13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线 同步练习（含答案）

13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
【基础练习】
知识点 1　用直尺和圆规作角的平分线
1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图,则此作法的数学依据是(　　)
A.SAS B.SSS
C.AAS D.ASA
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点M和N,再分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则∠ADB=　　　　°.
3.如图所示,∠AOB=70°,以点O为圆心,以适当长为半径作弧分别交OA,OB于C,D两点;分别以点C,D为圆心,以大于12CD的长为半径作弧,两弧相交于点P;以O为端点作射线OP,在射线OP上取点M,连接MC,MD.若测得∠CMD=40°,则∠MDB=　　　　°.
4.如图,已知△ABC,用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D.(保留作图痕迹,不要求写作法)
知识点 2　用直尺和圆规过已知点作已知直线的垂线
5.如图,过直线AB外一点P作PE⊥AB,由作图过程可知△PEC≌△PED,依据是(　　)
A.SAS　　　 B.SSS C.ASA D.AAS
6.[2019·常州二模] 如图,一位同学用直尺和圆规作出了△ABC中BC边上的高AD,则一定有(　　)
A.PA=PC B.PA=PQ
C.PQ=PC D.∠QPC=90°
7.如图,已知△ABC,根据题意完成下列各题:
(1)用尺规过点A作BC所在直线的垂线;
(2)用尺规作出AC边上的高.
【能力提升】
8.[2020·襄阳] 如图2,Rt△ABC中,∠ABC=90°,根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是(　　)
图2
A.DB=DE B.AB=AE
C.∠EDC=∠BAC D.∠DAC=∠C
9.尺规作图:如图3,过点A作出直线AM,使AM∥BC.
(要求:保留作图痕迹,标注字母M,不写作图步骤)
图3
10.[2019·达州节选] 如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.尺规作图:(1)作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D;(2)过点D作BC的垂线,垂足为E(不写作法,保留作图痕迹).
图4
11.如图5,已知在△ABC中,∠A=70°.
(1)分别作∠B,∠C的平分线,它们交于点O;
(2)求∠BOC的度数.
图5
12.如图6,已知∠MON,点B,C分别在射线OM,ON上,且OB=OC.
(1)用直尺和圆规作出∠MON的平分线OP,在射线OP上取一点A,分别连接AB,AC(只需保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下求证:AB=AC.
图6
13.如图7,已知△ABC,按如下步骤作图:
(1)以点A为圆心,AB长为半径画弧;
(2)以点C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;
(3)连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.
求证:AC⊥BD.
图7
14.已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,点E在边AB上,且AE=AC,∠BAC的平分线AD与BC相交于点D.
(1)根据上述条件,用尺规在图8中作出点E和∠BAC的平分线AD(不要求写出作法,但要保留作图痕迹);
(2)连接DE,求证:DE⊥AB.
图8
答案
1.B
2.125　[解析] 由题意可得AD平分∠CAB.
∵∠C=90°,∠B=20°,∴∠CAB=70°.
∴∠CAD=∠BAD=35°.
∴∠ADB=180°-20°-35°=125°.
3.55　[解析] 由作法得OC=OD,OP平分∠AOB,则∠AOP=∠BOP=12∠AOB=35°.
在△OMC和△OMD中,OC=OD,∠COM=∠DOM,OM=OM,
∴△OMC≌△OMD(SAS).
∴∠OMC=∠OMD=12∠CMD=20°.
∴∠MDB=∠DOM+∠OMD=35°+20°=55°.
4.解:如图,①以点B为圆心,以任意长为半径画弧,分别交AB,BC于点E,F;
②分别以点E,F为圆心,以大于12EF的长为半径画弧,两弧相交于点G,连接BG交AC于点D.BD即为所求.
5.B　6.C　
7.解:如图所示,(1)直线AE即为所求.
(2)BF即为所求.
8.D　[解析] 由作图可知AD平分∠BAC,DE⊥AC,
∴∠DAE=∠DAB,∠DEA=∠B=90°.
在△ADE和△ADB中,
∠DAE=∠DAB,∠DEA=∠B,AD=AD,
∴△ADE≌△ADB(AAS),
∴DB=DE,AB=AE.
∵∠AED+∠B=180°,
∴∠BAC+∠BDE=180°.
又∵∠EDC+∠BDE=180°,
∴∠EDC=∠BAC,
故选项A,B,C正确.
故选D.
9.解:如图,直线AM即为所求.
10.解:(1)如图,CD即为所求.
(2)如图,DE即为所求.
11.解:(1)如图所示.
(2)∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB.
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A,而∠A=70°,
∴∠BOC=90°+12×70°=125°.
12.解:(1)如图所示.
(2)证明:由(1)知OP是∠MON的平分线,
∴∠POB=∠POC.
在△ABO与△ACO中,OB=OC,∠AOB=∠AOC,OA=OA,
∴△ABO≌△ACO(SAS).
∴AB=AC.
13.证明:在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=DC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠CAB=∠CAD.
在△ABE和△ADE中,AB=AD,∠EAB=∠EAD,AE=AE,
∴△ABE≌△ADE(SAS).
∴∠AEB=∠AED=90°.∴AC⊥BD.
14.解:(1)如图①.
(2)证明:如图②.
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠CAD.
在△ADE和△ADC中,AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD,
∴△ADE≌△ADC(SAS).
∴∠AED=∠ACD=90°,即DE⊥AB.