两边的差为2，三边均为正整数．
24．如图，已知在中，于点D，．
（1）求的长；
（2）求证：是直角三角形．
参考答案
1．A
【解析】∵15 +20 =25 ，
∴此三角形是直角三角形，
∴三角形的面积为=.
故答案为A.
2．B
【解析】解：如图所示：
∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：DC9，
故选：B．
3．D
【解析】当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有:C、D,E,H四个;
当AB是直角边,A是直角顶点时,第三个顶点是F点;
当AB是直角边,B是直角顶点时,第三个顶点是G.
因而共有6个满足条件的顶点.
故选D.
4．A
【解析】解：A．，
∴能构成直角三角形，故选项正确；
B．∵，
∴不能构成直角三角形，故选项错误；
C．∵，
∴不能构成直角三角形，故选项错误；
D．∵，
∴不能构成直角三角形，故选项错误．
故选A．
5．B
【解析】解：根据题意可知：
a2＋b2＝c2，ab＝ch，
∵（c＋h）2＝c2＋2ch＋h2，
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，
∴（a＋b）2＋h2＝（c＋h）2，
∴三角形是直角三角形．
故选：B．
6．D
【解析】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项B中如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项C中如果 a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项D中如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；
故选D．
7．C
【解析】①分两种情况讨论：当3和4为直角边时，斜边为5；当4为斜边时，另一直角边是，所以错误；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，应∠C=90°，所以错误；
③最大角∠C=×6=90°，这个三角形是一个直角三角形，正确；
④若（x-y）2+M=（x+y）2成立，则M=（x+y）2-（x-y）2=4xy，正确．
故选C．
8．B
【解析】解：根据勾股定理，得
AB2=4+16=20，AC2=1+4=5，AD2=1+9=10，BC2=25，BD2=1+9=10，CD2=9+16=25，
根据勾股定理的逆定理，则可以构成直角三角形的有△ABC和△ABD．
故选B．
9．84
【解析】在中，由于，
所以为直角三角形，且，所以也是直角三角形，
在中，根据勾股定理，得，
所以.
所以.
10．
【解析】解：如图，连接 ，
设小正方形的边长为 ，由勾股定理得：
，
，
，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：．
11．2
【解析】①，
∴能构成直角三角形；
②∵∠A=∠B-∠C，，
，
∴能构成直角三角形；
③∵∠A:∠B:∠C=5:12:13，，
，
∴不能构成直角三角形；
④，
，
，
∴不能构成直角三角形，
∴能构成直角三角形的是①②，
故答案为：2．
12．能
【解析】解：由勾股定理得：
由题意可得：
∵，即
∴为直角三角形，
故答案为：能
13．直角三角形
【解析】因为三角形的周长为12cm，一边长为3cm，
所以另两边之和为9cm，
又因为它们的差为1cm，
所以这两边长分别为5cm、4cm，
因为52＝42＋32，
所以三角形是直角三角形.
故答案是直角三角形.
14．
【解析】由题意，设这个三角形的三边长分别为
则
解得
则这个三角形的三边长分别为
又
这个三角形是直角三角形，且两直角边长分别为
则它的面积是
故答案为：．
15．24
【解析】解：连接BD，
∵∠DAB＝90°，AB＝3，AD＝4，
∴BD5，
∵52+122＝132，
∴∠DBC＝90°，
∴四边形ABCD的面积5×123×4＝24．
故答案为：24．
16．②③．
【解析】解：（1）根据勾股定理得出，所以不成立，即不满足两边之和大于第三边，本选项错误；
（2）直角三角形的三边有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在，，三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有成立，即，即，（由a+b＞c），则不等式成立，从而满足两边之和＞第三边，则以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；
（3），，这三个数中一定最大，，，
又∵2ab=2ch=4S△ABC，
∴，根据勾股定理的逆定理，即以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形．故正确；
（4）若以，，的长为边的3条线段能组成直角三角形，
假设a=3，b=4，c=5，
∵，
∴以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误．
故答案为：②③．
17．36
【解析】解：连结AC，在△ABC中，
∵∠B=90°，AB=4，BC=3，
∴AC＝，
S△ABC＝AB BC＝×4×3＝6，
在△ACD中， ∵AD=12，AC=5，CD=13，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD＝AC AD＝×5×12＝30．
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=6+30=36．
18．点的坐标为或
【解析】设点的坐标为，分两种情况：
①当点为直角顶点时，点在轴正半轴，
作轴于，轴于，轴于，如图所示：
由勾股定理，得，
即，解得，
∴点的坐标为．
②当点为直角顶点时，点在轴负半轴，作轴于，轴于，如图所示：
由勾股定理，得，
即，解得，
∴点的坐标为．
综上所述，如果是直角三角形，那么点的坐标为或．
19．直角三角形，理由见解析
【解析】解：是直角三角形．理由如下：
根据勾股定理得，，，；
，
，
∴是直角三角形．
20．是等腰直角三角形
【解析】的三边a、b、c，满足，
，
，
，，
是等腰直角三角形．
21．
【解析】延长AD到E使AD=DE，连接CE，
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD，
∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，
在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，
∴AC2=AE2+CE2， ∴∠E=90°，
由勾股定理得：CD=，
∴BC=2CD=2，
答：BC的长是2．
22．西北或东南
【解析】如图，根据题意，得
PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），QR＝30（海里）．
∵242+182＝302，
即PQ2+PR2＝QR2，
∴∠QPR＝90°．
由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，则∠SPR＝45°，即“海天”号沿西北或东南方向航行．
23．（1）直角三角形；（2）20、99、101
【解析】解：（1）∵， ，， ，
∴，
∴这个三角形是直角三角形；
（2）取，即，．
∴．．
24．（1）12、25；（2）见解析
【解析】解：（1）∵于点D，
∴和是直角三角形，
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∴；
（2）证明：∵，
∴，
，
∴是直角三角形．