高中数学必修第一册人教A版（2019）《集合的概念》教学设计

《集合的概念》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1.初中代数中涉及“集合”的提法. 2·初中几何中涉及“集合”的提法. 引导学生回顾初中代数中不等式的解法一节中提到的有关知识：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集. 几何中，圆的概念是用集合描述的. 通过复习回顾，引出集合的概念.
概念形成 1.出示一组实例： （1）1 ~10之间的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有的正方形； （4）到直线1的距离等于定长d的所有点； （5）方程的所有实数根； （6）地球上的四大洋. 2.问题：你能概括出以上这6个例子具有的共同特征吗？ （1）元素：一般地，我们把研究对象统称为元素. （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）. 教师提问：（1）以上各例（构成集合）有什么特点？请大家讨论. 学生讨论交流，得出集合概念的关键要素，然后教师肯定或补充. （2）我们能否给出集合一个大体描述？ 学生思考后回答，教师总结.（3）上述6个例子中集合的元素各是什么？ （4）请同学们自己举一些集合的例子. 通过上述实例，在教师的帮助下学生总结出元素与集的含义. 通过实例，引导学生经历并体会集合（描述性） 概念形成的过程，引导学生进一步明确元素与集合的概念，会用自然语言描述集合. 培养学生的数学抽象素养.
概念深化 1.继续观察上述实例，尝试说说集合中元素的特点. 集合中元素的基本性质： （1）确定性：集合的元素必须是确定的，不能确定的对象不能构成集合. （2）互异性：集合的元素一定是互异的，相同的几个对象归于同一个集合时，只能算作集合的一个元素. （3）无序性：集合的元素没有先后顺序. 2.相等集合：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 3.元素与集合的关系：集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示，元素通常用小写拉丁字母,b,c,…表示. 如果是集合A的元素，就说a属于集合A，记作A，读作"属于A". 如果不是集合A中的元素，就说不属于集合A，记作A，读作"不属于A". 4.常用的数集及其记法： N：非负整数集（或自然数集）. 或：正整数集. Z：整数集. Q：有理数集. R：实数集. 教师提问：“我们班中高个子的同学"“年轻人”“接近0的数”能否分别组成一个集合？为什么？ 学生分组讨论、交流，并在教师的引导下明确：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了另外，集合的元素一定是互异的，相同的对象归于同一个集合时，只能算作集合的一个元素. 教师注意提醒学生：只要两个集合中的元素相同，即使排列的顺序不同，也应看作相等的集合. 教师要求学生再次观察实例，并提问：（1）你们能指出各个集合的元素，并说明各个集合的元素与集合之间是什么关系吗？ （2）例（5）中，0，-2是这个集合的元素吗？ 学生讨论交流，弄清元素与集合之间是从属关系，即“属于” 或“不属于”关系. 请同学们熟记上述符号及其意义. 通过讨论，使学生明确元素所具有的性质，从而进一步准确理解集合的概念. 强调集合中元素的无序性. 通过上面的6个例子，让学生更加深刻地理解元素与集合的从属关系. 各种常用数集符号在后续学习中经常会碰到，一定要牢记.
应用举例 用自然语言可以描述一个集合，除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？ 列举法 定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法. 例1 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合. 思考教材第3页下方的思考题. 描述法 定义：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P()的元素所组成的集合表示为{}，这种表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 教师直接给出列举法的定义，让学生理解记忆，并给出对应例题. 例1 解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么 A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举方法.例如：A={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}. （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，那么B={0，1}. 教师让学生解决“思考"中的两个问题，发现用列举法表示会有问题，引出另一种表示方法--描述法. 强调用描述法表示集合应注意的问题： （1）有时也用冒号或分号代 替竖线，写成{}或{}； （2）在花括号内，竖线两侧 分别表示的意义； （3）我们约定，如果从上下 文的关系看，，是明确 的，那么，可省略，只写其元素. 例2解：（1）设，则是一个实数，且.因此，用描述法表示为A={}. 方程有两个实数根，因此，用列举法表示 为A={}. （2）设B，则是一个整 数，即Z，且10<<20.因此，用描述法表示为B={Z|10<<20}. 大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B={11， 12，13，14，15，16，17，18，19}. 抛出问题，引导学生解决问题. 通过例题加深学生对列举法的理解. 通过这两个问题让学生发现：有些集合用列举法表示很不方便，以便引出描述法. 通过两个题目让学生明确列举法和描述法的特点和各自的适用范围.
当堂检测 1.举例说明用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点. 2.完成教材第5页练习题. 师生对本节课所涉及的实例进行分析，讨论总结出各自的优点及适用范围. 习题部分，先让学生独立思考、逐个回答，再请其他学生评价，最后教师讲解、点评. 巩固所学知识.
归纳小结 1.集合中元素的基本性质. 2.合的表示方法及各自的适用范围. 学生思考回答，其他同学补充. 关注与培养学生数学抽象这方面的素养.
布置作业 教材第5页习题1.1复习巩固第1题，教材第6页综合运用第3题. 学生课后独立完成. 巩固新知.
板书设计
1.1 集合的概念 1.元素与集合的概念 2.元素的基本性质 （1）确定性 （2）互异性 （3）无序性 3.相等集合 4.元素与集合的关系 5.列举法 例1 6.描述法 例2 7.小结 （1）集合中元素的基本性质 （2）集合的表示方法及各自的适用范围 8.作业
教学研讨：
本案例的特点是紧密结合教材，采用讲授概念后马上教学例题的模式，使学生能够很快掌握概念.
案例还可以从以下几个方面适当展开：（1）教学过程中要多举例子，多角度理解描述法表示集合.（2）在处理当堂检测部分的习题时，还可以从几何、代数两个不同角度去设置代表元素的形式（比如数、点等），让学生真正体会描述法中代表元素的意义.（3）适当总结列举法和描述法的各自适用范围，使学生在解题时能够更加从容，提高效率.