14.1.3 反证法 教案
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14.1.3反证法
基 础 模 块 教学目标： 知识与技能：1.通过实例,体会反证法的含义. 2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题. 过程与方法：通过利用反证法证明命题,体会逆向思维. 情感态度和价值观在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性;渗透事物之间的相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想. 教学重点：运用反证法进行推理论证. 教学难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”. 教学方法： 讲授法
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一、创设情景,导入新课 一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。” 你能对小华的判断说出理由吗？ 小华的理由： 假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。 复习回顾 如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？ 解析： 由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 . 探索新知 若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。 假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。 这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。 学力训练 1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 （2)a大于2。 （3）a小于2。 （4）至少有2个 （5）最多有一个 （6）两条直线平行。 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步 4、在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C 反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确 5、求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。 证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一条，这与与已知两条直线矛盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾 能力提升 1、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ， 则 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ， 即∠A+∠B+∠C>180° 。 这与 三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 2、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行线中的一条相交,那么和另一条也相交.（出示课件） 1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论 2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是不止。 注意:用反证法证题时,应注意的事项： （1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。 练习 1.已知：如图△ABC中，D、E两 点分别在AB和AC上 求证：CD、BE不能互相平分 练习： 用反证法证明下列命题： 1.求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角。 2.已知：如图，AB∥CD，AB ∥EF。 求证：CD ∥EF。 3.求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分。 巩固新知： 1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 （2)a大于2。 （3）a小于2。 （4）至少有2个 （5）最多有一个 （6）两条直线平行。 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步 。 4、求证：如果一个梯形同一底上的两个内角不相等，那么这个梯形不是等腰梯形 五、拓展应用： 作业： 书：117页1、2、127页9 用故事引入，吸引学生兴趣，培养学生分析问题能力。 问题逐步加难让学生体会反证法步骤。 总结反证法
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教学反思 反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学教学的难点．如何突破这一难点，并为学生更好地理解和掌握，是需要教师精心设计的．学生为什么对反证法感到难以理解和掌握呢？主要有三个原因，或者说存在三个思维障碍．一、思维方向转换存在障碍 在学习反证法之前学生比较习惯于直接证法，而反证法的思维方向需几次转换：转向结论；结论反设；归谬；转向假设；否定假设；肯定原结论．这种思维方向的多次转换对初学者来说感到不适应是自然的．但教师如果引导不得法，学生没能很好克服这一思维障碍，是容易造成思维混乱、影响他们正确地理解和掌握这种方法的． 反证法的一般步骤共三条，这三条又可用反设、归谬、结论来概括．这里归谬是证明的关键性步骤．归，推导的意思；谬，矛盾的意思．推导可能是一两步，也可能是好几步；矛盾可能是与已知定义定理相矛盾，也可能是与题设相矛盾，还可能是自相矛盾．可见归谬这一步包容性大．如果教师未注意强调这点，学生就可能对这步的意义认识不够清楚，往往急于得出矛盾，甚至将推理错误产生的矛盾作为依据．证明过程中，常出现下面的情况：推理论证表述不清；必要语句有遗漏；逻辑顺序出现颠倒．这些都是对反证法的证明步骤的逻辑关系和序列方向未能很好掌握的表现． 三、归谬起点推证存在障碍在作出与命题结论相反的假设后，学生往往不知从何下手论证．这里主要存在两个障碍：第一，没有把“反设”具体化所带来的障碍．这一障碍只要通过有关的例题告诉学生如何把反设具体化（即用具体的数学式子或命题来表示）即可解决 为使学生更好地理解和掌握反证法，教师应及时地引导学生克服上述思维障碍，并通过有关题目进行训练．在引导和训练过程中，可在反证法一般步骤基础上将“归谬”这步分为“归导”和“揭谬”两步进行，以利于学生掌握方法．
基 础 模 块 教学目标： 知识与技能：1.通过实例,体会反证法的含义. 2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题. 过程与方法：通过利用反证法证明命题,体会逆向思维. 情感态度和价值观在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性;渗透事物之间的相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想. 教学重点：运用反证法进行推理论证. 教学难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”. 教学方法： 讲授法
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一、创设情景,导入新课 一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。” 你能对小华的判断说出理由吗？ 小华的理由： 假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。 复习回顾 如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？ 解析： 由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 . 探索新知 若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。 假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。 这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。 学力训练 1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 （2)a大于2。 （3）a小于2。 （4）至少有2个 （5）最多有一个 （6）两条直线平行。 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步 4、在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C 反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确 5、求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。 证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一条，这与与已知两条直线矛盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾 能力提升 1、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ， 则 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ， 即∠A+∠B+∠C>180° 。 这与 三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 2、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行线中的一条相交,那么和另一条也相交.（出示课件） 1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论 2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是不止。 注意:用反证法证题时,应注意的事项： （1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。 练习 1.已知：如图△ABC中，D、E两 点分别在AB和AC上 求证：CD、BE不能互相平分 练习： 用反证法证明下列命题： 1.求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角。 2.已知：如图，AB∥CD，AB ∥EF。 求证：CD ∥EF。 3.求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分。 巩固新知： 1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 （2)a大于2。 （3）a小于2。 （4）至少有2个 （5）最多有一个 （6）两条直线平行。 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步 。 4、求证：如果一个梯形同一底上的两个内角不相等，那么这个梯形不是等腰梯形 五、拓展应用： 作业： 书：117页1、2、127页9 用故事引入，吸引学生兴趣，培养学生分析问题能力。 问题逐步加难让学生体会反证法步骤。 总结反证法
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教学反思 反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学教学的难点．如何突破这一难点，并为学生更好地理解和掌握，是需要教师精心设计的．学生为什么对反证法感到难以理解和掌握呢？主要有三个原因，或者说存在三个思维障碍．一、思维方向转换存在障碍 在学习反证法之前学生比较习惯于直接证法，而反证法的思维方向需几次转换：转向结论；结论反设；归谬；转向假设；否定假设；肯定原结论．这种思维方向的多次转换对初学者来说感到不适应是自然的．但教师如果引导不得法，学生没能很好克服这一思维障碍，是容易造成思维混乱、影响他们正确地理解和掌握这种方法的． 反证法的一般步骤共三条，这三条又可用反设、归谬、结论来概括．这里归谬是证明的关键性步骤．归，推导的意思；谬，矛盾的意思．推导可能是一两步，也可能是好几步；矛盾可能是与已知定义定理相矛盾，也可能是与题设相矛盾，还可能是自相矛盾．可见归谬这一步包容性大．如果教师未注意强调这点，学生就可能对这步的意义认识不够清楚，往往急于得出矛盾，甚至将推理错误产生的矛盾作为依据．证明过程中，常出现下面的情况：推理论证表述不清；必要语句有遗漏；逻辑顺序出现颠倒．这些都是对反证法的证明步骤的逻辑关系和序列方向未能很好掌握的表现． 三、归谬起点推证存在障碍在作出与命题结论相反的假设后，学生往往不知从何下手论证．这里主要存在两个障碍：第一，没有把“反设”具体化所带来的障碍．这一障碍只要通过有关的例题告诉学生如何把反设具体化（即用具体的数学式子或命题来表示）即可解决 为使学生更好地理解和掌握反证法，教师应及时地引导学生克服上述思维障碍，并通过有关题目进行训练．在引导和训练过程中，可在反证法一般步骤基础上将“归谬”这步分为“归导”和“揭谬”两步进行，以利于学生掌握方法．