14.2.2完全平方公式 课件（26张PPT）

(共26张PPT)
14.2.2完全平方差公式
人教版八年级上册
教学目标
1、经历探索完全平方公式的过程，使学生感受到一般到特殊的研究方法，进一步发展符号感和推理能力。
2、会推导完全平方公式，能说出公式的的结构特征，并能运用公式进行简单计算。
3、了解公式的几何背景，进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力。
重点：完全平方公式的推导及应用。
难点：公式的结构特征及教科书。
复习回顾
多项式与多项式是如何相乘的？
(x ＋ 3)( x＋5)
=x2
＋5x
＋3x
＋15
=x2
＋8x
＋15.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
新知讲解
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.
a
a
b
b
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
(a+b)2=a2+2ab+b2
新知讲解
探究完全平方公式
知识点1
探究
计算下列多项式的积.
（1）
（2）
p2+1+2p
p2+1-2p
m2+4+4m
m2+4-4m
新知讲解
相乘的两个多项式有什么共同点？
都是形如(a±b)2的多项式相乘.
思考
观察上面的结果，你发现了什么规律？
（1）
（2）
p2+1+2p
p2+1-2p
m2+4+4m
m2+4-4m
新知讲解
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
你能将上面发现的规律推导出来吗？
(a-b)2
=a2-ab-ab+b2
=a2+b2-2ab
(a+b)2
=a2+ab+ab+b2
=a2+b2+2ab
新知讲解
(a+b)2=a2+b2+2ab
(a-b)2=a2+b2-2ab
即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这个公式叫完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，积的2倍放中央”
新知讲解
你能根据下图中图形的面积说明完全平方公式吗？
思考
新知讲解
设大正方形ABCD的面积为S.
S= =S1+S2+S3+S4= .
(a+b)2
a2+b2+2ab
S1
S2
S3
S4
新知讲解
公式特征：
公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.
(a+b)2=a2+b2+2ab
(a-b)2=a2+b2-2ab
例题讲解
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
=16m2
(1)(4m+n)2；
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+8mn
+n2；
(2)
(a – b)2 = a2– 2ab + b2
y2
=y2
–y
+
解： =
+
–2 y
强化练习
【课本P110 练习 第1题】
1.运用完全平方公式计算：
（1）( x＋6 )2； （2）( y－5 )2；
（3）(－2x＋5 ) 2； （4） .
强化练习
【课本P110 练习 第2题】
2.下面各式的计算错在哪里？应当怎样改正？
（1）( a＋b )2＝a2＋b2 ；
（2）( a－b )2＝a2－b2 .
例题讲解
(1) 1022；
= (100 –1)2
=10000 –200+1
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
方法总结：当一个数具备与整十、整百相差一个正整数时求它的平方，我们可以通过变形运用完全平方公式进行运算较简便．
新知讲解
思考
（1） 与 相等吗？
（2） 与 相等吗？
（3） 与 相等吗？为什么？
（1）（2）相等.因为互为相反数的数或式子平方相等.（3）不相等.因为前者是完全平方，后者是平方差.
新知讲解
添括号法则
知识点2
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
a+b+c=a+(b+c)
a-b-c=a-(b+c)
例题讲解
(1)计算(x+2y-3)(x-2y+3)时，第一步将整式变形为 ； (2)计算(a+b+c)2时可将 当作完全平方式中的a，把 当作完全平方式中的b.
［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］
例3　运用乘法公式计算：
c
a+b
(1) (x+2y-3)(x-2y+3)； (2) (a+b+c)2.
解:（1）原式 =［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］
=x2-(2y-3)2
=x2-(4y2-12y+9)
=x2-4y2+12y-9；
（2）原式=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+c2+2(a+b)c
=a2+b2+2ab+c2+2ac+2bc
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
强化练习
【课本P111 练习 第1题】
3. 在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验.
（1）a＋b－c＝a＋（ ）；
（2）a－b＋c＝a－（ ）；
（3）a－b－c＝a－（ ）；
（4）a＋b＋c＝a－（ ）.
强化练习
【课本P111 练习 第2题】
4. 运用乘法公式计算：
（1）(a＋2b－1)2； （2）(2x＋y＋z) (2x－y－z) .
课堂总结
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面)
a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab;
4ab=(a+b)2–(a–b)2.
拓展提高
1、计算:(1)(3a＋b–2)(3a–b＋2)；(2)(x–y–m＋n)(x–y＋m–n)．
(2)原式＝[(x–y)–(m–n)][(x–y)＋(m–n)]
解：(1)原式＝[3a＋(b–2)][3a–(b–2)]
＝(3a)2–(b–2)2
＝9a2–b2＋4b–4.　
＝(x–y)2–(m–n)2
＝x2–2xy＋y2–m2＋2mn–n2.
拓展提高
2、化简求值：［2x2-(x+y)(x-y)］［(-x-y)(y-x)+2y2］，
其中x=1，y=2.
解：原式=(2x2-x2+y2)(x2-y2+2y2)
=(x2+y2)2
=x4+2x2y2+y4
当x=1，y=2时，原式=1+8+16=25.
拓展提高
3、若a+b=5，ab=–6， 求a2+b2，a2–ab+b2.
4、已知x+y=8，x–y=4，求xy.
解：a2+b2=(a+b)2–2ab=52–2×(–6)=37；
a2–ab+b2=a2+b2–ab=37–(–6)=43.
解：∵x+y=8， ∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①;
∵x–y=4， ∴(x–y)2=16，即x2+y2–2xy=16②;
由①–②得
4xy=48
∴xy=12.
谢谢
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