3.3.1抛物线及其标准方程--巩固提升训练
练习指南：
抛物线定义：1,2,8； 抛物线标准方程：3,4,5,10；
与抛物线相关的最值问题：6,7,12,14,15； 实际问题：8,11,13.
一、选择题
1.设圆与圆外切，与直线相切，则的圆心轨迹为( )
A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 圆
2.若动点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
3.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
4.若抛物线的焦点坐标是，则( )
A. B. C. D.
5(多选).以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
6.已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，是一个定点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知是抛物线上一动点，为抛物线的焦点，是圆上一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽 水位下降后，水面的宽度为（ ）
A.5 B.2 C.6 D.2
二、填空题
9.动圆与直线相切，且与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ．
10.若坐标原点到抛物线的准线距离为，则 ．
11.某学习小组研究一种卫星接收天线如图所示，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处如图所示已知接收天线的口径直径为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为
12.已知以圆：的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为 ．
三、解答题
13.惠州市隆生东江大桥于年月日建成通车，它极大的缓解了江北与水口的交通压力，促进了东江两岸的经济发展。某桥梁爱好者发现该桥的桥拱形如抛物线，每隔米就有一根钢丝吊杆垂直拉着桥面，若在桥面上测得桥拱跨度是米，中间最长的那根吊杆长米，求桥拱所在的抛物线的焦准距及第二长的吊杆长．
14.已知点，直线：，动圆过点且与直线相切，其圆心的轨迹为曲线，上的动点到轴的距离为，到直线：的距离为，求的最小值．
15.已知抛物线．
设点的坐标为，求抛物线上距离点最近的点的坐标及相应的距离
设点的坐标为，求抛物线上的点到点的距离的最小值，并写出的函数表达式．3.3.1抛物线及其标准方程---巩固提升训练
一、选择题
1.设圆与圆外切，与直线相切，则的圆心轨迹为( )
A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 圆
【答案】A
解析：如图，已知圆的圆心(0，3)，半径=1.
设动圆C的半径为.
动点C到点M的距离与到直线的距离相等，都是1+.
根据抛物线的定义可知，点C的轨迹是一条抛物线．
选A．
2.若动点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
【答案】D
解析：如图，点到点的距离比点到直线的距离小1，则点到点的距离等于点到直线的距离，点的轨迹是抛物线，F为焦点，直线为准线.
，则点的轨迹方程为．
选D．
3.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：抛物线方程：，变形为标准方程：．
抛物线开口朝下，2p=，p=，.
焦点坐标是.
故选：．
4.若抛物线的焦点坐标是，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
解析：抛物线方程：，变形为标准方程：.
根据焦点坐标可知，抛物线开后朝上.
2p=，p=，.
焦点坐标为.
故选D．
5(多选).以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
【答案】AC
解析：直线与轴的交点为.
以为焦点，，，方程为 ；
直线与轴的交点为.
以为焦点，，，方程为.
故选AC．
6.已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，是一个定点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：如图.
过作准线的垂线，垂足为，则，
=.
当、、三点共线(图2)时，取得最小值．
故选C．
7.已知是抛物线上一动点，为抛物线的焦点，是圆上一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
解析：如图.
，则=.
当M、A、P共线(A在C下方)时，有最小值4.
故选B．
8.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽 水位下降后，水面的宽度为（ ）
A.5 B.2 C.6 D.2
【答案】D
解析：建立如图平面直角坐标系.
设抛物线的方程为，点代入抛物线方程，
得，抛物线的方程为.
当时，，.
水位下降后，水面的宽度为2 .
故选D.
二、填空题
9.动圆与直线相切，且与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ．
【答案】
解析：已知圆的圆心C(0，－3)，半径=1.
点到的距离比到直线的距离大1，则点到
的距离等于到直线的距离，点的轨迹是抛物线，C为焦点，直线为准线.
p=6，则的轨迹方程是．
答案：．
10.若坐标原点到抛物线的准线距离为，则 ．
【答案】
解析：抛物线方程：变形为标准方程：.
①开口朝上：2p=，，.
=2，；
②开口朝下：－2p=，，.
=2，.
答案:．
11.某学习小组研究一种卫星接收天线如图所示，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处如图所示已知接收天线的口径直径为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为
【答案】
解析：如图建系.
设抛物线方程为，A代入方程，得，．
该抛物线的焦点到顶点的距离为．
答案：．
12.已知以圆：的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为 ．
【答案】
解析：抛物线的焦点为，则抛物线的方程：.
解方程组，得.
抛物线：的焦点，准线方程为，
所以由拋物线的定义得，如图.
，
当且仅当，，三点共线，且点在第一象限时取等号．
故所求最大值为．
答案：．
三、解答题
13.惠州市隆生东江大桥于年月日建成通车，它极大的缓解了江北与水口的交通压力，促进了东江两岸的经济发展。某桥梁爱好者发现该桥的桥拱形如抛物线，每隔米就有一根钢丝吊杆垂直拉着桥面，若在桥面上测得桥拱跨度是米，中间最长的那根吊杆长米，求桥拱所在的抛物线的焦准距及第二长的吊杆长．
解析：建立如图所示的直角坐标系.
设抛物线方程为. 点，代入，得，则抛物线方程为.
第二长的吊杆为，抛物线方程，得，则．
14.已知点，直线：，动圆过点且与直线相切，其圆心的轨迹为曲线，上的动点到轴的距离为，到直线：的距离为，求的最小值．
解析：如图，的轨迹为以为焦点，直线：为准线的抛物线，方程为.
=
=
=.
的最小值为点到直线的距离，．
15.已知抛物线．
设点的坐标为，求抛物线上距离点最近的点的坐标及相应的距离
设点的坐标为，求抛物线上的点到点的距离的最小值，并写出的函数表达式．
解析：设抛物线上任一点的坐标为.
.
，当时，，此时点的坐标为．
设抛物线上任一点的坐标为.
，.
对称轴方程：.
当，即时，函数在[0，]递减，在[，+)单调递增. 时，有最小值
，；
当，即时，函数在[0，+)递增.时，有最小值，即d=.
综上，.
