13.1.2 定理与证明 同步练习（含解析）

13.1.2定理与证明
一、单选题
1．“同角或等角的补角相等”是( )
A．定义 B．基本事实 C．定理 D．假命题
2．下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个数，结果仍是等式；③x=2是一元一次方程x 2=0的根；④对顶角相等.其中可以作为定理的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列命题是定理的是（ ）
A．内错角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．一个角的余角不等于它本身
D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
4．下列说法正确的是（ ）
A．命题是定理，定理是命题
B．命题不一定是定理，定理不一定是命题
C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理
D．定理可能是真命题，也可能是假命题
5．下列问题你不能肯定的是（ ）
A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题 B．三角形与矩形的面积关系
C．三角形的内角和 D．边形的外角和
6．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短
7．下列推理正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
8．如图所示，在中，，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．命题由______和______两部分组成，通常写成______形式．
10．由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的________.
11．如图所示，已知，，．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是________．（填序号）
12．如图所示，，那么________，依据是__________．
三、解答题
13．如图，，，，求证：．
14．如图，在△ABC和△ADC中，给出下列三个论断：①BC=DC；②∠BAC=∠DAC；③AB=AD.请将其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论构成一个真命题，然后写出证明过程.
15．求证：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行．
16．命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例．
17．命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确吗？试着用你学过的知识说明理由.
18．如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.
19．如图所示，相交于点，连接，①，②，③．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①．
（1）在构成的三个命题中，真命题有________个；
（2）请选择其中一个真命题加以证明．
20．如图，现有以下三个语句：①；②；③．请以其中两个为条件，另一个为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举反例说明．
21．如图，现有以下3个论断：；；．
（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？
（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．
参考答案
1．C
【解析】解：“同角或等角的补角相等”定理，它是由等量代换推理得到的，是真命题．
故选C．
2．A
【解析】能被3整除的数，不一定能被6整除，故①是假命题；等式两边除以同一个不为零的数，结果仍是等式，故②是假命题；③是一个运算过程，不能作为定理；对顶角相等是定理.
故选A.
3．B
【解析】解：A、内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题，本选项不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理，本选项符合题意；
C、一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题，本选项不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，本选项不符合题意．
故选B．
4．C
【解析】解：A、命题不一定是定理，所以本选项错误；
B、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误；
C、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确；
D、定理不可能是假命题，所以本选项错误．
故选：C．
5．B
【解析】A. 二者大小关系一目了然，能肯定；
B. 二者面积大小关系不确定，不能肯定；
C. 能用三角形的内角和定理判断，能肯定；
D. 能用多边形的外角和判断，能肯定；
故选B.
6．A
【解析】解：如图，
根据两点之间线段最短，即可判断：，
∴三角形的任意两边之和大于第三边；
故选：A.
7．D
【解析】解：A、∵，∴a，b同号，则或，本项错误；
B、∵，则不一定正确，如时，，本项错误；
C、∵，则或，∴不一定正确，故本项错误；
D、∵，则或，本项正确；
故选择：D.
8．A
【解析】解：A、直角三角形两个锐角度数不明确，不能比较大小，故本项错误；
B、由两边和大于第三边，得到，本项正确；
C、由，则，本项正确；
D、由勾股定理可知，，本项正确；
故选择：A.
9．题设（或条件） 结论 “如果……那么……”
【解析】解：命题由题设（或条件）和结论两部分组成，通常写成“如果……那么……”形式．
10．推论
【解析】由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论，
故答案为：推论．
11．①②③
【解析】解：∵，
∴，
∴BD=EC，
∵，，
∴△ABD△FEC（SSS），
∴∠A=∠F，∠B=∠E，∠ADB=∠FCE，
∴，，
所以①②③都正确，
故答案为：①②③.
12． ， 同角的余角相等
【解析】解：∵，
∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，
根据同角的余角相等，
∴∠AOC=∠BOD；
故答案为：，同角的余角相等.
13．见解析
【解析】证明：∵（已知），
∴（等式的性质），
即．
在和中，
∴．
∴（全等三角形的对应边相等）．
14．答案见解析
【解析】条件：②∠BAC=∠DAC，③AB=AD；结论：①BC=DC.
证明：在△ABC和△ADC中，AB=AD∠BAC=∠DACAC=AC，
所以△ABC △ADC，所以BC=DC.（答案不唯一）
15．详见解析.
【解析】已知：如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别交于M，H，MN平分∠BMH，GH平分∠CHM．
求证：MN∥GH．
证明：∵MN平分∠BMH，GH平分∠CHM．
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
∴MN∥GH．
16．是真命题，证明见解析
【解析】命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题．
证明如下：如图, AB∥CD，EM平分∠AEF，FN平分∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠DFE，
∵EM平分∠AEF，FN平分∠DFE，
∴∠1=∠2，
∴EM∥FN，
即两直线平行，内错角的平分线互相平行.
17．正确，理由见解析.
【解析】正确，理由如下：
.
故命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确.
18．见解析
【解析】已知：如图,AB⊥BC、CD⊥BC,BE∥CF.
求证：∠1=∠2.
证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵BE∥CF，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠ABC ∠EBC=∠DCB ∠FCB，
∴∠1=∠2.
19．（1）2；（2）选择①②③，见解析.
【解析】解：（1）①②③，满足全等三角形判定定理AAS，是真命题；
①③②，满足全等三角形判定定理ASA，是真命题；
②③①，是SSA，不能证明三角形全等，故不能得到①成立，是假命题；
故答案为：2；
（2）选择①②③．
证明：在和中，
∴．
∴（全等三角形的对应边相等）．
20．（1）详见解析；（2）都是真命题．
【解析】解：（1）如果，，那么．
如果，，那么．
如果，，那么．
（2）根据平行线的判定和性质可知，三个命题都是真命题．
21．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】解：（1）由，，得到；
由，，得到；
由，，得到；
故能组成3个命题．
（2）由，，得到，是真命题．理由如下：
，．
，∴，
，．
由，，得到，是真命题．理由如下：
，．
，，
．
由，，得到，是真命题．理由如下：
∵，，．
，，
．