圆与方程 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

数学学科学生讲义
学生姓名： 年级：高二 科目：数学 学科教师：
课题 圆与方程
授课类型 基础知识 经典例题 巩固提升 考试真题
教学目标 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
教学重难点 与圆有关的最值问题
授课日期及时段
教学内容
1．圆的定义及方程 2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2． (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2． (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2． 圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 考点1　圆的方程 求圆的方程的2种方法 (1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 考点2　与圆有关的最值问题 考法一：斜率型、截距型、距离型最值问题 与圆有关的最值问题的3种几何转化法 (1)形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题． (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 考法二：利用对称性求最值 求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路： (1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离． (2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． ?考点3　与圆有关的轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题的4种方法 (1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． (2)定义法：根据圆的定义列方程求解． (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解． (4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)三种位置关系：相交、相切、相离． (2)两种研究方法： ① ② 2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)． 位置 关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程． 2．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2． (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2． ?考点1　直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交，上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． ?考点2　圆与圆的位置关系 几何法判断圆与圆的位置步骤 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长． (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值． (3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论． ?考点3　直线、圆的综合问题 考法一：切线问题 过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程；当斜率不存在时，要加以验证． 注意：(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题；(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解． 考法二：弦长问题 弦长的2种求法 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长． (2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 考法三：直线与圆的综合问题 直线与圆的综合问题的求解策略 (1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决． (2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用． 【考点一】圆的标准方程 A级——学考水平达标 1．方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　) A．一个圆　　　　B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆 2．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 3．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29 C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116 4．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 5．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为(　　) A．2 B．1 C. D. 6．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________. 7．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________． 8．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程为________________． 9．求圆心在x轴上，且过A(1,4)，B(2，－3)两点的圆的方程． 10．求过点A(－1,3)，B(4,2)，且在x轴，y轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程． B级——高考能力达标 1．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(　　) A．在圆内　　　　B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 2．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 4．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1 C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1 5．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是________________． 6．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为________． 7．已知圆C的圆心为C(x0，x0)，且过定点P(4,2)． (1)求圆C的标准方程． (2)当x0为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程． 8．(1)如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值和最小值； (2)已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝，求的取值范围． 【考点二】圆的一般方程 1．圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　B．(－2,3) C．(2，－3) D．(－2，－3) 2．将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是(　　) A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　) A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b) D．点(－a，－b) 4．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，则必有(　　) A．D＝E B．D＝F C．E＝F D．D＝E＝F 5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 6．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________． 7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________． 8．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________． 9．当实数m的值为多少时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆？ 10．点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程． B级——高考能力达标 1．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)　　B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D. 2．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　) A．2或1 B．－2或－1 C．2 D．1 3．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16 C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16 4．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________． 6．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________． 7．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 8．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程． 【考点三】直线与圆的位置关系 A级——学考水平达标 1．直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(　　) A．相交并且直线过圆心　 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于(　　) A. B. C．1 D．5 3．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．0或4 B．0或3 C．－2或6 D．－1或 5．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　) A. B．1 C. D. 6．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________. 7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为____________________．　 8．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y＋4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径是________． 9．一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2，求此圆的方程． 10．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程． B级——高考能力达标 1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　B．相切 C．相离 D．无法确定，与m的取值有关 2．直线x＋7y－5＝0截圆x2＋y2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是(　　) A. B. C．π D. 3．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为(　　) A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0 4．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与y＝x相切的圆的方程为________________． 6．直线mx＋y－2＝0(m∈R)与圆C：x2＋y2－2y－1＝0相交于A，B两点，弦长|AB|的最小值为________，若三角形ABC的面积为，则m的值为________． 7．已知点A(1，a)，圆O：x2＋y2＝4. (1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程； (2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数a的值． 8．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0. (1)m∈R时，证明l与C总相交； (2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长． 【考点4】 圆与圆的位置关系、直线与圆的 方程的应用 A级——学考水平达标 1．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是(　　) A．相离　　　　B．相交 C．内切 D．外切 2．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是(　　) A. B. C. D．5 3．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为(　　) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 4．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　) A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0 5．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为(　　) A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h 6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________． 7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________. 8．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________． 9．求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 10．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0. (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？ (3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． B级——高考能力达标 1．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　) A．21　　　　　B．19 C．9 D．－11 2．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是(　　) A．r<＋1 B．r>＋1 C．|r－|<1 D．|r－|≤1 3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5 C．(x－1)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5 4．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是(　　) A．5 B．1 C．3－5 D．3＋5 5．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________． 6．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________． 7．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)． (1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程； (2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程． 8．某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 km和2 km，且A，B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？ 一．选择题 1．（2020 新课标Ⅲ）点到直线距离的最大值为 A．1 B． C． D．2 2．（2018 北京）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离．当、变化时，的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2016 新课标Ⅱ）圆的圆心到直线的距离为1，则 A． B． C． D．2 4．（2015 新课标Ⅱ）过三点，，的圆交轴于，两点，则　 A． B．8 C． D．10 5．（2020 北京）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为 A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2020 新课标Ⅱ）若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为 A． B． C． D． 7．（2020 新课标Ⅰ）已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2020 新课标Ⅰ）已知，直线，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为 A． B． C． D． 9．（2019 全国）若直线与圆相切，则 A．13 B．5 C． D． 10．（2018 新课标Ⅲ）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A．， B．， C．， D．， 二．填空题 11．（2020 上海）已知直线，，若，则与的距离为　　． 12．（2018 全国）坐标原点关于直线的对称点的坐标为　　． 13．（2016 上海）设，．若关于，的方程组无解，则的取值范围是　　． 14．（2016 上海）已知平行直线，，则，的距离　 　． 15．（2016 上海）设，，若关于，的方程组无解，则的取值范围为　 　． 16．（2015 全国）点关于直线的对称点为　　． 17．（2020 天津）已知直线和圆相交于，两点．若，则的值为　　． 18．（2020 浙江）已知直线与圆和圆均相切，则　　，　　． 19．（2019 浙江）已知圆的圆心坐标是，半径长是．若直线与圆相切于点，则　　，　　． 20．（2018 新课标Ⅰ）直线与圆交于，两点，则　　． 三．解答题 21．（2019 江苏）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥是圆的直径）．规划在公路上选两个点，，并修建两段直线型道路，，规划要求：线段，上的所有点到点的距离均不小于圆的半径．已知点，到直线的距离分别为和，为垂足），测得，，（单位：百米）． （1）若道路与桥垂直，求道路的长； （2）在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路和的长度均为（单位：百米），求当最小时，、两点间的距离． 22．（2019 新课标Ⅰ）已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切． （1）若在直线上，求的半径； （2）是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由．