3.1.2 函数的表示法 练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

3.1.2函数的表示法
1．函数的图像是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知函数，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．设f（x）＝则使得f（m）＝1成立的m值是（　　）
A．10 B．0或10 C．0或﹣2或10 D．1或﹣1或11
4．已知函数f（x）和g（x）分别由表给出，则满足f（g（x））＞g（f（x））的x的取值范围是（　　）
x 1 2 3
f（x） 1 3 2
x 1 2 3
g（x） 2 1 3
{1，2，3} B．{1，2} C．{1，3} D．{1}
5.已知函数，则函数f(x)的图像是( )
已知函数f(x)=3x-1,若f(g(x))=2x+3，则函数g(x)的解析式为（ ）
7.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知,则不等式xf(x)+x≤2的解集为（ ）
A. [0,1] B. [0,2] C.(-∞,1] D.(-∞,2]
9.(多选题）已知函数y＝f（x）用列表法表示如表，若f（f（x））＝x﹣1，则x可取（　　）
x 1 2 3 4 5
f（x） 2 3 4 2 3
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（多选题）下列给出的函数是分段函数的是（　　）
A． B．
C． D．
11.（多选题）高斯是十八世纪德国著名数学家、物理学家、天文学家,是近代数学奠基者之一,享有“数学王子”之称.,[x]表示不超过x的最大整数.函数y=[x]称为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”,则下列命题中的真命题是( )
A.
B.
C.函数y=x-[x] (x∈R)的值域为[0,1)
12.(多选题)设函数y=f(x)的定义域为R,对于任一给定的正数p，定义函数，则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”若给定函数f(x)=x2-2x-1,p=2,则下列结论成立的是( )
fp(f(0))=f(fp(0)) B.fp(f(1))=f(fp(1))
f(f(2))=fp(fp(2)) D.f(f(3))=fp(fp(3))
13.已知函数 的值域为[0,+∞),则m的取值范围是_____.
14.已知函数f（x）的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，
右侧为某抛物线的一段．则函数f（x）＝　 　．
15.若方程 x2-4|x|+3=m有四个互不相等的实数根,则 m的取值范围是 .
16.已知函数 设a∈R,若关于x的不等式在R上恒成立,则a的取值范围是 .
17．已知函数．
（1）求f（0），f（f（2））；
（2）若f（m）＝﹣1，求m的值；
（3）在给定的坐标系中，作出函数f（x）的图象．
18.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发,顺次经过点B,C,D再回到点A,设 x表示点P移动的路程，f(x)表示线段PA的长,g(x)表示△ABP的面积,求f(x)和 g(x),并作出g(x)的简图.
19.(1)已知一次函数f(x)满足f(f(x))=9x+7 求f(x)的解析式。
(2)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5, 求该二次函数的解析式 。
(3)已知，求f(x)的解析式。
(4)已知函数 f(x+1)= x -2x，求f(x)的解析式。
(5)已知函数f(x)满足,求函数f(x)的解析式。
(6)已知af(x) +f(-x)=bx,其中a≠±1,求函数f(x)的解析式。
20.某公司共有60位员工,为提高员工的业务技术水平,公司拟聘请专业培训机构对其进行培训.培训的总费用由两部分组成:一部分是给每位参加培训的员工支付400元的培训材料费;另一部分是给培训机构交纳的培训费.若参加培训的员工人数不超过30,则每人收取培训费1000元;若参加培训的员工人数超过30,则每超过1人,人均培训费减少20元.设公司参加培训的员工人数为x,此次培训的总费用为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当参加培训的员工人数是50时,所需的总费用是多少元
已知对于一切正整数n,都有,存在实数a使f3(a)=f6(a),求f28(a).
3.1.2函数的表示法答案
1～5 CBCCA 6～8 ABC 9 BCD 10 AD 11 BCD 12 ACD
13 [4,+∞) 14 f（x）＝
(-1,3) 16 [-2,2]
【解析】
1.C 【解答】解：函数
作出函数图象为：
故选：C．
2.B【解答】解：∵已知函数，
∴ 故选：B．
3.C【解答】解：当m＜1时，f（m）＝（m+1）2＝1
∴m＝﹣2或m＝0
当m≥1时，f（m）＝4﹣＝1 ∴m＝10
综上：m的取值为：﹣2，0，10 故选：C．
4.C【解答】解：根据题意，函数的定义域为{1，2，3}，
当x＝1时，f（g（1））＝f（2）＝3，g（f（1））＝g（1）＝2，f（g（x））＞g（f（x））成立；
当x＝2时，f（g（2））＝f（1）＝1，g（f（2））＝g（3）＝3，f（g（x））＞g（f（x））不成立；
当x＝3时，f（g（3））＝f（3）＝2，g（f（3））＝g（2）＝1，f（g（x））＞g（f（x））成立；
故满足f（g（x））＞g（f（x））的x的取值范围是{1，3}；故选：C．
5.A【解答】解：因为
x=-1时，y=0，即图像过（-1,0）D错
当x=0时，y=1，即图像过（0,1）C错
当x=1时，y=2，即图像过（1,2）B错；故选A
6.A【解答】解：因为f(g(x))=3g(x)-1=2x+3,所以3g(x)=2x+4,则
B【解答】解：当-1当1当2由此可得
作出函数f(x)的图像并画出y= -,如图所示
由图可知当2C【解答】解： 当x≥0时,x×1+x≤2,解得0≤x≤1;
当x<0时,x≤2,所以x<0.所以不等式 xf(x) +x≤2 的解集为(-∞,1],故选C
BCD 【解答】解：结合表格可知，
当x＝1时，f（1）＝2，则f（f（1））＝f（2）＝3≠1﹣1＝0，
当x＝2时，f（2）＝3，f（f（2）＝f（3）＝4≠2﹣1；
当x＝3时，f（3）＝4，f（f（3））＝f（4）＝2＝3﹣1，此时满足题意；
当x＝4时，f（4）＝2，f（f（4））＝f（2）＝3＝4﹣1，此时满足题意；
当x＝5时，f（5）＝3，f（f（5））＝f（3）＝4＝5﹣1，此时满足题意．
故选：BCD．
10.AD 【解答】解：是分段函数的解析式，正确；
因为不满足函数的定义，不是函数的解析式，所以B不正确；
不满足函数的定义，不是函数的解析式，所以C不正确；
满足函数的定义，是分段函数的解析式，所以D正确；故选：AD．
11.BCD 【解答】解：[x]是整数,若x≥[x] +1,[x] +1是数,∴[x]≥[x]+1,矛盾,∴A错误
x,y∈R, [x]≤x, [y]≤y,∴[x]+[y]≤x+y,∴[x]+[y]≤[x+y],B正确;
由定义知,x-1<[x]≤x,∴0≤x-[x]<1,∴函数f(x) =x-[x]的值域是[0,1),C正确;
若使得[t3]=1, [t4]=2 ,[t5] =3,…, [tn]=n-2同时成立,则, , , 同时成立，,当n≥6时,则不存在t同时满足，, 只有n≤5时,存在满足题意,D正确.故选 BCD.
ACD 【解答】解: 由题意知，
当f(x)=x2-2x-1，p=2时，有
作y=f(x)及y=fp(x)的图象，如
由图可知，f(0)= -1, fp(f(0))=fp(-1)=2, fp(0)= -1, J,(0))=f(-1)=2, f(fp(0))=f(-1)=2故A成立.
同理fp(f(1))=fp(-2)=2, f(fp(1))=f(-2)=7,故B不成立.
f(f(2))=f(-1)=2, fp(fp(2))=fp(-1)=2,故C成立.
f(f(3))=f(2)=-1, fp(fp(3))=fp(2)=-1，故D成立.
[4,+∞ )【解答】解: 当m=0时,f(x)=1不符合题意;当m≠0时，令 g(x)=mx2+mx+1则g(x)的图象需开口向上且与x轴有交点，所以解得m≥4,则m的取值范围是[4,+∞ )
14.【解答】解：当x∈[﹣2，0]时，设f（x）＝kx+b（k≠0），
将（﹣2，0），（0，2）代入可得，解得k＝1，b＝2，
即f（x）＝x+2，
当x∈（0，3]时，设f（x）＝a（x﹣2）2﹣2，将点（3，﹣1）代入可得
﹣1＝a（3﹣2）2﹣2，解得a＝1，
∴f（x）＝（x﹣2）2﹣2＝x2﹣4x+2，
∴f（x）＝．故答案为：
15. (-1,3) 【详解】解：作出 的函数图象如图所示:
方程x2-4|x|+3=m有四个互不相等的实数根，
所以，直线y=m与y=x2-4|x|+3的函数图象有4个交点，当x=2时，y=-1; x=0时，y=3， -116. [-2,2] 【详解】解：首先画出函数f(x)的图像，当的图像经过（0,2）时,可知，当 的图像与的图像相切时，由，得x2-2ax+4=0,由，并结合图像可得a=2,要使恒成立，当a≤0时，需满足-a≤2,即-2≤a≤0,当a>0时，需满足a≤2，所以-2≤a≤2
17.【解答】解：（1）∵函数，
∴f（0）＝0，f（2）＝×2﹣3＝﹣2，则f（f（2））＝f（﹣2）＝＝﹣1；
（2）当m＜0时，f（m）＝＝﹣1，解得m＝﹣2；
当0≤m≤2时，f（m）＝﹣m＝﹣1，解得m＝1；
当m≥2时，f（m）＝m﹣3＝﹣1，解得m＝4，
综上所述，m的值为﹣2或1或4；
（3）函数f（x）的图象，如图所示：
【解答】解：如图18.1所示，当P在AB上运动时，PA=x；当点P在BC上运动时，由RtABP可得;当点P在CD上运动时,由RtΔADP 易得 ;当点P在DA上运动时,PA=4-x,故f(x)的表达式为:
图18.1
由于点P在正方形ABCD上不同位置时，△ABP的面积也不同,因此必须对点P的位置进行分类讨论:
如图18.1,当点P在AB上,即0≤x≤1时,△ABP的面积;当点P在BC上,即1故
图18.2
g(x)的简图如图 18.2所示.
19.【解答】解：(1)设f(x) =ax +b(a≠0),则f(f(x)) = f(ax +6) =a(ax +6) +b =a2x +ab +b =9x +7,于是有解得，所以
f(x) =3x + 或f(x) = -2x -.
设该二次函数的解析式为f(x) =ax2+bx+c(a≠0),由题意得 解得,故f(x) =x2 +1.
方法一(换元法) 令，则x=(t-1) ，所以f(t) =(t-1) +2(t-1) =t2-1(t≥1),所以函数f(x)的解析式为f(x) =x2-1(x≥1).
方法二(配凑法)
因为所以函数f(x)的解析式为f(x) = x -1(x≥1).
方法一(换元法) 令x+1=t，则x=t-1,t∈R,所以f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t +3,即f(x) =x -4x +3.
方法二(配凑法) 因为x2-2x=(x2+2x+1)-(4x+4)+3=(x+1)2-4(x+1)+3,所以f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3,即f(x) =x2-4x +3.
在已知等式中,将x换成,得,与已知方程联立,得消去f()，得
在原式中以 -x 替换 x,得 af(-x) + f(x)=-bx，于是得，
消去f(-x)得.
故函数f(x)的解析式。
20.【解答】解：(1)当0≤x≤30，x∈N时，y=400x+1000x =1 400x;
当30故
(2)当x=50时y=-20×502+2000×50=50000
所以当参加培训的员工人数是50时，所需的总费用是50000元 .
21.【解答】解：得所以对于一切正整数n,当n为奇数时,当n为偶数时.
所以.
由,解得
所以