八年级全等模型第1讲一线三等角 课件（共12张PPT）

(共12张PPT)
八年级全等模型汇总
第1讲 一线三等角
八年级全等模型汇总
1、一线三等角-模型分析
【知识梳理】
“一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等或相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等或相似图形．这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧.
一、“一线三等角”的基本构图：
A
B
A
C
E
F
A
B
C
D
E
E
D
C
B
1
2
3
常见变形：
C
F
B
F
A
A
G
E
D
A
G
E
B
D
Q
P
C
一线三等角-模型分析
二、“一线三等角”的基本应用：
“一线三等角”主要应用于导角证三角形的全等．
最常见的是直角型“一线三等角”，其次是60°角和45°角及一般的角．
【方法技巧】
用法：若一线三等角都具备则直接应用;若一线三等角不完全具备，则需要构造出一线三等角．
一线三等角-模型分析
一、直角型“一线三等角”——“三垂直”
直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K"形图，是“一线三等角”问题中最为常见的一种．
认识“三垂直"模型：直线绕直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊．
例1、已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．
(1)如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE= BD+CE;
(2)当直线l在△ABC的内部如图2所示时，求证：DE=BD－CE;
(3)当直线l在△ABC的内部如图3所示时，直接写出DE， BD，CE三者之间的数量关系式为____________.
课堂练习
1
2
3
课堂练习
【答案】（1）
∵BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．
∴∠BDA=∠CEA=90°
∴∠BAD+∠ABD=180°-∠BDA=90°
∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC=90°
则∠ABD=∠CAE
在Rt△BDA和Rt△AEC中

∴Rt△BDA≌Rt△AEC（AAS）
∴AD=CE，BD=AE
∴BD+CE=AE+AD=DE
（2）∵BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．
∴∠BDA=∠CEA=90°
∴∠BAD+∠ABD=180°-∠BDA=90°
∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC=90°
则∠ABD=∠CAE
在Rt△BDA和Rt△AEC中

∴Rt△BDA≌Rt△AEC（AAS）
∴AD=CE，BD=AE
∴BD+CE=AE+AD=DE
（3）CE=BD+DE
【解析】
（1）（2）利用一线三等角的全等模型，利用角度的等量代换，容易证出
Rt△BDA≌Rt△AEC（AAS）
（3）同理，结合上述证明思路，得出对应三角形的全等关系，找到对应边相等即可，再根据线段的和差关系不难解出答案。
课堂练习
二、等边三角形中的“一线三等角”
例1、如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别AB ， BC，AC上的点，∠DEF= 60°， BD=CE．求证：BE= CF．
【解答】
已知△ABC为等边三角形
∴∠B=∠C=60°
∴∠BED+∠BDE=120°
∵∠DEF=60°
∴∠BED+∠FEC=120°
∴∠BDE=∠FEC
在△BED和△FCE中

∴△BED≌△FCE（ASA）
∴BE=CF
【分析】本题关键在于求证△BED≌△FCE（ASA）
一线三等角
课堂练习
练习1．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点， BE，AD交于点F，∠AFE=60°．求证：AD= BE．
【解答】∵△BAC是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC
∵∠AFE=60°且是△BFA的外角
∴∠BAF +∠FBA =∠AFE=60°.
∵∠BAF+∠DAC=∠BAC=60°
∴∠EBA=∠DAC
在△BAE和△ACD中
∴△BAE≌△ACD（ASA）
∴AD=BE.
【分析】本题属于一线三等角的全等模型，利用角度的和差关系，将∠EBA=∠DAC求证出，进而转化为ASA的全等证明
课堂练习
三、等腰直角三角形中的“一线三等角”
例1、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°,点D,E分别为AB 、BC上的点，且CD= DE，∠CDE=45°求证：BD= BC．

【解答】已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴∠B=45°∵CD= DE，∠CDE=45°
∴∠DCE=
在△DCB中，同理∠CDB=180°-∠DCE-∠B=67.5°
∴∠DCE=∠CDB
∴BD= BC
【分析】利用三角形内角和等于180°定理，再利用角度的和差关系，进而利用等角对等边得到答案
课堂练习
练习1．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠C=90° ， BC=7，AD=4，过点A作AE⊥AB，垂足为A，且AE=AB，连接DE．求△ADE的面积．
构造全等
【解析】
构造Rt△EMA≌Rt△BNA（ASA）
求得EM=BN=7-4=3
∴6
课堂练习
2．已知：在四边形ABCD中，AD//BC，AB=AD，∠ABC=2∠C=2α，点E在AD．上，点 F在DC上．
(1)如图1，若α=45°，∠BDC的度数为
(2)如图2，当α=45°，∠BEF=90°时，求证： EB=EF;
(3)如图3，若α=30°，则当∠BEF= 时，使得EB= EF成立 (请直接写出结果)

90°
构造Rt△EHB≌Rt△EDF（ASA）
120°
在AB上截取AN=AE，进而求证△BNE≌△EDF
作EH//AB,交BD于点H;求证△BHE≌△EDF
课后练习
例1、如图8，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4,H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．不能确定
例2、已知:在△ABC中,∠BAC=90° ,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.
(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；
(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；
(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.
B
（1）略（2）BD=DE-CE
（3）当D、E位于直线BC异侧时,BD=DE+CE；
当D、E位于直线BC同侧时,BD=DE-CE.