13.4.5 作已知线段的垂直平分线 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 13.4.5 作已知线段的垂直平分线 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 726.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-24 09:39:40 | ||
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文档简介
13.4.5作已知线段的垂直平分线
基础知识
(1)分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于C、D两点；
(2)过C、D两点作直线CD，则直线CD垂直平分AB.
归纳整理：这种作法中，CD与AB的交点O是线段AB的中点，所以，作线段的中点(或作三角形一边上的中线)也采用这一种方法．
这种作法的依据是“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，所以，只需找到两个到线段两端距离相等的点，由“两点确定一条直线”，就可以作出线段的垂直平分线，另外，利用S.S.S.证明△ACD≌△BCD，再利用S.A.S.证明△AOC≌△BOC，也可以说明它的正确性．
例题
例．在点M，分别在AB，AC边上．
（1）如图①，利用尺规作图，在BC边上找一点使得（保留作图痕迹，不写作法)
（2）如图②，请用画图的方式在BC边上找一点P′，使得P′M与P′N的距离之和最短．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接MN，作线段MN的垂直平分线交AB于点P，点P即为所求．
（2）作点M关于BC的对称点M′，连接NM′交BC于点P′，连接MP′，点P′即为所求．
【详解】
解：（1）如图①中，点P即为所求．
（2）如图②中，点P′即为所求．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用利用线段的垂直平分线解决问题．
练习
1．如图，在一张矩形纸板上找一点P，使点P到，的距离相等，且到点C，D的距离也相等，则下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．尺规作图要求：Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ.作线段的垂直平分线；Ⅲ过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ.作角的平分线，则正确的配对是（ ）
A．①-Ⅳ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④ -Ⅰ B．①-Ⅳ，②-Ⅲ，③-Ⅱ，④-Ⅰ
C．①-Ⅱ，②-Ⅳ，③-Ⅲ，④-Ⅰ D．①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ
3．下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．作一个角等于已知角
B．作一个角的平分线
C．作一条线段的垂直平分线
D．过直线外一点P作已知直线的垂线
4．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点和．②作直线．直线就是线段的垂直平分线．则的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知：直线及外一点．如图，
求作：经过点，且垂直的直线，
作法：（1）以点为圆心，适当的长为半径画弧，交直线于点，．
（2）分别以点，为圆心，适当的长为半径，在直线的另一侧画弧，两弧交于点．
（3）过点、作直线．直线即为所求．
在作法过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（ ）
A．这两个适当的长相等
B．（1）中“适当的长”指大于点到直线的距离
C．（2）中“适当的长”指大于线段的长
D．（2）中“适当的长”指大于点到直线的距离
6．作线段的垂直平分线
作法：
①任意取一点K ，使点K与点C 在直线AB两旁．
②以点C为圆心，____长为半径作弧，交___于点D和E．
③分别以点__和点___为圆心，大于_____长为半径作弧，两弧相交于点F．
④作直线CF．
7．如图，小明在以为顶角的等腰三角形中用圆规和直尺作图，作出过点的射线交于点，然后又作出一条直线与交于点，连接，若的面积为4，则的面积为________．
8．尺规作图要求：
a、过直线外一点作这条直线的垂线；
b、作线段的垂直平分线；
c、过直线上一点作这条直线的垂线；
d、作角的平分线．
其中与a、b、c、d四个作图要求依次对应的图形是______．（填序号）
9．如图，已知∠DAC=68°，依据尺规作图的痕迹，则=____．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为_________．
11．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°．
（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，求∠ABD．
12．按照要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）尺规作图：请在直线上作一点，使得；
（2）在直线上作一点，使得的值最小．
13．尺规作图．（保留作图痕迹）如图求作一点P，使PC=PD．且到∠AOB的两边距离相等．
14．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，四边形ABCD．
求作：点P，使点P在四边形ABCD内部，PB＝PC，并且点P到∠BAD两边的距离相等．
15．已知，如图，直线与直线相交于点，点是直线上一点．
求作：点，使直线，且点到、两点的距离相等（尺规作图，在题目的原图中完成作图）
参考答案
1．C
【分析】
满足条件的点是∠ABC与线段CD的垂直平分线的交点．
【详解】
解：由题意满足条件的点是∠ABC与线段CD的垂直平分线的交点．
故选：C．
【点睛】
本题考查作图 复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．A
【分析】
分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【详解】
解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；
Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图②符合；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图③符合；
Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①-Ⅳ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④ -Ⅰ，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
3．C
【分析】
利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．
【详解】
解：A.作一个角等于已知角的方法正确，不符合题意；
B.作一个角的平分线的作法正确，不符合题意；
C.作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误，符合题意；
D.过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
4．D
【分析】
利用基本作图得到b＞AB，从而可对各选项进行判断．
【详解】
解：根据题意得：b＞AB，
即b＞3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了作图 基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
5．B
【分析】
根据作图步骤即可判断．
【详解】
解：（1）中“适当的长”指大于点到直线的距离，确保画出的弧与直线有两个不同的交点，故B选项正确；
（2）中“适当的长”指大于的长，故C、D选项错误；
由（1）（2）可知这两个“适当的长”不相等，故A选项错误，
故答案选：B．
【点睛】
本题考查作图 基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
6．CK AB D E
【详解】
略
7．1
【分析】
根据三角形的中线平分三角形的面积解决问题即可．
【详解】
解：由作图可知，平分，
，
，
，
由作图可知，，
．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质的性质等知识，解题的关键是理解三角形的中线平分三角形的面积．
8．②③④①
【分析】
根据基本作图进行判断．
【详解】
解：a，过直线外一点作这条直线的垂线，如图②；
b，作线段的垂直平分线，如图③；
c、过直线上一点作这条直线的垂线，如图④；
d、作角的平分线．如图①．
故答案为：②③④①．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
9．56°
【分析】
如图，由作图可得：平分 是的垂直平分线，利用角平分线的性质求解再利用垂直平分线的定义求解再利用直角三角形的两锐角互余求解 从而可得答案．
【详解】
解：如图，标注字母，
由作图可得：平分 是的垂直平分线，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是角平分线，垂直平分线的作图与应用，直角三角形的两锐角互余，对顶角相等，掌握以上知识是解题的关键．
10．5
【分析】
由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB=MA，所以BM+MD=MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】
解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB=MA，
∴BM+MD=MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB=AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC= BC AD=10，
∴AD，
∴BM+MD长度的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了基本作图－作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，轴对称－最短路径问题．求得MA+MD的最小值为AD是解题的关键．
11．（1）见解析；（2）30°
【分析】
（1）分别以为圆心，大于长为半径，在两侧作弧，交于两点，过这两点作直线分别交于AC，BC于点D，E；
（2）根据垂直平分线的性质，，根据SSS证明，进而可得，根据即可求得
【详解】
（1）如图，分别以为圆心，大于长为半径，在两侧作弧，交于两点，过这两点作直线分别交于AC，BC于点D，E；
（2）连接，如图，
由（1）可知为的垂直平分线，
，
又，
（SSS），
，
，
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，尺规作图作线段的垂直平分线，三角形全等的性质与判定，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
12．（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）作线段CD的垂直平分线交AB于点Q，点Q即为所求作．
（2）作点C关于AB的对称点C’，连接DC’交AB于点P，连接CP，点P即为所求作．
【详解】
解：（1）如图，点Q即为所求作．
（2）如图，点P即为所求作．
【点睛】
本题考查作图 复杂作图，线段的垂直平分线，轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的尺规作图方法，属于中考常考题型．
13．见解析．
【分析】
作角的平分线与线段的垂直平分线的交点，即为所求．
【详解】
如图，作的平分线与线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求．
作图步骤：
①作的平分线：以任意长度为半径，作弧交于两点，以为圆心，以大于为半径，在的内部作弧，交于一点，作射线；
②作线段线段的垂直平分线：以大于长度为半径，在两侧作弧，交于两点，过这两点作直线，与交于点，则点即为所求．
【点睛】
本题考查了作角平分线，线段的垂直平分线，掌握基本作图是解题的关键．
14．见解析
【分析】
满足PB＝PC，则点P在线段BC的垂直平分线上；满足点P到∠BAD两边的距离相等，则点P在∠BAD的角平分线上，分别作出线段AB的垂直平分线MN，作∠BCD的角平分线CQ，MN交CQ于点P，点P即为所求作．
【详解】
解：如图，点P即为所求作．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，角平分线的判定，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定以及角平分线的判定定理．
15．见解析．
【分析】
首先以为顶点，为边作一个角等于，再作出的垂直平分线，即可找到点．
【详解】
如图所示：
点即为所求，．
【点睛】
此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法和线段垂直平分线的作法．
基础知识
(1)分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于C、D两点；
(2)过C、D两点作直线CD，则直线CD垂直平分AB.
归纳整理：这种作法中，CD与AB的交点O是线段AB的中点，所以，作线段的中点(或作三角形一边上的中线)也采用这一种方法．
这种作法的依据是“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，所以，只需找到两个到线段两端距离相等的点，由“两点确定一条直线”，就可以作出线段的垂直平分线，另外，利用S.S.S.证明△ACD≌△BCD，再利用S.A.S.证明△AOC≌△BOC，也可以说明它的正确性．
例题
例．在点M，分别在AB，AC边上．
（1）如图①，利用尺规作图，在BC边上找一点使得（保留作图痕迹，不写作法)
（2）如图②，请用画图的方式在BC边上找一点P′，使得P′M与P′N的距离之和最短．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接MN，作线段MN的垂直平分线交AB于点P，点P即为所求．
（2）作点M关于BC的对称点M′，连接NM′交BC于点P′，连接MP′，点P′即为所求．
【详解】
解：（1）如图①中，点P即为所求．
（2）如图②中，点P′即为所求．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用利用线段的垂直平分线解决问题．
练习
1．如图，在一张矩形纸板上找一点P，使点P到，的距离相等，且到点C，D的距离也相等，则下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．尺规作图要求：Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ.作线段的垂直平分线；Ⅲ过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ.作角的平分线，则正确的配对是（ ）
A．①-Ⅳ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④ -Ⅰ B．①-Ⅳ，②-Ⅲ，③-Ⅱ，④-Ⅰ
C．①-Ⅱ，②-Ⅳ，③-Ⅲ，④-Ⅰ D．①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ
3．下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．作一个角等于已知角
B．作一个角的平分线
C．作一条线段的垂直平分线
D．过直线外一点P作已知直线的垂线
4．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点和．②作直线．直线就是线段的垂直平分线．则的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知：直线及外一点．如图，
求作：经过点，且垂直的直线，
作法：（1）以点为圆心，适当的长为半径画弧，交直线于点，．
（2）分别以点，为圆心，适当的长为半径，在直线的另一侧画弧，两弧交于点．
（3）过点、作直线．直线即为所求．
在作法过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（ ）
A．这两个适当的长相等
B．（1）中“适当的长”指大于点到直线的距离
C．（2）中“适当的长”指大于线段的长
D．（2）中“适当的长”指大于点到直线的距离
6．作线段的垂直平分线
作法：
①任意取一点K ，使点K与点C 在直线AB两旁．
②以点C为圆心，____长为半径作弧，交___于点D和E．
③分别以点__和点___为圆心，大于_____长为半径作弧，两弧相交于点F．
④作直线CF．
7．如图，小明在以为顶角的等腰三角形中用圆规和直尺作图，作出过点的射线交于点，然后又作出一条直线与交于点，连接，若的面积为4，则的面积为________．
8．尺规作图要求：
a、过直线外一点作这条直线的垂线；
b、作线段的垂直平分线；
c、过直线上一点作这条直线的垂线；
d、作角的平分线．
其中与a、b、c、d四个作图要求依次对应的图形是______．（填序号）
9．如图，已知∠DAC=68°，依据尺规作图的痕迹，则=____．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为_________．
11．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°．
（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，求∠ABD．
12．按照要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）尺规作图：请在直线上作一点，使得；
（2）在直线上作一点，使得的值最小．
13．尺规作图．（保留作图痕迹）如图求作一点P，使PC=PD．且到∠AOB的两边距离相等．
14．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，四边形ABCD．
求作：点P，使点P在四边形ABCD内部，PB＝PC，并且点P到∠BAD两边的距离相等．
15．已知，如图，直线与直线相交于点，点是直线上一点．
求作：点，使直线，且点到、两点的距离相等（尺规作图，在题目的原图中完成作图）
参考答案
1．C
【分析】
满足条件的点是∠ABC与线段CD的垂直平分线的交点．
【详解】
解：由题意满足条件的点是∠ABC与线段CD的垂直平分线的交点．
故选：C．
【点睛】
本题考查作图 复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．A
【分析】
分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【详解】
解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；
Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图②符合；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图③符合；
Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①-Ⅳ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④ -Ⅰ，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
3．C
【分析】
利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．
【详解】
解：A.作一个角等于已知角的方法正确，不符合题意；
B.作一个角的平分线的作法正确，不符合题意；
C.作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误，符合题意；
D.过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
4．D
【分析】
利用基本作图得到b＞AB，从而可对各选项进行判断．
【详解】
解：根据题意得：b＞AB，
即b＞3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了作图 基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
5．B
【分析】
根据作图步骤即可判断．
【详解】
解：（1）中“适当的长”指大于点到直线的距离，确保画出的弧与直线有两个不同的交点，故B选项正确；
（2）中“适当的长”指大于的长，故C、D选项错误；
由（1）（2）可知这两个“适当的长”不相等，故A选项错误，
故答案选：B．
【点睛】
本题考查作图 基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
6．CK AB D E
【详解】
略
7．1
【分析】
根据三角形的中线平分三角形的面积解决问题即可．
【详解】
解：由作图可知，平分，
，
，
，
由作图可知，，
．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质的性质等知识，解题的关键是理解三角形的中线平分三角形的面积．
8．②③④①
【分析】
根据基本作图进行判断．
【详解】
解：a，过直线外一点作这条直线的垂线，如图②；
b，作线段的垂直平分线，如图③；
c、过直线上一点作这条直线的垂线，如图④；
d、作角的平分线．如图①．
故答案为：②③④①．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
9．56°
【分析】
如图，由作图可得：平分 是的垂直平分线，利用角平分线的性质求解再利用垂直平分线的定义求解再利用直角三角形的两锐角互余求解 从而可得答案．
【详解】
解：如图，标注字母，
由作图可得：平分 是的垂直平分线，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是角平分线，垂直平分线的作图与应用，直角三角形的两锐角互余，对顶角相等，掌握以上知识是解题的关键．
10．5
【分析】
由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB=MA，所以BM+MD=MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】
解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB=MA，
∴BM+MD=MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB=AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC= BC AD=10，
∴AD，
∴BM+MD长度的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了基本作图－作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，轴对称－最短路径问题．求得MA+MD的最小值为AD是解题的关键．
11．（1）见解析；（2）30°
【分析】
（1）分别以为圆心，大于长为半径，在两侧作弧，交于两点，过这两点作直线分别交于AC，BC于点D，E；
（2）根据垂直平分线的性质，，根据SSS证明，进而可得，根据即可求得
【详解】
（1）如图，分别以为圆心，大于长为半径，在两侧作弧，交于两点，过这两点作直线分别交于AC，BC于点D，E；
（2）连接，如图，
由（1）可知为的垂直平分线，
，
又，
（SSS），
，
，
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，尺规作图作线段的垂直平分线，三角形全等的性质与判定，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
12．（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）作线段CD的垂直平分线交AB于点Q，点Q即为所求作．
（2）作点C关于AB的对称点C’，连接DC’交AB于点P，连接CP，点P即为所求作．
【详解】
解：（1）如图，点Q即为所求作．
（2）如图，点P即为所求作．
【点睛】
本题考查作图 复杂作图，线段的垂直平分线，轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的尺规作图方法，属于中考常考题型．
13．见解析．
【分析】
作角的平分线与线段的垂直平分线的交点，即为所求．
【详解】
如图，作的平分线与线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求．
作图步骤：
①作的平分线：以任意长度为半径，作弧交于两点，以为圆心，以大于为半径，在的内部作弧，交于一点，作射线；
②作线段线段的垂直平分线：以大于长度为半径，在两侧作弧，交于两点，过这两点作直线，与交于点，则点即为所求．
【点睛】
本题考查了作角平分线，线段的垂直平分线，掌握基本作图是解题的关键．
14．见解析
【分析】
满足PB＝PC，则点P在线段BC的垂直平分线上；满足点P到∠BAD两边的距离相等，则点P在∠BAD的角平分线上，分别作出线段AB的垂直平分线MN，作∠BCD的角平分线CQ，MN交CQ于点P，点P即为所求作．
【详解】
解：如图，点P即为所求作．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，角平分线的判定，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定以及角平分线的判定定理．
15．见解析．
【分析】
首先以为顶点，为边作一个角等于，再作出的垂直平分线，即可找到点．
【详解】
如图所示：
点即为所求，．
【点睛】
此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法和线段垂直平分线的作法．